Atomi toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. joulukuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Atomifunktio  on muodon funktionaali-differentiaaliyhtälön äärellinen ratkaisu

missä  on lineaarinen differentiaalioperaattori vakiokertoimilla; kertoimet ja [1] [2] .

Atomifunktio ylös( x )

Yksinkertaisin atomifunktio (lue: "an from " [3] ) on funktionaalisen differentiaaliyhtälön äärellinen , äärettömästi differentioituva ratkaisu

tuella , joka täyttää normalisointiehdon ( on todistettu, että tämä ratkaisu on olemassa ja on ainutlaatuinen määritetyssä normalisoinnissa) [4] .

Funktion Fourier -muunnoksella on muoto

missä  on sinc-funktio .

Funktio  on parillinen, kasvaa välillä , pienenee välillä ja sen kuvaaja rajoittaa yksikköpinta-alaa x-akselin yläpuolella. Lisäksi klo . Siten kokonaislukusiirrot muodostavat yksikön osion :

Arvot muodon dyadisissa rationaalisissa pisteissä  ovat rationaalilukuja . Funktio ei ole analyyttinen missään tukikohdassa. Sen laskemiseen et voi käyttää Taylor-sarjaa , mutta on olemassa erityistyyppejä nopeasti konvergoivia sarjoja, jotka on mukautettu tällaisiin laskelmiin. Käytetään myös Fourier-sarjan laajennuksia , Legendren sarjoja , Bernsteinin polynomeja jne..

Atomifunktiot ovat äärettömästi jaettavia, toisin sanoen ne voidaan esittää äärellisten funktioiden siirtojen-kompressioiden lineaarisena yhdistelmänä mielivaltaisella kannanpituudella ( murtokomponentit), ja niitä voidaan pitää äärettömän sileyden B-splinejen analogeina, kuten sekä aallokeiden ideologiset edeltäjät . Funktion hyvät approksimatiiviset ominaisuudet perustuvat siihen, että käyttämällä lineaarista siirtymien-supistumien yhdistelmää voidaan esittää minkä tahansa asteen algebrallinen polynomi .

Atomifunktiot h a ( x ), täydelliset splainit

Atomifunktiot (for ) ovat funktion yleistys . Vastaavilla funktionaalisilla differentiaaliyhtälöillä on muoto

Siten funktion Fourier-muunnoksella on muoto

siksi funktiot ovat välien karakterististen funktioiden äärettömänkertaisia ​​konvoluutioita ( suorakulmafunktioita ), joiden leveydet pienenevät eksponentiaalisesti . Jos viimeisessä lausekkeessa rajoitamme äärettömän tulon äärelliseen määrään termejä , saadaan täydellisten splainien Fourier-muunnos toistuvalla funktionaal-differentiaalilausekkeella

Yleistetty Kotelnikovin lause

Funktioiden Fourier-muunnosten nollat ​​sijaitsevat säännöllisin väliajoin pisteissä . Tässä suhteessa mikä tahansa jatkuva funktio , jolla on äärellinen spektri , voidaan laajentaa sarjaksi

missä [5] .

Tämä kaava yleistää Kotelnikovin tunnetun lauseen [5] ; sitä ehdottivat ensin V. F. Kravchenko ja V. A. Rvachev [6] , ja myöhemmin sen kehittivät E. G. Zelkin , V. F. Kravchenko ja M. A. Basarab [7] .

Historia ja kehitys

Atomifunktiot esiteltiin ensimmäisen kerran vuonna [8] vuonna 1971. Funktion ilmaantumisen olosuhteet liittyvät V. L. Rvachevin vuonna 1967 esittämään ja V. A. Rvachevin ratkaisemaan ongelmaan : löytää niin äärellinen differentioituva funktio, että sen kuvaaja näyttäisi "kyhmyltä", jossa on yksi lisäys ja yksi vähennyssegmentti, ja graafi sen derivaatta koostuisi "kumpusta" ja "kuopasta", ja jälkimmäinen olisi samanlainen kuin itse funktion "kyhmy", ts. edustaisi - skaalaustekijään asti - siirrettyä ja pakattua kopiota alkuperäisen funktion kaaviosta [9] .

Atomifunktioiden teorian kehitysvaiheen alkuvaiheen tulokset on esitetty V. A. Rvachevin työssä "Atomien funktiot ja niiden soveltaminen" [10] . Se antaa yksityiskohtaisen katsauksen atomitoimintojen teoriaa koskeviin töihin, jotka on tuotu vuoteen 1984 asti, luettelon ratkaisemattomista ongelmista atomitoimintojen teoriassa, jotka suurelta osin määrittelivät jatkotutkimuksen suunnan.

