Cannonball-ongelma

Tykinkuulien ongelma ( eng. cannonball problem ) - ongelma löytää tykinkuulat , jotka voidaan asettaa yhteen kerrokseen neliön muodossa ja pyramidin muodossa, jonka pohjassa on neliö, eli neliölukujen löytämisestä , jotka ovat myös neliöpyramidilukuja . Tämän luvun löytäminen ratkaisee Diofantiiniyhtälön tai . Yhtälössä on kaksi ratkaisua: ja eli yksi tykinkuula ja ja eli 4900 tykinkuulaa. $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ $N=1$ $M = 1$ $N=24$ $M=70$

Ongelmahistoria

Tykinkuulien pinoamista koskevat kysymykset kiinnostivat jo Sir Walter Raleighia ja hänen aikakauttaan Thomas Harriotia [1] , mutta yllä olevassa muodossa sen muotoili vuonna 1875 Edouard Lucas , joka ehdotti, ettei muita ratkaisuja ole olemassa kuin [2] . Osittaisia todisteita tarjosivat Moret-Blanc (1876) [3] ja Lucas itse (1877) [4] . Ensimmäisen täydellisen todisteen tarjosi Watson (1918) [5] ; todistus käytti elliptisiä funktioita [6] . Toisen todisteen ehdotti Ljunggren (1952) [7] käyttäen Pellin yhtälöä [8] . Todistuksia, joissa käytetään vain perusfunktioita, ovat ehdottaneet Ma (1985) [9] ja Anglin (1990) [10] [6] . $N=1$ $N=24$

Todisteet

Watsonin todiste

Watsonin todistus [5] perustuu havaintoon, että kolmesta luvusta , ja yhden on oltava jaollinen 3:lla; ja joko , tai täytyy olla parillinen; ja että kaikkien muiden tekijöiden on oltava neliöitä. Siten kuusi vaihtoehtoa on mahdollista: $N$ $N+1$ $2N+1$ $N$ $N+1$

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Koska siinä voi kuitenkin olla vain jäännökset 0 tai 2 jaettuna 3:lla, ensimmäinen vaihtoehto johtaa ristiriitaan. Vastaavasti voit sulkea pois toisen, kolmannen ja neljännen vaihtoehdon. $2b^{2}$

Viides vaihtoehto johtaa ratkaisuun . Todellakin, se on mahdollista vain pariton , ja , eli on olemassa kokonaislukuja ja sellainen, että tai . Tämä johtaa kuitenkin ristiriitaan . Siksi , eli ja . Kuten Gerono osoitti , ja ovat viimeisen yhtälöjärjestelmän ainoat ratkaisut [11] . Tapaus on mahdoton, koska ; tapaus johtaa . Vaihtoehtoinen todiste ratkaisun ainutlaatuisuudesta tässä tapauksessa käyttää sitä tosiasiaa, että ainoat ratkaisut ovat ja annetaan Cohenin kirjan luvussa 6.8.2 [12] . $N=24$ ${\displaystyle N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2))$ $c$ ${\näyttötyyli (c-1)(c+1)=12a^{2))$ $d$ $e$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\displaystyle c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2))$ ${\displaystyle c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2))$ $c=1$ $c=7$ $c=1$ $N=0$ $c=7$ $N=24$ $N=24$ $y^{2}=8x^{4}+1$ $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3), \ (-1,\;-3)$

Todiste ei-triviaalien ratkaisun puuttumisesta kuudennessa variantissa vaatii elliptisten funktioiden käyttöä. Itse asiassa kuudes variantti voidaan lyhentää muotoon . Näiden yhtälöiden sijasta Watson tarkastelee yleisempää tapausta ja osoittaa, että näiden yhtälöiden ratkaisujen on täytettävä , jossa on ei - negatiivinen kokonaisluku, , , , ja , ja ovat Jacobin elliptisiä funktioita . Seuraavaksi Watson todistaa, että on numeerisesti yhtä suuri kuin yksi vain jos , Eli Ja ainoa mahdollinen ratkaisu tässä tapauksessa on . ${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2))$ ${\displaystyle 2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2))$ ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operaattorinimi {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ $r$ $\beeta$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \operaattorinnimi {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ $\operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sn} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {cn} }$ ${\näyttötyyli \operaattorinimi {dn} }$ ${\näyttötyyli \operaattorinimi {sd} }$ $Z$ $r = 0$ $X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$ $N=1$

Todiste Ma

Ma:n ehdottama todiste yllä olevien ratkaisujen ainutlaatuisuudesta perustuu seuraavien väitteiden johdonmukaiseen todisteeseen [12] :

