Hermiittinen matriisi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24.11.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Hermiittinen (tai itseadjointinen ) matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka transponoituna on yhtä suuri kuin kompleksikonjugaatti: . Toisin sanoen minkä tahansa sarakkeen ja rivin yhtäläisyys on totta $A^{T}=\overline {A}$ $i$ $j$

a_{{i,\;j}}=\overline {a_{{j,\;i}}},

missä on kompleksikonjugaattiluku k ,

{\overline {a}}

a

tai

A=({\overline {A)))^{T}=A^{*}=A^{\dagger },

missä on hermiittinen konjugaatio ${}^{*}$

{\displaystyle {}^{\tikari ))

on hermiittinen konjugaatiooperaattori (merkintä kvanttimekaniikassa ).

Esimerkiksi matriisi

{\begin{bmatrix}5&2+i\\2-i&7\end{bmatrix}}

on hermiittiläinen.

Vastaavasti antihermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka elementit täyttävät yhtälön tai . $a_{{i,\;j}}=-\overline {a_{{j,\;i}}}$ $A=-A^{*}$

Hermitian matriisi sai nimensä sen jälkeen, kun Charles Hermite osoitti vuonna 1855, että tämän muodon matriiseilla, kuten symmetrisillä matriiseilla , on todellisia ominaisarvoja .

Perusominaisuudet

Hermitian matriisi on normaali .

Hermitian matriisin diagonaaliset elementit ovat todellisia .

Todellinen hermiittinen matriisi (eli matriisi, jonka kaikki elementit ovat reaalilukuja) on symmetrinen :

Samoin puhtaasti kuvitteellinen hermiittinen matriisi (jossa elementtejä ei ole todellisia aineosia) on vinosymmetrinen .

Hermitian matriisin determinantti on reaaliluku.

Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen.

Hermiittisen matriisin käänteisarvo on myös hermiittinen, jos se on olemassa.

Kahden hermiittisen matriisin tulo on hermiittinen silloin ja vain, jos ne liikkuvat keskenään, eli jos . $AB=BA$

Hermitian matriisissa kaikki ominaisarvot ovat todellisia ja ominaisvektorit voidaan kerätä ortonormaaliin järjestelmään .

Eri ominaisarvoja vastaavat Hermitian matriisin ominaisvektorit ovat ortogonaalisia. Mutta jos kaksi ominaisvektoria vastaa yhtä ominaisarvoa, ne eivät välttämättä ole ortogonaalisia toisiinsa nähden, vaan ortogonaalisia kaikkiin muihin ominaisarvoihin nähden.

Hermitian matriisin Jordan-muoto on diagonaalinen .

Lisäominaisuudet

Minkä tahansa neliömatriisin ja sen hermiittisen konjugaatin summa on hermiittinen. $B$ $B^{*}$ $(B+B^{*})$
Minkä tahansa neliömatriisin ja siihen liittyvän matriisin hermiittisen konjugaatin ero on anti-hermiittinen, eli . $B$ $B^{*}$ $(BB^{*})$ $BB^{*}=-(BB^{*})^{*}$
Mikä tahansa neliömatriisi C voidaan esittää hermiittisen ja antihermiitisen matriisin summana:

C=A+B

, ja nämä termit on määritetty yksiselitteisesti: , . Heidän hermiittisyytensä ja anti-hermiittisyys seuraa vastaavasti kahdesta edellisestä väitteestä.

A=(C+C^{*})/2

B=(CC^{*})/2

Katso myös

Linkit

Eremiittiset matriisit / matemaattiset sivut
2.9 Hermitian matriisit (pääsemätön linkki) / P. Lancaster MATRIX THEORY, Nauka Publishing House, Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1973, s. 75-79