Tällä hetkellä atomifunktioita käytetään laajalti approksimaatioteoriassa , numeerisessa analyysissä , digitaalisessa signaalinkäsittelyssä , aallokeanalyysissä ja muilla aloilla. V. F. Kravchenko ja hänen tieteellisen koulunsa edustajat julkaisivat suuren sarjan tutkimuksia atomitoimintojen teoriasta ja sovelluksista erilaisissa fysikaalisissa sovelluksissa [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [ 18] [19 ] [20] [21] [22] [23] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Rvachev ja Rvachev, 1979 , s. 110.
  2. ↑ Kravchenko, 2003 , s. 17.
  3. ↑ Tikhomirov, 1987 , s. 202-203.
  4. ↑ Rvachev V. L. . R -funktioiden teoria ja eräät sen sovellukset. - Kiova: Naukova Dumka , 1982. - S. 383. - 552 s.
  5. ↑ 1 2 Kravchenko, 2003 , s. 90-92.
  6. ↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. A. Atomifunktioiden  soveltaminen interpolointiongelmiin // Sähkömagneettiset aallot ja elektroniset järjestelmät. - 1998. - V. 3, nro 3 . - S. 16-26 .
  7. ↑ Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Basarab M. A.  Signaalien interpolointi äärellisellä spektrillä käyttäen atomifunktioiden Fourier-muunnoksia ja sen soveltaminen antennisynteesiongelmiin // Radiotekniikka ja elektroniikka. - 2002. - T. 47, nro 4 . - S. 461-468 .
  8. ↑ Rvachov V. L., Rvachov V. O.  Tietoja yhdestä äärellisestä funktiosta // DAN URSR. Ser. A. - 1971. - Nro 8 . - S. 705-707 .
  9. ↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V. Atomifunktiot  ja WA -järjestelmät ja toiminnot radiofysiikan ja tekniikan moderneissa ongelmissa  // Sähkömagneettiset aallot ja elektroniset järjestelmät. - 2011. - T. 16, nro 9 . - S. 7-32 .
  10. ↑ Rvachev V. A. . Atomifunktiot ja niiden sovellukset // Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. et al. R -funktioiden teoria ja soveltavan matematiikan todelliset ongelmat. - Kiova: Naukova Dumka , 1986. - S. 45-65. — 264 s.
  11. ↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Jakovlev V. P. . Digitaalinen signaalinkäsittely perustuu Whittaker-Kotelnikov-Shannon-lauseeseen. - M . : Radiotekniikka, 2004. - 72 s. — ISBN 5-93108-064-3 .
  12. ↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. L. . Logiikkaalgebra, atomifunktiot ja aallot fysikaalisissa sovelluksissa. — M .: Fizmatlit , 2006. — 416 s. — ISBN 5-9221-0752-6 .
  13. ↑ Digitaalinen signaali- ja kuvankäsittely radiofysikaalisissa sovelluksissa / Ed. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2007. — 544 s. - ISBN 978-5-9221-0871-3 .
  14. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. . Mallintamisen ja digitaalisen signaalinkäsittelyn menetelmät gyroskoopiassa. — M .: Fizmatlit , 2008. — 248 s. — ISBN 978-5-9221-0809-6 .
  15. ↑ Volosjuk V.K., Kravchenko V.F. Kaukokartoituksen ja tutkan radioteknisten järjestelmien tilastoteoria / Toim. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2008. — 704 s. - ISBN 978-5-9221-0895-9 .
  16. ↑ Kravchenko V. F., Labunko O. S., Lerer A. M., Sinyavsky G. P. . Laskennalliset menetelmät modernissa radiofysiikassa / Toim. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2009. — 464 s. — ISBN 978-5-9221-1099-0 .
  17. ↑ Volosyuk V. K., Gulyaev Yu. - 2014. - T. 59, nro 2 . - S. 109-131 .
  18. ↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V.  Atomien, WA -järjestelmien ja R -funktioiden perheiden soveltaminen radiofysiikan nykyaikaisissa ongelmissa. Osa I // Radiotekniikka ja elektroniikka. - 2014. - T. 59, nro 10 . - S. 949-978 .
  19. ↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V., Jurin A. V.  Atomien, WA -järjestelmien ja R -funktioiden perheiden soveltaminen radiofysiikan nykyaikaisissa ongelmissa. Osa II // Radiotekniikka ja elektroniikka . - 2015. - T. 60, nro 2 . - S. 109-148 .
  20. ↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V.  Atomien, WA -järjestelmien ja R -funktioiden perheiden soveltaminen radiofysiikan nykyaikaisissa ongelmissa. Osa III // Radiotekniikka ja elektroniikka. - 2015. - T. 60, nro 7 . - S. 663-694 .
  21. ↑ Kravchenko V. F., Konovalov Ya. Yu., Pustovoit V. I. Atomifunktioiden  cha n (x) ja fup n (x) perheet digitaalisessa signaalinkäsittelyssä // Dokl. - 2015. - T. 462, nro 1 . - S. 35-40 .
  22. ↑ Kravchenko V. F., Churikov D. V.  Digitaalinen signaalinkäsittely atomifunktioilla ja aalloilla. - M .: Technosphere, 2019. Lisäpainos. 182 s. ISBN 978-5-94836-506-0 .
  23. ↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V.  Logiikkaalgebran konstruktiiviset menetelmät, atomifunktiot, aallot, fraktaalit fysiikan ja tekniikan ongelmissa. — M.: Technosfera, 2018. 696 s. ISBN 978-5-94836-518-3 .

Kirjallisuus