Murtoluku (matematiikka)

$8~/~13$		${\frac {8}{13))$	osoittaja
osoittaja	nimittäjä		nimittäjä
Kaksi merkintää samalle murtoluvulle

Aritmetiikassa murto - osa on luku , joka koostuu yhdestä tai useammasta yhtä suuresta osasta (osuudesta) yhtä [1] .

Matematiikassa käytetään jonkin verran yleistettyä määritelmää, joka erottaa kahden tyyppiset murtoluvut.

Tavalliset murtoluvut muodosta , missä kokonaisluku , luonnollinen . Toisin kuin aritmeettinen määritelmä, tällaisella murtoluvulla voi olla miinusmerkki . ${\frac {m}{n))$ $m$ $n$
(ei välttämättä murtolukujen) kirjoittaminen paikkalukujärjestelmiin . Tunnetuimpia ovat ihmisille sopivat desimaalimurtoluvut ja binäärimurtoluvut , joita käytetään tietokoneiden laskennassa [2] .

Matemaattisessa merkinnässä muodon murto-osaa tai pylvästä edeltävää (yläpuolella) olevaa lukua kutsutaan osoittajaksi ja palkin jälkeistä numeroa (palkin alla) nimittäjäksi . Ensimmäinen toimii osinkona , toinen jakajana . $m/n$ ${\frac {m}{n}}$

Yleisalgebrassa tavalliset murtoluvut muodostavat rationaalilukujen kentän .

Murtotyypit

Yhteiset murtoluvut

Tavallinen (tai yksinkertainen ) murtoluku - rationaalisen luvun kirjoittaminen muotoon tai missä Vaaka tai vinoviiva osoittaa jakomerkkiä, joka johtaa osamäärään. Osinkoa kutsutaan murtoluvun osoittajaksi ja jakajaa nimittäjäksi . ${\frac {m}{n))$ $m/n,$ $n\neq 0.$

Yhteinen murtoluku

Tavallisten murtolukujen kirjoittamista painetussa muodossa on useita:

½,
1/2 tai ( vinoviivaa kutsutaan "solidukseksi" [3] ), $^{1}\!/_{2}$
pois kaavasta: , ${\frac {1}{2))$
pienten kirjainten kaava: . ${\tfrac {1}{2))$

Oikeat ja väärät murtoluvut

Murtolukua kutsutaan oikeaksi, jos osoittajamoduuli on pienempi kuin nimittäjämoduuli. Murtolukua, jonka osoittajamoduuli on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjämoduuli, kutsutaan virheelliseksi murtoluvuksi ja se on rationaalinen luku , joka on suurempi tai yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkiksi murtoluvut , ja ovat oikein, kun taas , ja ovat vääriä. Mikä tahansa muu kuin nolla kokonaisluku voidaan esittää virheellisenä murtolukuna nimittäjällä . ${\frac {3}{5))$ ${\frac {7}{8))$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {8}{3))$ ${\frac {9}{5}}$ ${\frac {2}{1))$ ${\frac {1}{1))$ $yksi$

Sekamurtoluvut

Murtolukua, joka on kirjoitettu ei-negatiiviseksi kokonaisluvuksi ja oikeaksi murtoluvuksi, kutsutaan sekamurtoluvuksi ja se ymmärretään tämän luvun ja murtoluvun summana. Mikä tahansa rationaalinen luku voidaan kirjoittaa sekamurtolukuna (miinusmerkki negatiivisille luvuille). Toisin kuin sekamurtoluku, murtolukua, joka sisältää vain osoittajan ja nimittäjän, kutsutaan yksinkertaiseksi murtoluvuksi .

Esimerkiksi . $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$

Yhdistelmäfraktiot

Monikerroksinen tai yhdistelmämurtoluku on lauseke, joka sisältää useita vaakasuuntaisia (tai harvemmin vinoja) viivoja:

{\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}

tai tai .

{\frac {1/2}{1/3}}

{\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}

Yleisesti ottaen murto-osamerkkiä sellaisessa yleistetyssä merkityksessä ei käytetä vain murtolukuihin, vaan myös jaon kompaktiin merkintään, eikä vain kokonaislukuihin, vaan myös mahdollisiin reaali- ja kompleksilukuihin, funktioihin, polynomeihin ja vastaaviin eri jakooperaatioiden operandeihin. .

