Ydin (luokkateoria)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12. tammikuuta 2018 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kategoriateorian ydin on kategorinen vastine yleisalgebran homomorfismin ytimelle ; intuitiivisesti morfismin ydin on "yleisin" morfismi , jonka jälkeen sovellus tuottaa nollamorfismin . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $k\colon K\to X$ $f$

Määritelmä

Antaa olla luokka, jossa ei ole morfismia . Silloin morfismin ydin on sen ja nollamorfismin taajuuskorjain . Tarkemmin sanottuna seuraava yleinen ominaisuus pätee : ${\mathcal C}$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $0\colon X\to Y$

Ydin on sellainen morfismi , että: $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $k\colon K\to X$

$f\circ k$ on nolla morfismi välillä - : $K$ $Y$
jokaiselle morfismille , joka on nolla, on olemassa ainutlaatuinen morfismi , joka : $k'\colon K'\to X$ $f\circ k'$ $u\colon K'\to K$ $k\circ u=k'$

Esimerkkejä

Monissa kategorioissa tämä ytimen määritelmä on yhteneväinen tavallisen määritelmän kanssa: jos on ryhmien tai moduulien homomorfismi , niin ydin kategorisessa mielessä on ytimen upotus esikuvaan algebrallisessa mielessä. $f\kaksoispiste X\Y:ksi$

Kuitenkin monoidien luokassa ytimet ovat kategorisessa mielessä samanlaisia kuin ryhmien ytimet, joten ytimen määritelmä monoiditeoriassa on hieman erilainen. Päinvastoin , renkaiden luokassa ei ole lainkaan ytimiä kategorisessa mielessä, koska nollamorfismeja ei ole. Monoidien ja renkaiden ytimet voidaan tulkita luokkateoriassa käyttämällä ydinparien käsitettä .

Yhteys muihin kategorisisiin käsitteisiin

Ytimen kaksoiskäsite on kokernel , eli morfismin ydin on sen kokernel dual -kategoriassa ja päinvastoin.

Jokainen ydin, kuten kaikki muutkin taajuuskorjaimet , on monomorfismi . Toisaalta monomorfismin sanotaan olevan normaali , jos se on toisen morfismin ydin. Luokkaa kutsutaan normaaliksi , jos jokainen sen monomorfismi on normaali.

Erityisesti Abelin luokat ovat normaaleja. Tässä tilanteessa morfismin kokernelin ydintä kutsutaan sen kuvaksi . Lisäksi jokainen monomorfismi on oma kuvansa.

Kirjallisuus

McLane S. Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Paolo Aluffy. Algebra: Luku 0. - 2009. - (Matematiikan jatko-opinnot). — ISBN 0-8218-4781-3 .