Yleisen topologian sanasto

Tämä sanasto sisältää yleisen topologian tärkeimpien termien määritelmät . Sanaston viitteet ovat kursiivilla .

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V Y Z _ _ _ _ _ _ _

A

Antidiskreetti topologia Avaruuden topologia , jossa vain kaksi joukkoa on avoinna: itse avaruusja tyhjä joukko.

X

X

B

Topologian perusta Joukko avoimia joukkoja siten, että mikä tahansa avoin joukko on perusjoukon liitto.

Kohdassa

Topologinen tilapaino Kaikkien tilan tukikohtien vähimmäiskapasiteetti . Todella täydellinen tila Avaruus, joka on homeomorfinen todellisen linjan jonkin voiman suljetulle aliavaruudelle. Sisustus Sarjan kaikkien sisäpisteiden joukko . Tietyn joukon suurin sisällyttämisen mukaan avoin osajoukko. Sarjan sisäpiste Piste, joka sisältyy annettuun joukkoon yhdessä sen lähialueen kanssa . Kirjattu kattavuus Kansi on kaiverrettu kanteen, jos jokainen joukko sisältyy johonkin joukkoon

A

B

A

B

Täysin irrotettu tila Avaruus, johon ei ole yhdistetty enempää kuin yhden pisteen sisältävää osajoukkoa . Kaikkialla tiheä setti Sarja, jonka sulkeminen osuu koko tilaan. kaiverrettu naapurusto Tietyn pisteen lähialue , josta tämä piste itse on poistettu.

G

Homeomorfismi Bijektio sellainen, että ja ovat jatkuvat .

f

f

f^{-1}

Homeomorfiset tilat Avaruudet, joiden välillä on homeomorfismi . Homotoopia Jatkuvalle kartoitukselle jatkuva kartoitus niin, että mille tahansa . Merkintätapaa käytetään usein erityisesti .

f\kaksoispiste X\Y:ksi

F\kaksoispiste[0,\;1]\kertaa X\-Y

F(0,\;x)=f(x)

x\in X

f_t(x)=F(t,\;x)

f_0=f

Homotooppiset kartoitukset Kartoituksia kutsutaan homotoopiksiksi tai jos on olemassa homotopia siten, että ja .

f,\;g\kaksoispiste X\Y:ksi

g\sim f

f_t

f_0=f

f_1=g

Topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssi Topologiset avaruudet ja ovat homotooppisesti ekvivalentteja, jos on olemassa jatkuvien kuvausten pari ja sellainen, että ja tarkoittaa tässä kuvausten homotopiaekvivalenssia , eli ekvivalenssia homotopiaan asti . Sanotaan myös, että ja onsama homotopy tyyppi .

X

Y

f\kaksoispiste X\Y:ksi

g\kaksoispiste Y\-X

f\circ g\sim \mathrm{id}_Y

g\circ f\sim \mathrm{id}_X

\sim

X

Y

Homotopian invariantti Avaruuden ominaisuus, joka säilyy topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssissa . Eli jos kaksi avaruutta ovat homotooppisesti ekvivalentteja, niillä on sama ominaisuus. Esimerkiksi yhteys , perusryhmä , Eulerin ominaisuus ovat homotopian invariantteja. Homotooppinen tyyppi Topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssiluokkaa eli homotoopiaekvivalenssiavaruuksia kutsutaan saman homotoopiatyypin avaruuksiksi. Raja 1. Suhteellinen raja . 2. Sama kuin jakotukin reuna .

D

ovitilaa Tila, jossa jokainen osajoukko on joko avoin tai suljettu. Kaksoispiste Topologinen avaruus, joka koostuu kahdesta pisteestä; Topologian määrittämiseen on kolme vaihtoehtoa - diskreetti topologia muodostaa yksinkertaisen kaksoispisteen , antidiskreetti muodostaa tahmean kaksoispisteen ja topologia, jossa on yksi pisteen avoin joukko, muodostaa yhdistetyn kaksoispisteen . Muodonmuutos vetäytyy Topologisen avaruuden osajoukko , jolla on ominaisuus, että avaruuden identiteettimappauksesta on homotopia johonkin mappaukseen , jonka alla kaikki joukon pisteet pysyvät kiinteinä .

A

X

\mathrm{id}_X

X A:lle

A

Diskreetti topologia Topologia , jossa jokainen joukko on avoin . diskreetti setti Joukko, jonka jokainen piste on eristetty .

W

suljettu setti Joukko, joka täydentää avointa . Suljettu näyttö Kartoitus, jonka alla minkä tahansa suljetun joukon kuva on suljettu. päättäminen Pienin suljettu joukko, joka sisältää annetun.

Ja

Indusoitu topologia Topologia topologisen avaruuden osajoukossa , jossa avoimia joukkoja pidetään ympäröivän avaruuden avoimien joukkojen leikkauspisteinä .