Desimaalit

Desimaalimurtoluku on murtoluvun paikkatietue , jossa nimittäjää ei anneta eksplisiittisesti, vaan se ymmärretään kokonaislukuna, kymmenen potenssina (esim. 100, 1000 jne.). Se näyttää tältä ( aritmeettisten lausekkeiden ulkopuolella oleva merkki jätetään yleensä pois): $+$

\pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots

Tietueen osa, joka tulee ennen desimaalipistettä , kun kyseessä on ei-negatiivinen murtoluku, on luvun kokonaislukuosa (murto) ja desimaalipilkun jälkeen oleva osa on murto-osa . Mikä tahansa yhteinen murtoluku voidaan muuntaa desimaaliluvuksi , jossa tässä tapauksessa on joko äärellinen määrä desimaalilukuja tai se on jaksollinen murtoluku .

Esimerkki: Desimaali murtolukumuodossa on . $3{,}1415926$ ${\frac {31415926}{10000000}}$

Desimaalit, joissa on ääretön määrä numeroita desimaalipilkun oikealla puolella, edustavat ääretöntä sarjaa. Esimerkiksi 1/3 = 0,333… on ääretön sarja 3/10 + 3/100 + 3/1000 +…

Desimaalit voidaan ilmaista myös eksponentiaalisella merkinnällä negatiivisilla eksponenteilla, kuten 6,023 × 10 −7 , mikä tarkoittaa 0,0000006023 (kertomalla tai vastaavasti jakamalla desimaalipilkkua 7 paikkaa vasemmalle). $10^{{-7}}$ $10^{7},$

Toinen murto-osa on prosenttiosuus ( latinaksi Pro Centum - "sata"), jota edustaa symboli % , jossa oletettu nimittäjä on aina 100. Näin ollen 51 % tarkoittaa 51/100. Prosentteja, jotka ovat suurempia kuin 100 tai pienempiä kuin nolla, käsitellään samalla tavalla, esimerkiksi 311 % on 311/100 ja -27 % on -27/100.

Samanlainen ppm tai tuhannesosien käsite merkitsee nimittäjä 1000 . Yleinen nimitys miljoonasosille on ( englanniksi parts per million - ppm), esimerkiksi 75 ppm tarkoittaa, että suhde on 75 / 1000000.

Kansainvälinen yksikköjärjestelmä

Kansainvälinen nimitys	Venäjän kieli	SI-järjestelmä
ppm	ppm ; _ 1:10 6	mikro (mk)
ppb	miljardia −1 ; 1:10 9	nano (n)
ppt	biljoonaa −1 ; 1:10 12	pico (p)
ppquad	kvadriljoona −1 ; 1:10 15	femto (f)

Yleisesti ottaen luvun paikkamerkintään voit käyttää desimaalilukujärjestelmän lisäksi myös muita (mukaan lukien tiettyjä, kuten Fibonacci ).

Murtoluvun arvo ja murto-osan perusominaisuus

Murtoluku on vain esitys luvusta. Sama luku voi vastata eri murtolukuja, sekä tavallisia että desimaalilukuja.

Jos kerrot murtoluvun osoittajan ja nimittäjän samalla määrällä:

{\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}

silloin murto-osan arvo pysyy samana, vaikka murtoluvut ovat erilaisia. Esimerkiksi:

{\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}

Kääntäen, jos tietyn murtoluvun osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen jakaja , niin molemmat osat voidaan jakaa sillä; tätä toimintoa kutsutaan murtolukuvähennykseksi . Esimerkki:

{\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}

- tässä murtoluvun osoittaja ja nimittäjä on vähennetty yhteisellä jakajalla .

neljä

Pelkistymätön murtoluku on murtoluku, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat koprime , eli niillä ei ole yhteisiä jakajia, paitsi $\pm 1.$

Desimaalimurtoluvulla merkintä on lähes aina yksiselitteinen, paitsi jos merkintä päättyy äärettömään sarjaan, jossa on joko vain nollia (joka voidaan jättää pois) tai vain yhdeksän. Esimerkiksi:

0,\!999...=1

- kaksi erilaista murto-osaa vastaa yhtä lukua ;

2,\!13999...=2,\!14

Operaatiot murtoluvuilla

Tämä osio käsittelee operaatioita tavallisilla jakeilla. Katso desimaalioperaatiot kohdasta Desimaalit .

