Gravitaatiopotentiaali

Gravitaatiopotentiaali on koordinaattien ja ajan skalaarifunktio , joka riittää täydelliseen gravitaatiokentän kuvaukseen klassisessa mekaniikassa . Sillä on nopeuden neliön mitta, joka yleensä merkitään kirjaimella . Sädevektorin antama gravitaatiopotentiaali tietyssä avaruuden pisteessä on numeerisesti yhtä suuri kuin työ, jonka gravitaatiovoimat tekevät siirrettäessä massayksikköä olevaa testikappaletta mielivaltaista lentorataa pitkin annetusta pisteestä pisteeseen, jossa potentiaali oletetaan. olla nolla. Gravitaatiopotentiaali on yhtä suuri kuin tähän pisteeseen sijoitetun pienen kappaleen potentiaalienergian suhde kappaleen massaan . Kuten potentiaalienergia, myös gravitaatiopotentiaali määritellään aina vakiotermiin asti, joka yleensä (mutta ei välttämättä) valitaan siten, että potentiaali äärettömyydessä on nolla. Esimerkiksi maan pinnan gravitaatiopotentiaali äärettömän kaukaisesta pisteestä mitattuna (jos jätämme huomiotta auringon, galaksin ja muiden kappaleiden painovoiman) on negatiivinen ja yhtä suuri kuin −62,7 10 6 m 2 / s 2 (puolet neliöstä toisesta kosmisesta nopeudesta ). $\varphi$ ${\vec {r))$ $U({\vec {r)))$ $m$

Adrien Marie Legendre toi ensimmäistä kertaa gravitaatiopotentiaalin käsitteen tieteeseen 1700- luvun lopulla .

Nykyaikaisissa painovoimateorioissa gravitaatiopotentiaalin roolia ovat yleensä tensorikentät. Joten nykyisessä standardissa painovoimateoriassa - yleisessä suhteellisuusteoriassa - gravitaatiopotentiaalin roolia esittää metrinen tensori .

Gravitaatiopotentiaali ja liikeyhtälöt

Klassisessa mekaniikassa hiukkasen liike gravitaatiokentässä määräytyy Lagrange-funktion avulla , joka inertiaalisessa vertailukehyksessä on muotoa:

L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi ,

missä on hiukkasen massa, on hiukkasen yleinen koordinaatti , on gravitaatiokentän potentiaali. $m$ $q$ $\varphi$

Lagrangenin lausekkeen korvaaminen Lagrangen yhtälöillä : $L$

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0 ,

saamme liikeyhtälöt

{\ddot {q}}=-\operaattorinimi {grad} \varphi .

Klassisen mekaniikan gravitaatiokentässä olevan hiukkasen liikeyhtälöt eivät sisällä massaa tai muuta hiukkaselle ominaista määrää. Tämä tosiasia heijastaa painovoima- ja hitausvoimien vastaavuusperiaatetta . $m$

Pistemassan ja mielivaltaisen kappaleen gravitaatiopotentiaali

Origossa sijaitsevan pistemassan luoma gravitaatiopotentiaali on yhtä suuri kuin $M$

\varphi ({\vec {r)))=-{\frac {GM}{r}}+C,

missä on gravitaatiovakio , on etäisyys origosta (sädevektorin moduuli ). Tarkoittaa mielivaltaista vakiota, joka jätetään pois valittaessa äärettömästä. $G$ $r$ ${\vec {r))$ $C$ $\varphi=0$

Sama kaava pätee gravitaatiopotentiaalille minkä tahansa kappaleen ulkopuolella, jolla on pallosymmetrinen massajakauma. Esimerkki olisi yhtenäinen pallo tai ohut pallo. (Huomaa: pallon sisällä potentiaali on yhtä suuri kuin pallon potentiaali , missä on pallon säde). $-GM/a$ $a$

Yleisessä tapauksessa mielivaltaisen massan jakautuman (tiheys riippuu koordinaateista mielivaltaisella tavalla) luoma gravitaatiopotentiaali tyydyttää Poissonin yhtälön $\rho$

\Delta \varphi ({\vec {r)))=4\pi G\rho ({\vec {r))),

missä on Laplace-operaattori . Tällaisen yhtälön ratkaisulla on muoto $\Delta$

\varphi ({\vec {r)))=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^ {\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C.