A

A

Eristetty asetuspiste Pistettä kutsutaan eristetyksi topologisen avaruuden joukolle, jos on olemassa sellainen naapuruus , että .

a

A

X

O(a)

A\cap O(a) = a

K

Kardinaaliinvariantti Topologinen invariantti ilmaistuna kardinaalilukuna . Baer-luokka Topologisen avaruuden ominaisuus, joka ottaa toisen kahdesta arvosta; ensimmäinen Baire-luokka sisältää tilat, jotka sallivat laskettavan peiton nowhere-tiheillä osajouksilla, muut tilat kuuluvat toiseen Baire-luokkaan. Tiivistäminen Tilan tiivistys on pari , jossa on kompakti tila, on tilan homeomorfinen upottaminen tilaan ja on kaikkialla tiheänä Myös itse tilaa kutsutaan tiivistykseksi .

X

(Y,f)

Y

f

X

Y

f(X)

Y

Y

Kompakti näyttö Topologisten avaruuksien kartoitus siten, että kunkin pisteen käänteiskuva on kompakti . kompakti tila Topologinen avaruus, jossa mikä tahansa avoimien joukkojen kansi sisältää äärellisen alikannen . Pisteliitäntäkomponentti Suurin liitetty sarja, joka sisältää tämän pisteen. Jatkuvuus Yhdistetty kompakti Hausdorffin topologinen avaruus. Kartio topologisen avaruuden päällä Avaruudelle (kutsutaan kartion pohjaksi ) avaruus, joka saadaan tulosta supistamalla aliavaruus yhteen pisteeseen, jota kutsutaan kartion kärjeksi .

X

\mathrm{C}X

X\times[0,\;1]

X\times\{0\}

L

Lindelof tilaa Topologinen avaruus, jossa mikä tahansa avoimien joukkojen kansi sisältää laskettavan alikannen. polkuun yhdistetty tila Tila, jossa mikä tahansa pistepari voidaan yhdistää käyrällä. Paikallisesti kompakti tila Tila, jossa millä tahansa pisteellä on kompakti ympäristö . Paikallisesti rajallinen osajoukkojen perhe Topologisen avaruuden osajoukkojen perhe siten, että jokaisella tämän avaruuden pisteellä on lähiö, joka leikkaa vain äärellisen määrän tämän perheen elementtejä. Paikallisesti yhdistetty tila Tila, jossa millä tahansa pisteellä on yhdistetty naapurusto . Paikallisesti supistettava tila Tila, jossa millä tahansa pisteellä on supistuva ympäristö . Paikallinen homeomorfismi Topologisten avaruuksien kartoitus siten, että jokaiselle pisteelle on lähiö , johon on kartoitettu homeomorfisella tavalla. Joskus paikallisen homeomorfismin määritelmään sisältyy automaattisesti vaatimus ja lisäksi kartoituksen oletetaan olevan avoin.

f\kaksoispiste X\Y:ksi

x\in X

U_x

f

Y

f(X) = Y

f

M

massiivinen setti Topologisen avaruuden osajoukko , joka on lukemattoman määrän avointen tiheiden osajoukkojen leikkauspiste . Jos jokainen massiivinen joukko on tiheä , se on Baire-avaruus .

S

X

X

X

X

Tila, joka voidaan mitata täydellä mittarilla Avaruus, joka on homeomorfinen täydelliseen metriseen avaruuteen . Mitattavissa oleva tila Avaruus, joka on homeomorfinen metrisen avaruuden suhteen . Jakotukki Hausdorffin topologinen avaruus paikallisesti homeomorfinen euklidiselle avaruudelle . Monitoimialue Polkuyhteyden avaruuden alue , jonka perusryhmä ei ole triviaali. Toisen Baer-luokan sarja Mikä tahansa joukko, joka ei ole ensimmäisen Baer-luokan joukko . Ensimmäisen Baer-luokan sarja Joukko, joka voidaan esittää laskettavana ei missään tiheiden joukkojen liittona. Tyyppisarja

F_\sigma

Joukko, joka voidaan edustaa suljettujen joukkojen laskettavana liittona. Tyyppisarja

G_\delta

Joukko, joka voidaan esittää avoimien joukkojen laskettavana leikkauspisteenä.

H

päällyste Polkukytketyn avaruuden kartoitus , jonka alla millä tahansa pisteellä on naapuruus , jolle on olemassa homeomorfismi , jossa on diskreetti avaruus , jolle ehdolla , tarkoittaa luonnollista projektiota, sitten .

p:X\Y:lle

y\in Y

U\alajoukko Y

h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma

\Gamma

\pi:U\times \Gamma\to U

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

perinnöllinen omaisuus Topologisen avaruuden ominaisuus siten, että jos avaruudessa on tämä ominaisuus, niin millä tahansa sen aliavaruuksilla on tämä ominaisuus. Esimerkiksi: mitattavuus ja Hausdorffness . Jos jollakin tilan aliavaruudella on omaisuus , sanotaan, että sillä on omaisuus perinnöllisesti . Esimerkiksi topologisen avaruuden sanotaan olevan perinnöllisesti normaali, perinnöllisesti Lindelöf, perinnöllisesti erotettava.