Vähentäminen yhteiseen nimittäjään

Murtolukujen vertailua, yhteen- ja vähennyslaskua varten ne tulee muuntaa ( pienentää ) muotoon, jolla on sama nimittäjä. Olkoon kaksi murtolukua: ja . Toimenpide: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$

Etsi nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen : . $M=[b,d]$
Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla . $m/b$
Kerro toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla . $m/d$

Sen jälkeen molempien murtolukujen nimittäjät ovat samat (yhtä ). Pienimmän yhteiskerran sijaan voidaan yksinkertaisissa tapauksissa ottaa minkä tahansa muun yhteisen kerrannaisena, esimerkiksi nimittäjien tulo. Katso esimerkki alla olevasta Vertailu-osiosta . $M$ $M$

Vertailu

Vertaaksesi kahta tavallista murtolukua, sinun tulee vähentää ne yhteiseksi nimittäjäksi ja verrata tuloksena olevien murtolukujen osoittajia. Suuremmalla osoittajalla oleva murto-osa on suurempi.

Esimerkki. Vertaa ja . . Tuomme murtoluvut nimittäjään . ${\frac {3}{4))$ ${\frac {4}{5))$ $\mathrm {HOK} (4,5)=20$ $kaksikymmentä$

{\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}

Näin ollen ${\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}$

Yhteen- ja vähennyslasku

Jos haluat lisätä kaksi yhteistä murtolukua, sinun on saatava ne yhteiseen nimittäjään. Lisää sitten osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Esimerkki 1 : + = + =

\quad {\frac {1}{2))

{\frac {1}{3))

{\frac {3}{6))

{\frac {2}{6))

{\frac {5}{6))

Nimittäjien LCM (tässä ja ) on yhtä suuri kuin . Tuomme murto -osan nimittäjään , tätä varten osoittaja ja nimittäjä on kerrottava luvulla . Se osoittautui . Tuomme murto -osan samaan nimittäjään, tätä varten osoittaja ja nimittäjä on kerrottava luvulla . Se osoittautui . Murtolukujen eron saamiseksi ne on myös vähennettävä yhteiseksi nimittäjäksi ja vähennettävä sitten osoittajat jättäen nimittäjä ennalleen: $2$ $3$ $6$ ${\frac {1}{2))$ $6$ $3$
${\frac {3}{6))$ ${\frac {1}{3))$ $2$ ${\frac {2}{6))$

{\frac {1}{2))

— = — =

{\frac {1}{4))

{\frac {2}{4))

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

Nimittäjien LCM (tässä ja ) on yhtä suuri kuin . Tuomme murto -osan nimittäjään , tätä varten meidän on kerrottava osoittaja ja nimittäjä luvulla . Me saamme . $2$ $neljä$ $neljä$ ${\frac {1}{2))$ $neljä$ $2$ ${\frac {2}{4))$

Esimerkki 2 :

\quad {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {2\ cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {21}{35}}+{\frac {10}{35}}={\frac {31}{35}}

Kerto- ja jakolasku

Jos haluat kertoa kaksi yleistä murtolukua, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät:

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.

Erityisesti, jos haluat kertoa murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on kerrottava osoittaja numerolla ja jätettävä nimittäjä samaksi:

{\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2

Yleensä tuloksena olevan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä eivät välttämättä ole alkuluku, ja murtolukua on ehkä pienennettävä, esimerkiksi:

{\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.

Määritellään murtoluvun käänteisluku murtoluvuksi (tässä ). Sitten kertolaskun määritelmän mukaan murtoluvun ja sen käänteisluvun tulo on 1: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {b}{a}}$ $a,b\neq 0$

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1

Jos haluat jakaa yhden yhteisen murtoluvun toisella, sinun on kerrottava ensimmäinen murto toisen käänteisluvulla:

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\ frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.

Esimerkiksi:

{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3 }{2}}.

Eksponenttiointi ja juurien erotus

Nostaaksesi murto-osan potenssiin, sinun on nostettava sen osoittaja ja nimittäjä samaan potenssiin:

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},b\neq 0.

Esimerkki:

\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}={\frac {8}{ 27}}

Jotta murto-osa erotetaan juurista, sinun on poimittava vastaava juuri osoittajasta ja nimittäjästä:

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}} },b\neq 0.