Ainoa tasainen ratkaisu ydinpinoamisongelmaan on . Itse asiassa pariteetti mahdollistaa vaihtoehtojen 1, 4 ja 6 jättämisen pois Watsonin todistuksesta, vaihtoehdot 2 ja 3 johtavat ristiriitaan (katso Watsonin todistus) ja on ainoa mahdollinen ratkaisu vaihtoehdolle 5. $(24,70)$ $n$ $(24,70)$
Anna . Sitten ei-negatiivisille , on muoto vain . $\alpha =2+{\sqrt {3)),\beta =2-{\sqrt {3)),M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/ 2$ $n$ $M_{n}$ $4x^{2}+3$ $n = 2$
Ainoa pariton luku , joka tyydyttää pinoamisongelman, on . Todellakin, Watsonin todistuksen tavoin väittäen, parittoman on täytettävä vaihtoehto 6, eli . Koska kaikille , ja tämä pätee myös . Korvaamalla ja sen sijaan ja saamme , eli . Koska se luo yksiköiden ryhmän , on olemassa sellainen, että , missä on määritelty edellä, ja . Koska se on positiivinen, ja määritelmän mukaan . Edellisen lemman mukaan , eli ja . $N$ $N=1$ $N$ ${\displaystyle N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2))$ $x$ ${\näyttötyyli (4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1}$ $4x+3=2(2x+1)+1$ $N$ $2b^{2}$ $3c^{2}$ $x+1$ $2x+1$ $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ $(6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1$ $2 + \sqrt{3}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ $n\in \mathbb {Z}$ $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ $M_{n}$ $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ $M_{n}$ $M_{n}=6c^{2}+1$ $a$ $M_{n}=4a^{2}+3$ $n=2,M_{n}=7$ $a = 1$ $n = 1$

Todistuksen yksityiskohdat on annettu Cohenin kirjan luvussa 6.8.2 [12] .

Yleistykset ongelmasta

Triviaalia tapausta lukuun ottamatta ei ole olemassa lukuisia kanuunankuulat, jotka voitaisiin asettaa pyramidin muotoon, jonka pohjassa on neliö ja jotka olisivat samalla kuutio, luonnollisen voiman neljäs tai viides potenssi. numero [13] . Lisäksi sama pätee ytimien pinoamiseen säännöllisen tetraedrin muodossa [13] . $N=1$

Toinen ongelman yleistys on kysymys niiden ytimien lukumäärästä, jotka voidaan sijoittaa neliön ja katkaistun pyramidin , jonka pohjassa on neliö, muotoon. Eli etsitään peräkkäisiä neliöitä (ei välttämättä alkaen 1), joiden summa on neliö. Tiedetään, että tällaisten joukko on ääretön, sen asymptoottinen tiheys on nolla, ja , jotka eivät ole neliöitä, on äärettömän monta ratkaisua [8] . Joukon elementtien lukumäärä, joka ei ylitä , on arviolta . Joukon ensimmäiset elementit ja niitä vastaavat pienimmät arvot , kuten neliö, on annettu seuraavassa taulukossa [8] : $n$ $S$ $n$ $n$ $N(x)$ $S$ $x$ $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ $n$ $S$ $a$ ${\displaystyle \sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2))$

n	2	yksitoista	23	24	26	33	47	49	viisikymmentä	59
a	3	kahdeksantoista	7	yksi	25	7	539	25	7	22

Sillä ja ratkaisu on Pythagoraan kolmoiskappale . Sillä ja ratkaisu on yllä oleva ratkaisu tykinkuulat pinoamiseen. Joukkoelementtien järjestys on sekvenssi A001032 OEIS : ssä [14] . $n = 2$ $a = 3$ $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ $n = 24$ $a = 1$ $S$

Kaneko ja Tachibana [15] käsittelivät ongelman toista yleistystä: ensimmäisen neliöluvun ja toisen neliöluvun summan yhtäläisyyden sijaan he pohtivat kysymystä ensimmäisten monikulmiolukujen summan yhtäläisyydestä. ja toinen monikulmioluku ja osoitti, että millä tahansa on äärettömän monta ensimmäistä -kulmiolukua siten, että niiden summa on yhtä suuri kuin toinen monikulmioluku, ja että millä tahansa on ääretön määrä -kulmiolukuja, jotka voidaan esittää sekvenssien summana. ensimmäisistä monikulmioluvuista. Lisäksi Kaneko ja Tachibana totesivat, että mille tahansa luonnolliselle luvulle pätevät seuraavat suhteet: $m\geqslant 3$ $m$ $n\geqslant 3$ $n$ $k$

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

missä on -th -hiilen luku, ja on -th -hiilen pyramidiluku , eli ensimmäisten -hiilen lukujen summa [15] . $G_{m}(n)$ $n$ $m$ $Pyr_{m}(n)$ $n$ $m$ $n$ $m$

