Plückerin kaava

Plücker-kaava on yksi kaavojen perheestä, jonka saksalainen matemaatikko ja fyysikko Plücker kehitti 1830-luvulla. Kaavat yhdistävät joitain algebrallisten käyrien invariantteja ja niiden kaksoiskäyrien invariantteja . Sukuksi kutsuttu invariantti , joka on yhteinen sekä käyrälle että sen kaksoiskäyrälle, liittyy muihin invariantteihin samanlaisilla kaavoilla. Nämä kaavat ja se, että jokaisen näistä invarianteista on oltava positiivinen kokonaisluku, asettavat tiukat rajoitukset invarianttien mahdollisille arvoille.

Plückerin invariantit ja perusyhtälöt

Käyrä tässä yhteydessä annetaan ei-degeneroituneella algebrallisella yhtälöllä kompleksisessa projektiivisessa tasossa . Tämän tason viivat vastaavat kaksoisprojektiotason pisteitä , kun taas tietyn algebrallisen käyrän C tangentit vastaavat algebrallisen käyrän C * pisteitä , joita kutsutaan kaksoiskäyräksi . Käyrän C pisteet vastaavat viivoja, jotka tangentit C * :lle, joten kaksoiskäyrä C * :lle on C .

Kaksi ensimmäistä Plücker-kaavojen invarianttia ovat käyrän C aste d ja aste d * , joita kutsutaan käyrän C luokaksi . Geometrisesti d on mielivaltaisen suoran ja C :n leikkauspisteiden lukumäärä , mukaan lukien kompleksiset pisteet ja äärettömän pisteet, monikertaisuus huomioiden. Luokka d * on C :n tangenttien lukumäärä, jotka kulkevat mielivaltaisen tason pisteen kautta. Esimerkiksi kartioleikkauksella on sekä aste että luokka 2. Jos käyrällä C ei ole yksittäispisteitä , Plückerin ensimmäinen kaava sanoo, että

d^{*}=d(d-1),

mutta käyrien, joissa on yksittäispisteet, kaava on korjattava.

Olkoon δ käyrän C tavallisten kaksoispisteiden lukumäärä , eli niillä on erilaiset tangentit (tällaisia pisteitä kutsutaan itseleikkauspisteiksi ) tai eristetyt , ja κ niiden pisteiden lukumäärä , joissa on yksittäinen tangentti. Jos käyrällä C on korkeamman asteen singulaarisuuksia, ne katsotaan useiksi singulaaripisteiksi singulaarisuuden luonteen analyysin mukaan. Esimerkiksi tavallinen kolmoispiste lasketaan kolmeksi kaksoispisteeksi. Myös kuvitteelliset pisteet ja äärettömän pisteet lasketaan. Ensimmäisen Plücker-yhtälön jalostetulla muodolla on muoto

d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .

Vastaavasti olkoon δ * tavallisten kaksoispisteiden lukumäärä ja κ * käyrän C * kärkien lukumäärä . Plückerin toinen kaava sanoo sen

\kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .

Käyrän C * geometrisesti tavallinen kaksoispiste on käyrän suora tangentti kahdessa pisteessä ( bitangentaalinen ), ja käyrän C * kärki on käännepiste .

Kahdella ensimmäisellä Plücker-yhtälöllä on kaksi versiota:

d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},

\kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.

Nämä neljä yhtälöä eivät itse asiassa ole riippumattomia, joten mitä tahansa kolmea voidaan käyttää neljännen johtamiseen. Jos mikä tahansa kolme kuudesta invariantista d , d * , δ, δ * , κ ja κ * on annettu , niin loput kolme voidaan laskea niistä.

Lopuksi käyrän C geometrinen suku voidaan määrittää kaavalla

g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .

Tämä tasa-arvo vastaa kaksoisarvoa

g={1 \over 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-\delta ^{*}-\kappa ^{*}

Kaiken kaikkiaan meillä on neljä itsenäistä yhtälöä, joissa on seitsemän tuntematonta, ja kolmella tuntemattomalla voidaan laskea loput neljä.

Käyrät ilman erikoispisteitä

Tärkeä erikoistapaus on, kun käyrällä C ei ole yksittäispisteitä, eli δ ja κ ovat yhtä kuin 0, joten loput invariantit voidaan laskea pelkällä d :llä :

d^{*}=d(d-1)

\delta ^{*}={1 \over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)

\kappa ^{*}=3p(d-2)

g={1 \over 2}(d-1)(d-2).

Esimerkiksi litteässä kvartikissa ilman yksittäisiä pisteitä on suku 3, 28 bitangenttia ja 24 käännepistettä.

Käyrätyypit

Käyrät luokitellaan tyyppeihin niiden Plücker-invarianttien mukaan. Plückerin yhtälöt yhdessä rajoituksen kanssa, jonka mukaan invarianttien on oltava luonnollisia lukuja, rajoittavat ankarasti mahdollisten tietyn asteen käyrätyyppien määrää. Projektiivisesti ekvivalenttien käyrien tulee olla samaa tyyppiä, mutta samantyyppiset käyrät eivät yleensä ole projektiivisesti ekvivalentteja. Asteen 2 käyrät - kartioleikkaukset - ovat yhtä tyyppiä, jotka saadaan yhtälöistä d = d * =2, δ=δ * =κ=κ * = g =0.

Kolmannen asteen käyrille on mahdollista kolme tyyppiä invarianteilla [1]

Tyyppi	d	d *	δ	κ	* _	g
(i)	3	6	0	0	9	yksi
(ii)	3	neljä	yksi	0	3	0
(iii)	3	3	0	yksi	yksi	0

Tyypin (ii) ja (iii) käyrät ovat rationaalisia kuutiokäyriä, joissa on tavallinen kaksoispiste ja vastaavasti kärki. Tyypin (i) käyrillä ei ole yksittäispisteitä ( elliptisiä käyriä ).

Neljännen asteen käyrillä on 10 mahdollista tyyppiä invarianteilla [2]

Tyyppi	d	d *	δ	δ *	κ	* _	g
(i)	neljä	12	0	28	0	24	3
(ii)	neljä	kymmenen	yksi	16	0	kahdeksantoista	2
(iii)	neljä	9	0	kymmenen	yksi	16	2
(iv)	neljä	kahdeksan	2	kahdeksan	0	12	yksi
(v)	neljä	7	yksi	neljä	yksi	kymmenen	yksi
(vi)	neljä	6	0	yksi	2	kahdeksan	yksi
(viii)	neljä	6	3	neljä	0	6	0
(viii)	neljä	5	2	2	yksi	neljä	0
(ix)	neljä	neljä	yksi	yksi	2	2	0
(x)	neljä	3	0	yksi	3	0	0

Muistiinpanot

↑ Harold Hilton. Tasoalgebralliset käyrät. - Oxford, 1920. - s. 201.
↑ Hilton, s. 264

Linkit

Griffiths F., Harris J. Algebrallisen geometrian periaatteet. - 1982. - T. 1-2, per. englannista..
Kleiman S.L. Menestys matematiikassa. Tieteet. - 1980. - T. 35 , no. 6 . - S. 69-148 .
Savelov A.A. Tasaiset kaaret. Systematiikka, ominaisuudet, sovellukset. - Moskova: Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustantamo, 1960.
Lohi, George . Traktaatti korkeammista tasokäyristä , 1879, s. 64ff.