Esimerkki:

{\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{64}}{\sqrt[{3}]{125}} }={\frac {4}{5}}.

Muuntaminen eri tallennusmuotojen välillä

Jos haluat muuntaa murtoluvun desimaaliluvuksi, jaa osoittaja nimittäjällä. Tuloksessa voi olla äärellinen määrä desimaaleja, mutta se voi olla myös ääretön jaksollinen murtoluku . Esimerkkejä:

{\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5

{\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)

- loputtomasti toistuva piste kirjoitetaan yleensä sulkeisiin.

Jos haluat muuntaa desimaalin, jossa on rajallinen määrä desimaalipaikkoja, yhteiseksi murtoluvuksi, sinun on esitettävä sen murto-osa luonnollisena lukuna jaettuna sopivalla 10:n potenssilla. Sitten tulokseen lisätään etumerkillinen kokonaislukuosa, jolloin muodostuu sekamurto. Esimerkki:

71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}

Yleisesti ottaen ääretöntä desimaalilukua ei voida esittää täsmälleen tavallisena murtolukuna. Poikkeuksena ovat jaksolliset desimaalimurtoluvut , joille tällainen esitys on aina mahdollista [4] .

Esimerkki (katso myös Toistuvan desimaaliluvun muuntaminen yhteiseksi murtoluvuksi ). Muunnetaan jaksollinen murto tavalliseksi murtoluvuksi. Merkitse , sitten mistä: tai: Tuloksena saamme: $1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).$ $x=0{,}(142857)$ $1000000\cdot x=142857+x,$ $999999x=142857,$ $x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7)).={ \frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.$

Termin historia ja etymologia

Venäjän termi murtoluku , kuten sen vastineet muilla kielillä, tulee latista. fractura , joka puolestaan on käännös arabialaisesta termistä, jolla on sama merkitys: murskata, murskata . Kreikkalaiset ja intialaiset matemaatikot loivat perustan tavallisten murtolukujen teorialle . Arabien kautta latinaksi käännetty termi siirtyi Eurooppaan, sen mainitsi jo Fibonacci (1202). Sanat osoittaja ja nimittäjä otti käyttöön kreikkalainen matemaatikko Maxim Planud .

Murtoluvut laskettiin muinaisessa Egyptissä . Matemaattisia lähteitä Egyptin murtoluvuista on säilynyt tähän päivään asti : Rinda Mathematical Papyrus (n. 1650 eKr.) [5] , Egyptin matemaattinen nahkakäärö (XVII vuosisata eKr.) [6] , Moskovan matemaattinen papyrus (n. 1850 eKr.), puutaulu Akhmim (n. 1950 eKr.) [7] .

Kiinassa tavallisia murtolukuja löytyy teoksesta " Mathematics in Nine Books " (X-II vuosisata eKr.), joka on toimitettu II vuosisadalla eKr. e. talousviranomainen Zhang Cang. Desimaalimurtoluvut löydettiin ensimmäisen kerran Kiinassa noin 3. vuosisadalta jKr. e. laskettaessa laskentalaudalla ( suanpan ). Kirjallisissa lähteissä desimaalimurtolukuja kuvattiin jonkin aikaa perinteisessä (ei-positio-) muodossa, mutta vähitellen paikkajärjestelmä korvasi perinteisen [8] . Persialainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) tutkielmassa "Aritmeettisen avain" (1427) julisti itsensä desimaalimurtolukujen keksijäksi, vaikka ne löytyivät Al-Uklidisin kirjoituksista. , joka eli viisi vuosisataa aikaisemmin [9] .

Aluksi eurooppalaiset matemaatikot käyttivät vain tavallisia murtolukuja ja tähtitieteessä seksagesimaalilukuja . Nykyaikainen nimitys tavallisille jakeille on peräisin muinaisesta Intiasta - aluksi arabit lainasivat sen ja sitten XII - XVI -luvuilla eurooppalaiset. Alussa murtoluvut eivät käyttäneet murtopalkkia: luvut kirjoitettiin näin: Murtopalkin käyttö muuttui vakioksi vasta noin 300 vuotta sitten. Euroopassa ensimmäinen tiedemies, joka käytti ja levitti intialaista laskentajärjestelmää (tunnetaan nimellä "arabialaiset numerot"), mukaan lukien murtolukujen kirjoitusmenetelmä, oli italialainen kauppias, matkustaja, kaupungin virkailijan poika Fibonacci (Pisan Leonardo) [ 10] . 1500-luvulla kehittyi täysimittainen teoria tavallisista murtoluvuista ja toiminnoista niiden kanssa ( Tartaglia , Clavius ). ${\tfrac {1}{4)),2{\tfrac {1}{5}}$ ${\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.$

