Galois'n kirjeenvaihto

Galois-vastaavuus ( Galois- yhteys ) on järjestys-teoreettinen suhde kahden matemaattisen rakenteen välillä , heikompi kuin isomorfismi , joka yleistää Galois'n teorian välisen yhteyden laajennuksen alikenttien ja vastaavan Galois -ryhmän osaryhmien inkluusiojärjestetyn järjestelmän välillä . Käsite voidaan laajentaa mihin tahansa rakenteeseen, jolla on ennakkotilaussuhde .

Konseptin esitteli Garrett Birkhoff vuonna 1940, ja hän ja Oystin Ore perustivat peruskiinteistöt 1940-luvulla [1] . Alkumääritelmä on antimonotoninen , myöhemmin sekä yleisalgebrassa että sovelluksissa alettiin käyttää useammin monotonimääritelmää , joka on sille vaihtoehtoinen ja luokkateoreettisessa mielessä kaksois .

Galois'n sulkeminen on operaatio, joka on sulkeminen , joka muodostuuGalois'n kirjeenvaihdon komponenttien koostumuksesta ; antimonotonisessa tapauksessa molemmat mahdolliset vastaavuusfunktioiden kokoonpanot muodostavat sulkuja, monotonisessa tapauksessa vain yksi sellaisista koostumuksista.

Galois-vastaavuutta käytetään laajalti sovelluksissa, erityisesti sillä on keskeinen rooli muodollisten käsitteiden analysoinnissa (metodologia datan analysointiin hilateorian avulla ).

Antimonotoninen Galois-kirjeenvaihto

Antimonotonisen määritelmän antoi alun perin Birkhoff ja se vastaa suoraan Galois'n teorian yhteyttä. Tämän määritelmän mukaan mitä tahansa funktioparia, joka on osittain järjestetyn joukkojen välillä ja joka täyttää seuraavat suhteet, kutsutaan Galois-vastaavuudeksi: $\varphi :A\to B$ $\psi :B\to A$ $A$ $B$

jos , niin (antimonotonisuus ), $a\leqslant a'$ $\varphi (a)\geqslant \varphi (a')$ $\varphi$
jos , niin (antimonotonisuus ), $b\leqslant b'$ $\psi (b)\geqslant \psi (b')$ $\psi$
$\psi (\varphi (a))\geqslant a$ (laajuus ), $\psi \circ \varphi$
$\varphi (\psi (b))\geqslant b$ (laajuus ). $\varphi \circ \psi$

Koostumukset ja osoittautuvat yksitoikkoisiksi ja niillä on myös idempotentti ominaisuus ( ja ), joten ne ovat sulkuja ja vastaavasti . $\psi \circ \varphi$ $\varphi \circ \psi$ $(\psi \circ \varphi )\circ (\psi \circ \varphi )=\psi \circ \varphi$ $(\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi$ $B$ $A$

Antimonotonisen Galois-vastaavuuden määritelmä antimonotonisille funktioille ja seuraava ehto ( Jürgen Schmidt , 1953 [2] [3] ): jos ja vain jos . $\varphi$ $\psi$ $b\leqslant \varphi (a)$ $a\leqslant \psi (b)$

Analogisesti analyyttisen geometrian polariteetin kanssa antimonotonisen Galois-vastaavuuden mukaan liittyviä toimintoja kutsutaan polariteeteiksi [4] .

Monotoninen Galois-kirjeenvaihto

Monotoniset toiminnot ja ovat monotonisessa Galois-vastaavuudessa, jos seuraavat ehdot täyttyvät: ${\näyttötyyli \gamma :A\to B}$ $\delta :B\to A$

$\gamma (\delta (b))\geqslant b$ ,
$\delta (\gamma (a))\leqslant a$ .

Tätä määritelmää vastaa ehto, joka on kaksinkertainen Schmidtin ehdon kanssa antimonotoniselle variantille: jos ja vain jos , sitä pidetään usein alkuperäisenä määritelmänä [5] . $b\leqslant \gamma (a)$ $\delta (b)\leqslant a$

Monotonisen Galois-vastaavuuden tapauksessa puhutaan myös funktioiden konjugaatiosta , koska luokkateoriassa tällainen vastaavuus antaa adjoint-funktioita . Toisin kuin antimonotonisessa muodossa, jossa vastaavuuden komponentit ( polariteetti ) ovat symmetrisiä, monotonisessa vastaavuudessa erotetaan ylempi konjugaattifunktio , jonka arvot osallistuvat järjestyssuhteissa oikealla olevaan ehtoon (in tämä määritelmä - , ja alempi konjugaatti - joiden arvot osallistuvat järjestyssuhteisiin vasemmanpuoleisesta ehdosta ( ) Joskus alemman adjoint-funktion sanotaan olevan vinossa- adjoint (jolloin ylempää kutsutaan yksinkertaisesti ns. "vieras"). $\gamma$ $\delta$

Sulkuoperaattori monotonisessa Galois-vastaavuudessa on koostumus , kun taas koostumus ei ole sulku, joten sen sijaan, että se olisi laaja, käänteinen ehto täyttyy sille (funktiota, jolla on tällainen ominaisuusjoukko, kutsutaan joskus ydinoperaattoriksi [6 ] tai yhteissulkeminen). $\delta \circ \gamma$ $\gamma \circ \delta$

