Assosiaatio (matematiikka)

Assosiatiivisuus ( yhteensopivuus ) on binäärioperaation ominaisuus , joka koostuu kyvystä soveltaa kaavaa peräkkäin mielivaltaisessa järjestyksessä elementteihin . $\circ$ $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ $x,\;y,\;z$

Termin otti käyttöön William Hamilton vuonna 1853 .

Koska assosiatiivisissa operaatioissa lausekkeen tulos ei riipu sovellusjärjestyksestä, sulut jätetään pois merkinnässä. Ei -assosiatiiviselle operaatiolle lauseketta for ei määritellä ilman lisäsopimusta sovellusjärjestyksestä. $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $n>2$

Esimerkkejä assosiatiivisista operaatioista:

reaalilukujen lisääminen : $(a+b)+c=a+(b+c)$
reaalilukujen kertolasku : ${\näyttötyyli (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
toimintojen koostumus : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$

Esimerkki ei-assosiatiivisesta operaatiosta on eksponentio - lausekkeen tulos riippuu suoraan hakasulkeiden sijoittelusta, yleensä . $a^{b^{c))$ $a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}$

Kaikki kommutatiiviset operaatiot eivät ole assosiatiivisia - on kommutatiivisia magmoja ja ei-assosiatiivisia.

Assosiatiivisuudella on tärkeä rooli yleisalgebrassa : useimmissa tarkastelluissa rakenteissa binäärioperaatiot ovat assosiatiivisia ( ryhmät , renkaat , kentät , puolihilat ja hilat ). Puoliryhmien teoria itse asiassa tutkii assosiatiivisuuden ilmiötä yleisillä algebrallisilla menetelmillä. Samanaikaisesti huomioidaan myös ei-assosiatiiviset järjestelmät, nimittäin kvasiryhmät , silmukat , ei-assosiatiiviset renkaat , ei-assosiatiiviset algebrat . Heidän tutkimuksensa vaikeuttaa se tosiasia, että monet assosiatiivisten järjestelmien ominaisuudet eivät päde niille. Joskus ongelmat ominaisuuksien siirrettävyydestä ei-assosiatiivisiin rakenteisiin osoittautuvat ei-triviaaleiksi (esimerkiksi kysymys Lagrangen lauseen pätevyydestä äärellisille silmukoille on avoin).

Tietojenkäsittelytieteessä assosiatiivisuutta pidetään hyödyllisenä ominaisuutena, joka mahdollistaa erityisesti rinnakkaisuuden käytön toiminnan peräkkäisissä sovelluksissa. Samaan aikaan monet käytännön operaatiot (yhteen- ja kertolasku käytettäessä liukulukuja ) osoittautuvat ei-assosiatiivisiksi.

Ominaisuus yleistetään luonnollisesti -ary-tapaukseen: operaatiota kutsutaan assosiatiiviseksi, jos identiteetti pätee kaikille: $n$ $\varphi \colon X^{n}\to X$ $i = 1, \pisteet, n$

\varphi (\varphi (x_{1},\dots ,x_{n}),x_{n+1},\dots ,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\ pisteet ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\pisteet ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\pisteet ,x_{2n -yksi})

Assosiatiivisuusominaisuuden heikennetyt versiot - potenssiassosiatiivisuus , vaihtoehtoisuus , elastisuus - niissä peräkkäisen sovelluksen järjestyksen muuttaminen on mahdollista vain rajoitetulla joukolla tapauksia.

Kirjallisuus

Assosiaatio - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . O. A. Ivanova, D. M. Smirnov
Shevrin L. N. . Luku IV. Puoliryhmät // Yleinen algebra / Yleisen alla. toim. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. – 480 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 25 000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0400-4 .