Euroopassa Immanuel Bonfils otti ensimmäiset desimaalimurtoluvut käyttöön noin vuonna 1350, mutta ne yleistyivät vasta Simon Stevinin teoksen Kymmenes (1585) ilmestymisen jälkeen. Stevin kirjoitti desimaaleja monimutkaisilla tavoilla: esimerkiksi luku 42,53 kirjoitettiin muodossa tai 42 ⓪ 5 ① 3 ② , jossa 0 ympyrässä tai rivin yläpuolella tarkoitti kokonaista osaa, 1 tarkoitti kymmenesosia, 2 tarkoitti sadasosia ja niin edelleen. Pilkua on käytetty erottamaan koko osa 1600-luvulta lähtien [10] . ${\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3} }$

Venäjällä murto-osia kutsuttiin osakkeiksi . Ensimmäisessä venäläisissä matematiikan oppikirjoissa - 1600-luvulla - murtolukuja kutsuttiin murtoluvuiksi [ 10] . Termiä murto , latinan fracturan analogina, käytetään Magnitskyn Aritmetiikassa (1703) sekä tavallisille että desimaalimurtoluvuille.

Yleistykset

Yksityisen rengas
Rationaalinen funktio on polynomeista koostuva murto-osa .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Encyclopedia of Mathematics, 1982 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille . - toim. 13. — M .: Nauka, 1985. — S. 130. — 544 s.
↑ ParaType-käsikirja .
↑ Tsypkin, 1983 .
↑ Rhindin matemaattinen papyrus .
↑ Clagett, 1999 .
↑ Simpson, 1961 .
↑ Martzloff, 1997 .
↑ Berggren, 2007 .
↑ 1 2 3 Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd, 1997 .

Kirjallisuus

Venäjäksi:

Aritmeettinen murtoluku // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - Moskova: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 2. - S. 389-390.
Matematiikka: Proc. 5 solulle. keskim. koulu / toim. N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 4. painos - Cheboksary: Chuv. kirja. kustantamo, 1997. - S. 202-203, 230.
Tsypkin A.G. Matematiikan käsikirja lukioille. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1983. - S. 51. - 480 s.

Englanniksi:

Berggren, J. Lennart. Matematiikka keskiaikaisessa islamissa // Egyptin, Mesopotamian, Kiinan, Intian ja islamin matematiikka : lähdekirja . - Princeton University Press , 2007. - s . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
Jean-Claude Martzloff. Kiinan matematiikan historia. Springer (englanniksi) . - 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
William K. Simpson Lisäkatkelma "Hatnub" Stelasta // Journal of Near Eastern Studies. - 1961. - tammikuu ( osa 20 , nro 1 ). - S. 25-30 .
Clagett, Marshall. American Philosophical Societyn muistelmat 232 // Muinainen Egyptiläinen tiede: Lähdekirja. - Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. - V. 3. - S. 17-18, 25, 37-38, 255-257.

Linkit

Rhindin matemaattinen papyrus . Brittiläinen museo. Käyttöönottopäivä: 13.1.2019.
Murtopalkki (Fraction bar, Solidus) . ParaType käsikirja . (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX532372 BNF : 12063899h GND : 4008387-1 J9U : 987007548245905171 LCCN : sh85051148 NDL : 00561041 NKC : ph135439

Luvun murto-osat (kokonaisuuden osat)
muuttuva arvo	Prosenttiosuus ( % ) Ppm ( ‰ ) Kymmenentuhannes ( ‱ ) Miljoonasosia ( ppm, ppm ) Miljardisosa ( ppb, ppb ) Triljoona osa ( ppt, triljoona −1 )
kiinteä arvo	1/4 (neljännes) 1/3 (kolmas) 1/2 (puolikas) 1/1 (kaikki, kokonaiset)
Katso myös	SI-etuliitteet koko osa Desimaali Murto-osa Desimaalierotin Murto-osa Osa Jaa (musiikkia) Jaa (yksikkö)