Holomorfinen funktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. kesäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Holomorfinen funktio tai yksiarvoinen monimutkainen analyyttinen funktio (kreikan kielestä ὅλος - "kokonainen, kokonainen" ja μορφή - "muoto"), jota joskus kutsutaan säännölliseksi funktioksi - kompleksisen muuttujan funktioksi, joka on määritelty muuttujan avoimessa osajoukossa . monimutkainen taso ja monimutkainen differentioituva joka pisteessä. $\mathbb {C}$

Toisin kuin todellisessa tapauksessa, tämä ehto tarkoittaa, että funktio on äärettömästi differentioituva ja se voidaan esittää siihen suppenevalla Taylor-sarjalla .

Holomorfisia funktioita kutsutaan joskus myös analyyttisiksi , vaikka toinen käsite on paljon laajempi, koska analyyttinen funktio voi olla moniarvoinen ja sitä voidaan harkita myös reaalilukujen osalta .

Määritelmä

Antaa olla avoin osajoukko ja olla monimutkainen arvoinen funktio . Funktion sanotaan olevan holomorfinen joukossa, jos jokin seuraavista vastaavista ehdoista täyttyy: $U$ $\mathbb {C}$ $f:U\to {\mathbb {C}}$ $U$ $U$

Funktiolla on kompleksinen derivaatta joukon jokaisessa pisteessä , eli raja $U$ $f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h)).$
Funktio on kompleksi-differentioituva joka pisteessä , eli on olemassa luku , joka on pisteen läheisyydessä $z\in U$ $L\in \mathbb {C}$ $z$ $f(z+h)=f(z)+Lh+o(h)$
Funktio on reaalidifferentioituva ja Cauchy-Riemannin ehdot ja täyttyvät jokaisessa pisteessä Tässä ja ovat tarkasteltavan funktion reaali- ja imaginaariosat. $z=x+iy\in U$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
Funktio on todellisuudessa differentioituva ja jokaisessa pisteessä , jossa . $z\in U$ ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z))))=0$ ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x))+i{\frac {\partial }{ \osittainen y}}\oikea),$
Funktion Taylor-sarjan kussakin pisteessä on nollasta poikkeava konvergenssisäde, ja sen summa on jossain naapurustossa yhtä suuri kuin . $z\in U$ $f(z)$ $z$
Toiminto on jatkuva ja kiinteä kaikille suljetuille käyrälle . $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \subset U$

Se, että kaikki nämä määritelmät ovat samanarvoisia, on ei-triviaali ja varsin merkittävä monimutkaisen analyysin tulos.

Funktion sanotaan olevan holomorfinen jossakin pisteessä, jos se on holomorfinen jossain naapurustossa . $f$ $z_{0}\in U$ $z_{0}$

Funktiota kutsutaan holomorfiseksi , jos se on alueellaan kompleksisesti differentioituva. $f$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kokonainen funktio on funktio, joka on holomorfinen koko kompleksitasolla.
Meromorfinen funktio on funktio, joka on alueella holomorfinen ja jolla on napa kaikissa singulaaripisteissään. $\Omega \setminus \{{z_{i)),\;i\in I\subset {\mathbb {N}}\}$ $z_{i}$
Funktion sanotaan olevan holomorfinen kompaktissa joukossa, jos on olemassa avoin joukko , joka sisältää holomorfisen joukossa . $f$ $K$ $D$ $K$ $f$ $D$

Ominaisuudet

Monimutkainen funktio on holomorfinen, jos ja vain jos Cauchyn ja Riemannin ehdot täyttyvät $u+iv=f(x+iy)$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\quad {\frac {\partial u}{\partial y))=-{\ frac {\partial v}{\partial x))$

ja osittaiset derivaatat ovat jatkuvia.