Tässä on sen pisteen sädevektori, josta potentiaalia etsitään, ja se on äärettömän pienen tilavuuselementin sädevektori , jonka ainetiheys on ; integrointi suoritetaan kentän luovien kappaleiden koko volyymille. ${\vec {r))$ ${\vec {r}}^{\prime }$ ${\displaystyle dV^{\prime ))$ $\rho ({\vec {r))^{\prime })$

Gravitaatiopotentiaali ja painovoimaenergia

Gravitaatiokentässä pisteessä sijaitsevan hiukkasen potentiaalienergia on yhtä suuri kuin kentän potentiaali tässä pisteessä kerrottuna hiukkasen massalla : ${\vec {r))$ $m$

U({\vec {r)))=m\varphi ({\vec {r))).

Kappaleiden (erillisten hiukkasten) järjestelmän gravitaatioenergia ymmärretään potentiaalisena energiana, joka johtuu näiden hiukkasten keskinäisestä vetovoimasta. Se on yhtä suuri kuin puolet yksittäisten hiukkasten potentiaalienergioiden summasta; kahdella jakaminen välttää samojen vuorovaikutusten kaksinkertaisen huomioimisen. Esimerkiksi parille materiaalipisteille, jotka ovat etäisyyden päässä toisistaan $l$

U_{g}={\frac {1}{2}}\left[U_{1}+U_{2}\right]={\frac {1}{2}}\left[-G{ \frac {m_{1}m_{2}}{l}}-G{\frac {m_{2}m_{1}}{l}}\right]=-G{\frac {m_{1}m_ {2}}{l}};

tässä on ensimmäisen pisteen potentiaalienergia toisen kentässä ja toinen ensimmäisen kentässä. $U_{1}$ $U_{2}$

Samoin jatkuvan massojen jakauman gravitaatioenergialle lauseke on totta:

U_{g}={\frac {1}{2))\int _{V}\rho ({\vec {r)))\varphi ({\vec {r)))dV,

missä on massatiheys , on gravitaatiopotentiaali, joka on laskettu käyttämällä edellisen osan kaavoja, on kehon tilavuus. Siten pallon, jonka massa ja säde on tasaisella tiheysjakaumalla, gravitaatioenergia on . $\rho$ $\varphi$ $V$ $m$ $a$ $U_{g}=-3Gm^{2}/5a$

Gravitaatiopotentiaalin sarjalaajennukset

Voimme laajentaa mielivaltaisen massajärjestelmän gravitaatiopotentiaalin laskemiseksi suurilla etäisyyksillä siitä:

\varphi =-G\left({\frac {M}{R_{0}}}+{\frac {1}{6}}D_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{ 2}}{\partial {X_{\alpha }}\partial {X_{\beta }}}}{\frac {1}{R_{0}}}+...\right),

missä on järjestelmän kokonaismassa ja määrät: $M=\int \rho dV$

D_{\alpha \beta }=\int \rho (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })dV

muodostavat kvadrupolin massamomenttitensorin . _ Se liittyy tavanomaiseen hitausmomenttitensoriin

J_{\alpha \beta }=\int \rho (r^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{\alpha }x_{\beta })dV

ilmeiset suhteet

D_{{\alpha \beta }}=J_{{\gamma \gamma }}\delta _({\alpha \beta }}-3J_{{\alpha \beta }}).

Myös pallofunktioiden laajennus on mahdollista, jota käytetään erityisesti kosmisten kappaleiden gravitaatiokenttien analysoinnissa:

\varphi =-{\frac {GM}{r}}\left(1-\sum _{n=2}^{\infty }J_{n}\left({\frac {R}{r }}\oikea)^{n}P_{n}(\sin \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{n}\left({\ frac {R}{r}}\right)^{n}(C_{nk}\cos(k\lambda )+S_{nk}\sin(k\lambda ))P_{n}^{k}(\ sin\theta )\right).

