Hilbertin neljästoista ongelma
Hilbertin neljästoista ongelma on neljästoista ongelmista , jotka David Hilbert esitti kuuluisassa puheessaan toisessa kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Pariisissa vuonna 1900. Se on omistettu tiettyjen rakenteiden alla syntyvien renkaiden rajallisen sukupolven kysymykselle. Hilbertin alkuperäinen asetus oli motivoitunut Maurerin työstä, joka totesi, että algebrallisen ryhmän lineaarisen toiminnan invarianttien algebra vektoriavaruudessa on äärellisesti generoitu; Itse asiassa Hilbertin kysymys koski rengasta, joka saatiin rationaalisten funktioiden kentän alikentän ja polynomirenkaan leikkauspisteessä. [yksi]
Pian raportin jälkeen kuitenkin kävi ilmi, että Maurerin työ sisälsi virheen, ja Hilbertin kysymystä alettiin pitää kysymyksenä lineaaristen algebrallisten ryhmien invarianttien algebroiden äärellisestä generoinnista. Yllättäen vastaus tähän kysymykseen osoittautui kielteiseksi: vuonna 1958 Edinburghissa pidetyssä kongressissa M. Nagata esitti sille vastaesimerkin [1] [2] . Hän rakensi [3] aliryhmän GL(n):ssä, jonka invarianttia algebraa ei generoitu äärellisesti. Steinberg yksinkertaisti tätä rakennetta [1] vuoden 1997 artikkelissaan [4] .
Formulaatiot
Hilbertin alkuperäinen muotoilu
14. Todistus jonkin täydellisen funktiojärjestelmän äärellisyydestä.
<...> Maurer onnistui äskettäin laajentamaan äärellisyyslauseet, jotka Jordan ja minä todistimme invarianttiteoriassa tapaukseen, jossa invariantteja ei määritä yleisprojektiivinen ryhmä, kuten tavallisessa invarianttiteoriassa, vaan sen mielivaltainen alaryhmä. <...>
Olkoon jokin luku m kokonaisia muuttujien rationaalisia funktioita :
Mikä tahansa koko rationaalinen yhteys välillä , jos nämä arvot tuodaan siihen, edustaa ilmeisesti myös koko rationaalista funktiota . Kuitenkin voi hyvinkin olla murto-osaisia rationaalisia funktioita , jotka substituution (S) jälkeen johtavat kokonaisiin funktioihin . Kutsun jokaista tällaista funktiota <...> suhteellisen kokonaiseksi funktioksi . <...> Ongelma ilmaistaan siis seuraavasti: selvittää, onko aina mahdollista löytää sellainen äärellinen järjestelmä kokonaisten funktioiden suhteen , jonka kautta mikä tahansa muu suhteellisen kokonainen funktio ilmaistaan integraalina ja rationaalisena tapa. <...> [5]
Toisin sanoen tässä on kysymys algebran äärellisestä generoinnista , missä on generoitu kenttä. Koska jokainen välikenttä generoidaan äärellisesti k:n jatkeena, loppujen lopuksi nykykielellä Hilbertin alkuperäinen muotoilu kuulostaa tältä:
![{\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfde329d37acad7fbb0c621dd551c614b38af9e1)
Olkoon jokin kenttä, joka sisältää pääkentän k. Onko totta, että algebra on äärellisesti generoitu? [yksi]
![{\displaystyle K\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef42f397d2a75557b86748fbc2b3a252001e4f1)
Invarianttien algebran äärellinen generointi
Kirjallisuus
- ↑ 1 2 3 4 Muistiinpanot I. Arzhantsevin kurssista " Invarianttien algebrat ja 14. Hilbertin ongelma "
- ↑ Dieudonné J. , Carroll J., Mumford D. Geometric invariant theory. - M., Mir, 1974. - s. 74-81
- ↑ M. Nagata, luentoja Hilbertin 14. ongelmasta. Tata Institute, 1965.
- ↑ R. Steinberg, Nagatan esimerkki. Julkaisussa: Algebraic Groups Lie Groups, Austral. Matematiikka. soc. Lect. Sarja 9 Cambr. University Press (1997), 375-384.
- ↑ Käännös Hilbertin raportista saksasta - M. G. Shestopal ja A. V. Dorofeev , julkaistu kirjassa Hilbert's Problems / toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 45-47. – 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 27. maaliskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2011.
- I. V. Arzhantsev. Arvioitu algebra ja Hilbertin 14. tehtävä. - M. : MTSNMO, 2009. - 64 s. - 1000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-491-0 .
- Hilbertin ongelmat / toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu 17. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa
| Hilbertin ongelmia | |
|---|---|