Hausdorffin tila

Hausdorffin avaruus on topologinen avaruus , joka täyttää vahvan erotteluaksiooman T 2 .

Nimetty Felix Hausdorffin , yhden yleisen topologian perustajista, mukaan . Hänen alkuperäinen topologisen avaruuden määritelmänsä sisälsi vaatimuksen, jota nykyään kutsutaan nimellä Hausdorff.

Joskus termiä Hausdorff-topologia käytetään kuvaamaan Hausdorffin topologisen avaruuden rakennetta joukossa .

Määritelmä

Topologista avaruutta kutsutaan Hausdorffiksi, jos millä tahansa kahdella erillisellä pisteellä on ei - leikkausalueita , . $X$ $x$ $y$ $X$ $U(x)$ $V(y)$

Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä

Kaikki metriset avaruudet ja metrisoitavat avaruudet ovat Hausdorffia , erityisesti: Euklidiset avaruudet , moninaiset , useimmat analyysissä käytetyt äärettömän ulottuvuuden funktioavaruudet , kuten tai , . $\mathbb {R} ^{n}$ $L^{p}\$ $W^{{1,\;p}}$ $p\geqslant 1\$

Jos topologinen ryhmä on T 0 -avaruus , se on Hausdorff. Jos T 0 ei täyty, tekijöihin laskeminen sulkemalla ryhmän neutraali elementti antaa Hausdorffin avaruuden [1] . Tästä syystä jotkut lähteet sisällyttävät Hausdorffnessin topologisen ryhmän määritelmään.

Yksinkertaisin (ja tärkein) esimerkki ei-Hausdorffin avaruudesta on yhdistetty kaksoispiste ja yleisemmin Heyting-algebra . Esimerkiksi algebrallisen muunnelman Zariski-topologia ei ole Hausdorff. Ei-Hausdorff, yleisesti ottaen renkaan spektri .

Ominaisuudet

Jakson (yleisemmässä tapauksessa suodattimen ) rajan ainutlaatuisuus , jos sellainen on olemassa.
Hausdorffin topologian määritelmää vastaava ominaisuus on diagonaalin sulkeutuminen avaruuden karteesisessa neliössä . $\Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ $X\kertaa X$ $X$
Hausdorffin avaruudessa kaikki sen pisteet ovat suljettuja (eli yhden pisteen joukkoja).
Hausdorffin avaruuden aliavaruus ja karteesinen tulo ovat myös Hausdorffia.
Yleisesti ottaen Hausdorffness ei siirry osamääräavaruuksiin .
Kompakti Hausdorff-avaruus on normaali ja mitattava silloin ja vain, jos sillä on laskettava topologiakanta.
Mikä tahansa jatkuva yksitellen kartoitus kompaktista tilasta Hausdorffin avaruuteen on homeomorfismi .
Mikä tahansa äärellinen Hausdorff-avaruus on diskreetti.

Muistiinpanot

↑ D. Ramakrishnan ja R. Valenza. Fourier-analyysi numerokentistä. - Springer-Verlag, 1999. - (Matematiikan tutkinnon tekstit).

Kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - Toinen, stereotyyppinen. - M. : Lan, 2010. - 368 s. - ISBN 978-5-8114-0981-5 .