Tässä ovat havaintopisteen pallomaiset koordinaatit, ovatko n:nnen kertaluvun Legendre-polynomit, ovatko niihin liittyvät Legendren polynomit, ovatko gravitaatiomomentit [1] . $r,\theta,\lambda$ $P_{n}$ $P_{{n}}^{{k}}$ ${\displaystyle J_{n},C_{nk},S_{nk))$

Gravitaatiopotentiaali ja yleinen suhteellisuusteoria

Yleisessä suhteellisuusteoriassa aineellisen pisteen liikeyhtälöillä gravitaatiokentässä on muoto:

{\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds} }{\frac {dx^{s}}{ds}}=0,

missä ovat Christoffel-symbolit . Tässä on yleisen suhteellisuusteorian painovoimakenttää kuvaava metrinen tensori . $\Gamma _{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}\left({\frac {dg_{kr}}{dx^{s}}}+{ \frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg_{rs}}{dx^{k}}}\right)$ $g_{{ik}}$

Näiden liikeyhtälöiden vertailu Newtonin mekaniikan liikeyhtälöihin osoittaa, että yleisessä suhteellisuusteoriassa gravitaatiopotentiaalin roolia esittää metrinen tensori. ${\frac {d^{{2}}x^{{i}}}{dt^{{2}}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{{i}}}}$ $\varphi$

Nopeuksilla, jotka ovat pieniä valonnopeuteen verrattuna ja heikkojen vakiopainovoimakenttien tapauksessa, liikeyhtälöt saavat muodon

{\frac {d^{{2}}x^{{i}}}{dt^{{2}}}}=-c^{{2}}\Gamma _{{44}}^{{i }}

paikkakoordinaateille ja aikakoordinaateille. Jättäen huomioimatta aikaderivaatat, voidaan niiden sijaan korvata ja siten saada Newtonin liikeyhtälöt $i = 1,2,3$ $x^{{4}}=ct$ $\Gamma _{{44}}^{{i}}$ $-{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{{44}}}{dx^{{i}}}}$

{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}.

Tässä suhteessa gravitaatiopotentiaali ja metrisen tensorin komponentti liittyvät toisiinsa $\varphi$ $g_{{44}}$

\varphi =-{\frac {1}{2}}c^{{2}}(g_{{44}}+1)

g_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\oikea).

Johtuen siitä, että kellon maailmanviivan elementti levossa on ja aika on , kellon hidastuminen gravitaatiokentässä on $ds^{{2}}=g_{{44}}(dx^{4})^{2}$ $t={\frac {x^{4}}{c}}$

t_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g_{44))))={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^ {2}}}}}}\noin t\left(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\oikea).

Ajan suhteellinen hidastuminen pisteessä, jossa gravitaatiopotentiaali on pienempi, verrattuna aikaan pisteessä, jossa gravitaatiopotentiaali on suurempi, on yhtä suuri kuin gravitaatiopotentiaalien ero näissä kohdissa jaettuna painovoiman neliöllä. valonnopeus.

Katso myös

Newtonin klassinen painovoimateoria

Muistiinpanot

↑ Maan ja planeettojen sisäinen rakenne, 1978 , s. 46.
↑ Pauli V. Suhteellisuusteoria - M .: OGIZ - 1947, ampumarata. 16000 kopiota - 300 sivua.

Kirjallisuus

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoreettinen fysiikka , oppikirja yliopistoille, 10 osaa / v. 1, "Mekaniikka", 5. painos, stereotyyppi., M .: Fizmatlit. - 2002. - 224 s., ISBN 5-95251-00521 -6 (osa 1), ch. 1 "Liikeyhtälöt", s. 2 "Pienimmän toiminnan periaate", s. 10-14;
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoreettinen fysiikka , oppikirja yliopistoille, 10 osaa / v. 2, "Field Theory", 8. painos, stereotyyppi., M .: Fizmatlit. - 2001. - 536 s., ISBN 5-9221- 0056-4 (osa 2), ch. 10 "Hartikkeli gravitaatiokentässä", s. 81 "Gravitaatiokenttä ei-relativistisessa mekaniikassa", s. 304-306; ch. 12 "Feld of Gravitating Bodies", s. 99 "Newtonin laki", s. 397-401;
Weinberg S. Painovoima ja kosmologia. Yleisen suhteellisuusteorian periaatteet ja sovellukset, käänn. englannista. V. M. Dubovik ja E. A. Tagirov, toim. Ya. A. Smorodinsky, "Platon", 2000, ISBN 5-80100-306-1 , osa 2 "Yleinen suhteellisuusteoria", ch. 3 “Ekvivalenssiperiaate”, s. 4 “Newtonin approksimaatio”, s. 92-93;
Kholshevnikov KV, Nikiforov II Gravitaatiopotentiaalin ominaisuudet esimerkeissä ja tehtävissä: Oppikirja. - Pietari, 2008. - 72 s., BBC 22.6.
Zharkov VN Maan ja planeettojen sisäinen rakenne. - M .: Nauka, 1978. - 192 s.