Liitännäisfunktiot

Mitä tahansa posettia voidaan pitää kategoriana , jossa kunkin objektiparin morfismijoukko koostuu yhdestä morfismista, jos ja muuten tyhjä. Kategorioissa, jotka on luotu tällä tavalla osittain järjestetyistä joukoista ja , mappaukset ja , jotka ovat monotonisessa Galois-vastaavuudessa, ovat adjungoituja funktioita . $(A,\leqslant )$ $a,a'\in A$ $\mathrm {Hom} (a,a')$ $a\leqslant a'$ $A$ $B$ ${\näyttötyyli \gamma :A\to B}$ $\delta :B\to A$

Konjugaattifunktiot ovat myös kartoituksia ja ( on luokka , joka on kaksinkertainen , eli saatu morfismien inversiolla), jotka ovat antimonotonisessa Galois-vastaavuudessa [7] . $\varphi :A\to B^{\mathrm {op} }$ $\psi :B\to A^{\mathrm {op} }$ $A^{\mathrm {op} }$ $A$

Ominaisuudet

Vastaavien kokoonpano

Galois'n vastaavuus, sekä antimonotonisessa että monotonisessa muodossa, voidaan kohdistaa kokoonpanooperaatioon - jos kuvaukset ja -parit on annettu Galois'n vastaavuudessa , koostumus on: $(\varphi _{1}:A\to B,\psi _{1}:B\to A)$ $(\varphi _{2}:B\to C,\psi _{2}:C\to B$

(\varphi _{2},\psi _{2})\circ (\varphi _{1},\psi _{1})=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1 },\psi _{1}\circ \psi _{2})

on taas Galois'n kirjeenvaihto.

Esimerkkejä

Galois'n teoria ja yleistykset

Galois'n teoriassa luodaan vastaavuus kentän algebrallisen laajennuksen väliosakenttien järjestelmän ja tämän laajennuksen Galois'n ryhmän aliryhmien järjestelmän välille. $L\supset K$

Esimerkki Galois'n teoriasta voidaan luonnollisesti yleistää: kentän automorfismiryhmän sijasta voidaan harkita mielivaltaista ryhmää , joka toimii kartoitusjoukossa , ja kartoituksia inkluusiojärjestettyjen Boolen ja . Tässä tapauksessa kartoitukset ja , määritellään seuraavasti: $G$ $U$ $\cdot :G\times U\to U$ ${\mathcal {P}}U$ ${\mathcal {P}}G$ $\varphi :{\mathcal {P}}U\to {\mathcal {P}}G$ $\psi :{\mathcal {P}}G\to {\mathcal {P}}U$

{\displaystyle \varphi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(valitsee alaryhmän kohdasta , jättäen kaikki pisteet paikoilleen toiminnon alla ),

G

u\in X

\cdot

{\displaystyle \psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(liittää joukkoon toiminnon automorfismien kiinteät pisteet )

S\subseteq G

\cdot

ovat antimonotonisessa Galois-kirjeenvaihdossa [7] .

Seuraava yleistys koostuu mielivaltaisten joukkojen tarkastelusta, joiden välillä on annettu mielivaltainen binäärisuhde , ja näiden joukkojen ja loogisten loogisten välisiä kuvauksia , jotka määritellään tällä tavalla: $\star \subseteq A\times B$ ${\mathcal {P}}A$ ${\mathcal {P}}B$

\varphi (X)=\{y\in B\mid \forall (x\in X)x\star y\}

\psi (Y)=\{x\in A\mid \forall (y\in Y)x\star y\}

Tässä tapauksessa ja ovat myös antimonotoninen Galois kirjeenvaihto. $\varphi$ $\psi$

Boolen arvo ja yleistykset

Mielivaltaisen joukon ja jonkin sen kiinteän osajoukon inkluusiojärjestetty Boolen arvo voidaan liittää monotoniseen Galois-vastaavuuteen kuvausten välillä, jotka määritellään seuraavasti: ${\mathcal {P}}A$ $F\subseteq A$ $\varphi ,\psi :{\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}A$

\varphi (X)=F\cap X

\psi (X)=X\cup (A\setminus F)

Tällainen suhde voidaan muodostaa missä tahansa Heyting-algebrassa , erityisesti missä tahansa Boolen algebrassa (Boolen algebroissa logiikan algebran kannalta ylemmän konjugaattifunktion roolia on konjunktio , ja alemman konjugaatin roolia aineellisella tavalla ).

Täydelliset ristikot

Muistiinpanot

↑ Gretzer, 1981 , s. 78.
↑ J. Schmidt. Beitrage zur Filtertheorie. II (saksa) // Mathematische Nachrichten . - 1953. - Bd. 10 , ei. 53 . - S. 197-232 .
↑ Birkhoff, 1984 , s. 165.
↑ Birkhoff, 1984 , s. 163.
↑ Giertz, 2003 , s. 22.
↑ Giertz, 2003 , s. 26.
↑ 1 2 McLane, 2004 , s. 114.

Kirjallisuus

Birkhoff G. Hilateoria . — M .: Nauka , 1984. — 567 s.
G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott . Galois-yhteydet // Jatkuvat ristikot ja verkkotunnukset. - Cambridge: Cambridge University Press , 2003. - S. 22-35. — 629 s. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, osa 93).
Gretzer G. Yleinen hilateoria. — M .: Mir , 1981. — 456 s.
McLane S. Luku 4. Liitännäisfunktiot // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Øysteinin malmi. Galois Connexions (englanniksi) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Voi. 55 . - s. 493-513 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7 .