Boolen rengas

Boolen rengas on rengas , jossa on idempotentti kertolasku, eli rengas , jossa kaikille [1] [2] [3] . $(R, +, \cdot)$ $x^{2}=x$ $x \ in R$

Suhde Boolen algebraan

Tunnetuin esimerkki Boolen renkaasta saadaan Boolen algebrasta ottamalla käyttöön yhteen- ja kertolasku seuraavasti: $(B,\land ,\lor ,\lnot )$

$x+y=(x\land \lnot y)\lor (\lnot x\land y)$ ,
$x\cdot y=x\land y$ .

Erityisesti joidenkin joukon Boolen arvo muodostaa Boolen renkaan suhteessa symmetriseen eroon ja osajoukkojen leikkauspisteeseen . Tämän perusesimerkin yhteydessä, kun Boolen renkaaseen lisätään yhteenlasku " poissulkevana tai " Boolen algebroissa ja kertolasku konjunktiona , symbolia käytetään joskus Boolen renkaiden yhteenlaskemiseen ja kertolaskussa hilan infimumin merkkejä ( , , ). $X$ $\oplus$ $\maa$ $\korkki$ $\sqcap$

Jokaisella tällä tavalla Boolen algebrasta saadulla Boolen renkaalla on yksikkö , joka on sama kuin alkuperäisen Boolen algebran yksikkö. Lisäksi mikä tahansa Boolen rengas, jolla on identiteetti, määrittelee yksilöllisesti Boolen algebran seuraavien operaatiomääritelmien avulla: $(R,+,\cdot ,1)$

$x\land y=x\cdot y$ ,
$x\tai y=x+y+xy$ ,
$\lnot x=1+x$ .

Ominaisuudet

Jokaisessa Boolen renkaassa kertomisen idempotenssin seurauksena : $(R, +, \cdot)$ $x+x=0$

x+x=(x+x)^{2}=x+x+x+x

ja koska rengas on Abelin ryhmä , on mahdollista vähentää komponentti tämän yhtälön molemmilta puolilta. $(R+)$ $x+x$

Jokainen Boolen rengas on kommutatiivinen , mikä on myös seurausta kertolaskujen idempotenssista:

x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y+xy+yx

joka antaa , mikä puolestaan tarkoittaa . $xy+yx=0$ $xy=yx$

Mikä tahansa ei-triviaali äärellinen Boolen rengas on jäännöskenttien modulo 2 ( ) suora summa ja sillä on yksikkö . ${\mathbb {Z}}_{2}$

Minkä tahansa Boolen renkaan osamäärä mielivaltaisella ideaalilla on myös Boolen rengas. Samalla tavalla mikä tahansa Boolen renkaan alirengas on Boolen rengas. Jokainen alkuideaali Boolen renkaassa on maksimaalinen : osamäärä rengas on eheysalue , samoin kuin Boolen rengas, joten se on isomorfinen kenttään , joka osoittaa maksimaalisuuden . Koska maksimaaliset ihanteet ovat aina ensisijaisia, alku- ja maksimiideaalit ovat samat Boolen renkaille. $R/I$ $minä$ $P$ $R$ $R/P$ $\mathbb {F} _{2}$ $P$

Boolen renkaat ovat täysin litteitä , eli mikä tahansa niiden päällä oleva moduuli on litteä .

Jokainen äärellisesti generoitu Boolen renkaan ideaali on pääasiallinen .

Muistiinpanot

↑ Frehley, 1976 , s. 200.
↑ Gerstein, 1964 , s. 91.
↑ McCoy, 1968 , s. 46.

Kirjallisuus

M. Atiyah , I.G. Macdonald . Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - Westview Press, 1969. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
John B. Fraleigh. Abstraktin algebran ensimmäinen kurssi. – 2. - Luettu: Addison-Wesley , 1976. - ISBN 0-201-01984-1 .
Hersteinissa. Algebran aiheita. - Waltham: Blaisdell Publishing, 1964. - ISBN 978-1114541016 .
Neal H. McCoy. Johdatus moderniin algebraan . - tarkistettu. - Boston: Allyn ja Bacon, 1968.