Suhde muihin matematiikan aloihin

Ei- triviaali ratkaisu johtaa Leach-hilan rakentamiseen (joka puolestaan liittyy matematiikan ja teoreettisen fysiikan eri osa-alueisiin - bosonijonoteoria , hirviö ). Tämä tehdään käyttämällä parillista unimodulaarista hilaa 25+1-ulotteisessa pseudoeuklidisessa avaruudessa . Tarkastellaan tämän hilan vektoria . Koska ja on ratkaisu tykinkuulat pinoamisongelmaan, tämä vektori on valon kaltainen , , josta seuraa erityisesti, että se kuuluu omaan ortogonaaliseen komplementtiansa . Conwayn mukaan [16] [17] vektorin avulla voidaan rakentaa Leach-hila $N=24$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)$ $N=24$ $M=70$ $w\cdot w=0$ ${\displaystyle w^{\bot ))$ $w$

tekijäjoukona , joka on määritelty oikein valomaisuuden vuoksi ; $(w^{\bot }\cap \mathrm {II} _{25,1})/w$ $w$
kuin joukko kaikki vektorit siten, että . Tällaiset vektorit muodostavat joukon hilan niin sanottuja perusjuuria . Kaikissa tapauksissa, joissa tällä tavalla on mahdollista rakentaa parillisen unimodulaarisen hilan perusjuurijoukko pseudoeuklidisessa avaruudessa , voidaan aina käyttää kokonaislukuvektoria, jonka avaruuskomponentit ovat peräkkäisiä nollasta; ja jotta tämä joukko muodostaisi hilan, tämän vektorin on oltava valomainen. Ja koska se on ainoa ei-triviaali ratkaisu tykinkuulat pinoamisongelmaan, niin 24-ulotteinen Leach-hila on ainoa hila, joka voidaan saada tällä tavalla kohteesta . $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $\mathrm {II} _{n,1}$ $N=24$ $\mathrm {II} _{n,1}$

Katso myös

Tiheä yhtäläisten pallojen pakkaus

Muistiinpanot

↑ David Darling. Cannonball ongelma . Tieteen Internet Encyclopedia . Haettu 6. heinäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 23. joulukuuta 2017. (määrätön)
↑ Edouard Lucas. Kysymys 1180 // Nouv. Ann. Matematiikka. - 1875. - Numero. 14. - S. 336.
↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. Kysymys 1180 // Nouv. Ann. Matematiikka. - 1876. - Numero. 15. - S. 46-48.
↑ Edouard Lucas. Kysymys 1180 // Nouv. Ann. Matematiikka. - 1877. - Numero. 15. - S. 429-432.
↑ 1 2 G. N. Watson. Neliön pyramidin ongelma. // Messenger Math. - 1918. - Numero. 48. - S. 1-22.
↑ 1 2 Eric W. Weisstein. Cannonball ongelma . MathWorld – Wolfram-verkkoresurssi . Haettu 6. heinäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 18. heinäkuuta 2017.
↑ W. Ljunggren. E. Lucasin ehdottama uusi ratkaisu ongelmaan // Norsk Mat. Tid.. - 1952. - Numero. 34. - S. 65-72.
↑ 1 2 3 Richard K. Guy. Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa / KA Bencsath, PR Halmos. – 3. - Springer. - s. 223-224. — 454 s. — (Matematiikan ongelmakirjat). - ISBN 978-1-4419-1928-1 .
↑ D. G. Ma. Alkuperäinen todiste diofantiiniyhtälön ratkaisuista . // Sichuan Daxue Xuebao. - 1985. - Numero. 4. - S. 107-116. $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$
↑ W. S. Anglin. Neliön pyramidipalapeli. //Amer. Matematiikka. Kuukausittain. - 1990. - Numero. 97. - S. 120-124.
↑ C.-C. Gerono. Demonstration d'une formula dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. - 1857. - T. 16. - S. 237-240.
↑ 1 2 3 Henri Cohen. numeroteoria. - 2007: Springer. - s. 424-427. — 653 s. - ISBN 978-0-387-49922-2 .
↑ 1 2 Elena Deza, Michel Marie Deza. Kuva Numerot. - Singapore: World Scientific, 2012. - S. 98. - 456 s. — ISBN 981-4355-48-8 .
↑ NJA Sloane . A001032 Luvut n siten, että n peräkkäisen kokonaisluvun ≥ 1 neliöiden summa on neliö. (englanniksi) . On-line Encyclopedia of Integer Sequences . Haettu 10. heinäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 30. heinäkuuta 2017.
↑ 1 2 Masanobu Kaneko ja Katsuichi Tachibana. Milloin monikulmiopyramidiluku on jälleen monikulmio? : [ englanti ] ] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2002. - T. 32, nro 1. - S. 149-165.
↑ JH Conway. 26-ulotteisen jopa unimodulaarisen Lorentzian hilan automorfismiryhmä // Journal of Algebra. - 1983. - Voi. 80. - s. 159-163. - doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X .
↑ JH Conway, NJA Sloane. 26. Lorentzian lomakkeet iilimatolle. 27. 26-ulotteisen Lorentzian hilan automorfismiryhmä // Pallopakkaukset, ristikot ja ryhmät. – 3. painos - Springer-Verlag New York, 1999. - ISBN 978-1-4757-6568-7 , 978-0-387-98585-5.