{\frac {\partial u}{\partial x)),\;{\frac {\partial u}{\partial y)),\;{\frac {\partial v}{\partial x)),\ ;{\frac {\partial v}{\partial y))

Holomorfisten funktioiden summa ja tulo on holomorfinen funktio, joka seuraa erilaistumisen lineaarisuudesta ja Leibnizin säännön täyttymisestä. Holomorfisten funktioiden osamäärä on myös holomorfinen kaikissa kohdissa, joissa nimittäjä ei katoa.
Holomorfisen funktion derivaatta on jälleen holomorfinen, joten holomorfiset funktiot ovat äärettömästi differentioituvia määritelmäalueellaan.
Holomorfiset funktiot voidaan esittää konvergensseina jossain Taylor-sarjan jokaisen pisteen naapurustossa .
Mistä tahansa holomorfisesta funktiosta voidaan erottaa sen reaali- ja imaginaariosat, joista jokainen on ratkaisu Laplacen yhtälöön vuonna . Eli jos on holomorfinen funktio, niin ja ovat harmonisia funktioita. $\mathbb {R} ^{2}$ $f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $u$ $v$
Jos holomorfisen funktion itseisarvo saavuttaa paikallisen maksimin alueensa sisäpisteessä, funktio on vakio (oletetaan, että alue on kytketty). Tästä seuraa, että holomorfisen funktion absoluuttisen arvon maksimi (ja minimi, jos se ei ole nolla) voidaan saavuttaa vain alueen rajalla.
Alueella, jossa holomorfisen funktion ensimmäinen derivaatta ei katoa ja funktio on univalentti , se suorittaa konformisen kartoituksen .
Cauchyn integraalikaava yhdistää funktion arvon alueen sisäpisteessä sen arvoihin tämän alueen rajalla.
Algebrallisesta näkökulmasta avoimen joukon holomorfisten funktioiden joukko on kommutatiivinen rengas ja kompleksinen lineaariavaruus . Se on paikallisesti konveksi topologinen vektoriavaruus, jonka puolinormi on yhtä suuri kuin supremumi kompakteissa osajoukkoissa.
Weierstrassin lauseen mukaan , jos sarja holomorfisia funktioita konvergoi tasaisesti missä tahansa kompaktissa joukossa , niin sen summa on myös holomorfinen, ja sen derivaatta on sarjan [1] osittaissummien derivaattojen raja . $D$ $D,$
Jos verkkotunnuksessa ei katoa, se on holomorfinen . $f'(z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

Jotkut holomorfisten funktioiden ominaisuudet ovat lähellä polynomien ominaisuuksia , mikä ei kuitenkaan ole yllättävää - holomorfisten funktioiden hajotettavuus Taylor-sarjassa osoittaa, että funktiot ovat jollain tavalla rajoittavia polynomien muunnelmia. Oletetaan, että algebran peruslauseen mukaan millä tahansa polynomilla voi olla nollia enintään sen aste. Holomofisille funktioille on totta samanlainen väite, joka seuraa ainutlaatuisuuslauseesta vaihtoehtoisessa muodossa:

Jos holomorfisen funktion nollien joukolla yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueella on rajapiste tässä toimialueessa , funktio on identtisesti nolla.
Usean reaalimuuttujan funktiolle ei riitä, että funktio olisi differentioituva kunkin muuttujan suhteen. Useiden monimutkaisten muuttujien funktiolle riittää, että funktio on holomorfinen, että se on holomorfinen ( Hartogsin lause ).

Esimerkkejä

Kaikki z:n polynomit ovat holomorfisia funktioita koko tasolla . $\mathbb {C}$

Lisäksi holomorfisia, vaikkakaan eivät koko kompleksitasolla, ovat rationaaliset funktiot , eksponentiaalifunktiot , logaritmi , trigonometriset funktiot , käänteiset trigonometriset funktiot ja monet muut funktioluokat, samoin kuin summat, erot, tulot, osittaiset holomorfiset funktiot.

