Kartio (topologia)

Topologiassa oleva kartio on topologinen avaruus , joka saadaan alkuperäisestä avaruudesta supistamalla sen sylinterin ( ) aliavaruus yhteen pisteeseen, eli osamääräavaruuteen . Avaruuden yli oleva kartio on merkitty . $X$ $X\times\{0\}$ $X\times[0, 1]$ $(X \kertaa [0, 1])/(X \kertaa \{0\})$ $X$ $\mathrm CX$

Jos on euklidisen avaruuden kompakti osajoukko , niin kartio yli on homeomorfinen segmenttien liitolle osoitteesta eroteltuun avaruuden pisteeseen, eli topologisen kartion määritelmä on yhdenmukainen geometrisen kartion määritelmän kanssa . Topologinen kartio on kuitenkin yleisempi rakenne. $X$ $X$ $X$

Esimerkkejä

Reaaliviivan pisteen yli oleva kartio on väli , todellisen suoran intervallin yli oleva kartio on täytetty kolmio (2-simplex), monikulmion päällä oleva kartio on pyramidi , jonka kanta on . Ympyrän yläpuolella oleva kartio on klassinen kartio (sisällä); kartio ympyrän päällä on klassisen kartion sivupinta: $s$ $\{p\}\times[0,1]$ $P$ $P$

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}

homeomorfinen ympyrän suhteen .

Yleensä hyperpallon päällä oleva kartio on homeomorfinen suljetun ulottuvuuden pallon suhteen . Kartio -simplexin päällä on -simplex . $(n+1)$ $n$ $(n+1)$

Ominaisuudet

Kartio voidaan rakentaa vakiokartoitussylinteriksi [ 1] . $\mathrm CX$ $X \to \{0\}$

Kaikki kartiot ovat polkukytkettyjä , koska mikä tahansa piste voidaan yhdistää kärkipisteeseen. Lisäksi mikä tahansa kartio on supistuva kärkipisteeseen kaavan antaman homotopian avulla . $h_t(x, s) = (x, (1-t)s)$

Jos on kompakti ja Hausdorff , niin kartio voidaan esittää jokaisen pisteen yhteen pisteeseen yhdistävien viivaosien avaruutena ; jos ei ole kompakti tai Hausdorff, niin se ei ole, koska osamääräavaruuden topologia on yleensä ohuempi kuin pisteeseen yhdistävä janajoukko. $X$ $\mathrm CX$ $X$ $X$ $\mathrm CX$ $X$

Algebrallisessa topologiassa kartioita käytetään laajalti, koska ne edustavat välilyöntejä upotuksina supistuvaan avaruuteen; tässä yhteydessä on tärkeä myös seuraava tulos: tila on supistuva silloin ja vain, jos se on kartionsa sisäänveto . $X$

Kartiofunktionaali

Kartoittaminen luo kartiomaisen funktorin , endofunktionaalin topologisten avaruuksien kategoriaan . $X\mapsto \mathrm CX$ $\mathrm C:\mathbf{Top} \to \mathbf{Top}$ $\mathbf {Yläosa}$

Pienempi kartio

Pelkistetty kartio on rakenne pisteviivan yli [2] : $(X,x_{0})$

\mathrm C (X, x_0) = \big( X\times [0,1] \big) / \big( (X\kertaa \vasen\{0\oikea\}) \kuppi (\vasen\{x_0\ oikea\}\kertaa [0,1]) \iso)

Luonnollinen upottaminen mahdollistaa sen, että mitä tahansa terävää tilaa voidaan pitää sen pelkistetyn kartion suljettuna osajoukona [3] . $x\mapsto(x,1)$

Katso myös

Apuohjelma (topologia)
Kartion kartoitus (topologia)
Kartion kartoitus (homologinen algebra)
Liity (topologia)

Muistiinpanot

↑ Spanier, 1971 , s. 77.
↑ Sveitsi, 1985 , s. 13.
↑ Spanier, 1971 , s. 469.

Kirjallisuus

Allen Hatcher. Algebrallinen topologia. - Moskova: MTsNMO Publishing House, 2011. - ISBN 978-5-940-57-748-5 .
R. M. Switzer. Algebrallinen topologia - homotopia ja homologia. - Moskova: "Nauka", fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1985.
E. Spanier. Algebrallinen topologia. - Moskova: Mir, 1971.