Yksikkö (algebra)

Rengasteorian yksikkö on kertolaskuoperaation kaksipuolinen neutraali elementti . Rengasta , joka sisältää yhden, kutsutaan renkaaksi, jossa on yksi . Yksikkö merkitään yleensä numerolla "1" (joka heijastaa samannimisen numeron ominaisuuksia ) tai joskus (esimerkiksi matriisialgebrassa ) , latinalaisella kirjaimella I tai E.

Algebrallisten objektien erilaiset määritelmät voivat joko edellyttää yksikön läsnäoloa tai jättää sen valinnaiseksi elementiksi. Yksipuolista neutraalia elementtiä ei kutsuta yksiköksi. Yksikkö on ainutlaatuinen kaksipuolisen neutraalin elementin yleisen ominaisuuden vuoksi.

Joskus renkaan yksiköt ovat sen palautuvia elementtejä , mikä voi olla hämmentävää.

Yksi, nolla ja kategoriateoria

Algebrallisesta rakenteesta ja sen tarkasta määrittelystä riippuen yhtäläisyys 1 = 0 voi olla sekä kiellettyä että sallittua, mutta kun tällainen yhtäläisyys tapahtuu, objekti on triviaali . Kentällä on määritelmän mukaan yksikkö ja 1 ≠ 0 vaaditaan , joten jokainen kenttä sisältää vähintään kaksi eri elementtiä. Yksikkörenkaiden Ring - luokassa triviaalirengas on pääteobjekti .

Yksikkö on renkaan ainoa elementti, sekä idempotentti että käännettävä.

Käännettävyys

Mitä tahansa elementtiä u renkaassa, jossa on yksikkö ja joka on yksikön kaksipuolinen jakaja , kutsutaan käännettäväksi , eli:

\exists v_{1}:v_{1}\,u=1

\exists v_{2}:u\,v_{2}=1

Kertomisen assosiatiivisuudesta seuraa, että tässä tapauksessa v 1 = v 2 , mikä taas viittaa siihen, että valinta on ainutlaatuinen.

Käänteisiä elementtejä kutsutaan joskus algebrallisiksi yksiköiksi ( englanniksi unity , ranskaksi unité ), mutta tämä käsite on laajempi kuin tietty neutraali elementti 1 . Esimerkiksi kentässä mikä tahansa muu elementti kuin nolla on käännettävä.

Idempotenssi

Jos on idempotentti renkaassa ja ihanteet ja kohtaavat, niin e on identiteetti siellä (alirenkaassa). $e\in R$ $eR$ $Re$

Yksikön lisääminen

Mitä tahansa kommutatiivisen renkaan yli olevaa algebraa , vaikka ei välttämättä assosiatiivista, voidaan laajentaa yhteen ulottuvuuteen lisäämällä elementti 1 ja määrittelemällä kertolasku lineaarisissa yhdistelmissä seuraavasti:

{\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{ 2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} ))

säilyttäen sellaiset ominaisuudet kuin kertolaskujen assosiatiivisuus ja kommutatiivisuus . Elementti 1 on laajennetun algebran yksikkö. Jos algebralla oli jo yksikkö, niin siitä tulee laajentumisen jälkeen peruuttamaton idempotentti.

Tämä voidaan tehdä myös esimerkiksi renkaalla, koska jokainen rengas on assosiatiivinen algebra yli . $\mathbb {Z}$

Arvostetuissa algebroissa

Arvostetussa algebrassa yksiköllä (jos sellainen on) vaaditaan aste 0.

Esimerkkejä

1 (luku) : kokonaislukuina , rationaaleina , reaalilukuina ja muina luvuina
Identiteettimatriisi : katso matriisin kertolasku
Identiteettioperaattori operaattorialgebroissa _
Polynomi 1 (nolla astetta) polynomirenkaassa