Esimerkkejä ei-holomorfisista funktioista ovat mm $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

koska niillä ei ole kompleksista johdannaista missään vaiheessa. Tässä tapauksessa rajoitus reaaliakseliin on reaalimuuttujan analyyttinen funktio ( koska se on täysin sama kuin funktion rajoitus ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Historia

Termin "holomorfinen funktio" otti käyttöön kaksi Cauchyn opiskelijaa , Brio ( 1817 - 1882 ) ja Bouquet ( 1819 - 1895 ), ja se tulee kreikan sanoista őλoς ( holos ), joka tarkoittaa "kokonaisuutta" ja μorφń ( morfe ) . - muoto, kuva. [2]

Nykyään monet matemaatikot pitävät parempana termiä "holomorfinen funktio" "analyyttisen funktion" sijaan, koska jälkimmäistä käsitettä käytetään yleisempään tapaukseen. Lisäksi yksi monimutkaisen analyysin tärkeistä tuloksista on, että mikä tahansa holomorfinen funktio on analyyttinen , mikä ei ole ilmeistä määritelmästä. Termiä "analyyttinen" käytetään yleensä yleisemmässä tapauksessa, jolloin funktioita ei välttämättä ole annettu kompleksitasolla.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Moniulotteinen tapaus

On olemassa myös määritelmä useiden monimutkaisten muuttujien funktioiden holomorfialle

f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} .

Määrittelyssä käytetään tällaisten funktioiden -differentioituvuuden ja -lineaarisuuden käsitteitä $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

C-lineaarisuus

Funktiota kutsutaan -lineaariseksi, jos seuraavat ehdot täyttyvät: $f$ $\mathbb {C}$

${\displaystyle f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in \mathbb {C} ^{n))$ .
$f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

( -lineaarisille funktioille ). $\mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb{R}$

Jokaiselle -lineaariselle funktiolle on olemassa sellaisia sekvenssejä , joissa . $\mathbb {R}$ $f$ $\{a_{n}\},\;\{b_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}(a_{i}z_{i}+b_{i}{\bar z}_{i})$
Jokaiselle lineaariselle funktiolle on olemassa sellainen sekvenssi , että . $\mathbb {C}$ $f$ $\{a_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\summa _{{i=1}}^{{n}}a_{i}z_{i}$

C-differentioituvuus

Funktiota kutsutaan -differentioituvaksi pisteessä, jos on olemassa funktioita ja sellaisia, että pisteen läheisyydessä $f$ $\mathbb {C}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ $l$ $o$ $z$

f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim _{{h\to 0}}{\frac {o(h)}{h}}=0 ,

missä on -lineaarinen ( -differentoitavuudelle - -lineaarinen) funktio. $l$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Holomorfismi

Toiminnon sanotaan olevan holomorfinen alueella, jos se on -differentioituva alueen jokaisen pisteen naapurustossa . $f$ $D,$ $\mathbb {C}$

Kvasi-analyyttisyys

Muistiinpanot

↑ A. V. Domrin, A. G. Sergeev. Luentoja monimutkaisesta analyysistä. Ensimmäinen puolivuosi. - M .: MIAN, 2004. - S. 79. - ISBN 5-98419-007-9 .
↑ Markushevich AI, Silverman, Richard A. (toim.) Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria. - M .: American Mathematical Society , 2. painos. — ISBN 0-8218-3780-X , [1] Arkistoitu 13. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa .

Kirjallisuus

Holomorfinen funktio // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. - M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Funktioteoria: Per. englannista. - 2. painos, tarkistettu. - M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Johdatus monimutkaisen muuttujan funktioteoriaan: Käsikirja korkeakouluille. - M. - L .: Valtion Kustantaja, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Blakey, Joseph. Yliopistomatematiikka (uuspr.) . – 2. - Lontoo: Blackie and Sons, 1958.

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Analyyttinen funktio , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Hienoa norjalaista
Suuri Neuvostoliitto (1 painos)

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 119819963 GND : 4025645-5 J9U : 987007562960505171 LCCN : sh85061536 NDL : 00570426 NKC : ph321880