X

P

X

P

jatkuva näyttö Kartoitus, jonka alla minkä tahansa avoimen joukon käänteiskuva on auki. Ei missään tiheää settiä Sarja, jonka suljin ei sisällä avoimia sarjoja (suljessa on tyhjä sisäpuoli). normaali tila Topologinen avaruus, jossa yhden pisteen joukot ovat suljettuja ja missä tahansa kahdessa suljetussa disjunktijoukossa on disjunktit lähialueet .

Voi

Alue Topologisen avaruuden avoin osajoukko . Yksinkertaisesti yhdistetty tila Yhdistetty avaruus , mikä tahansa ympyrän kartoitus, johon on homotooppinen vakiokuvaus . Naapurustossa Avoin naapurusto tai joukko, joka sisältää avoimen kaupunginosan . avoin naapurusto Pisteelle tai joukolle avoin joukko, joka sisältää annetun pisteen tai joukon. avoin setti Joukko, jonka jokainen elementti sisältyy siihen yhdessä jonkin lähialueen kanssa, topologisen avaruuden määrittelyssä käytetty käsite . avoin näyttö Kartoitus , jonka alla minkä tahansa avoimen joukon kuva on auki . Avoin-kiinni setti Setti, joka on sekä avoin että suljettu . Avoin-suljettu kartoitus Kartta, joka on sekä avoin että suljettu . Suhteellinen raja Topologisen avaruuden osajoukon sulkemisen ja sen komplementin sulkemisen leikkaus . Joukon rajaa merkitään yleensä .

E

\osittainen E

Suhteellinen topologia Sama kuin indusoitu topologia . Suhteellisen kompakti setti Topologisen avaruuden osajoukko, jonka sulkeutuminen on kompakti. Tällaista joukkoa kutsutaan myös esitiivistetyksi .

P

Pari tilaa Järjestetty pari , jossa on topologinen avaruus ja on aliavaruus ( aliavaruuden topologialla ).

{\näyttötyyli (X,A)}

X

A

Parakompakti tila Topologinen avaruus, johon mihin tahansa avoimeen kanteen voidaan kirjoittaa paikallisesti äärellinen avoin kansi (eli sellainen, että mille tahansa pisteelle voidaan löytää ympäristö , joka leikkaa tämän kannen äärellisen määrän elementtejä). Topologinen avaruuden tiheys Avaruuden kaikkialla tiheiden osajoukkojen minimikardinaliteetti . tiheä setti Joukko topologisessa avaruudessa , jolla on ei-tyhjä leikkauspiste minkä tahansa mielivaltaisen pisteen ympäristön kanssa .

X

x\in X

Undercover Kannen osalta alikansi on , missä if on itse kansi.

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

\{V_\beta\}

\beta\in B\alajoukossa A

\{V_\beta\}

aliavaruus Topologisen avaruuden osajoukko , joka on varustettu indusoidulla topologialla . Pinnoite Osajoukolle tai avaruudelle tämä on sen esitys joukkojen unionina , tarkemmin sanottuna , se on joukko joukkoja , niin että . Useimmiten harkitaan avoimia kansia, eli ne olettavat, että kaikki ovat avoimia sarjoja.

X

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

X\subset\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha

\{V_\alpha\}

Tšekin täydellinen tila Avaruutta kutsutaan Cech-täydeksi, jos avaruus on tiivistetty siten , että se on avaruuden tyyppijoukko .

X

(Y,f)

X

f(X)

G_\delta

Y

Tilaustopologia Topologia mielivaltaisessa järjestetyssä joukossa , jonka muodostaa muodon ja joukkojen esikanta , jossa se kulkee kaikkien elementtien läpi .

\langle X, \sqsubseteq \rangle

\{x\in X\mid x \sqsubseteq a, x\neq a\}

\{x\in X\mid a \sqsubseteq x, x\neq a\}

a

X

esipohja Topologisen avaruuden avoimien osajoukkojen perhe siten, että kaikkien joukkojen joukko, jotka ovat äärellisen määrän alkioiden leikkauspisteet, muodostaa kannan .

Y

X

Y

X

rajapiste Topologisen avaruuden osajoukolle sellainen piste , jonka missä tahansa sen punkturoidussa naapurustossa c on ainakin yksi piste kohdasta .

A

X

a\in X

A

A

Johdettu setti Kaikkien rajapisteiden joukko . Yksinkertainen kaksoispiste Kahden pisteen topologinen avaruus, jossa molemmat yksipistejoukot ovat avoimia. Suora Aleksandrova Hyvin järjestetyn joukon ja todellisen puolivälin karteesisen tuotteen yläpuolella oleva topologinen avaruus leksikografisen järjestyksen alaisen järjestystopologian kanssaon normaali Hausdorffin ei- metrisoituva avaruus, tärkeä vastaesimerkki monissa topologisissa päättelyissä.

A\times[0, 1)

Suora Suslin Hypoteettinen (sen olemassaolo on riippumaton ZFC : stä ) täydellinen lineaarisesti järjestetty tiheä joukko, jolla on joitain tavallisen viivan ominaisuuksia, mutta joka ei ole sille isomorfinen. Topologisen avaruuden pseudomerkki Topologisen avaruuden pseudomerkkien summa kaikissa kohdissa. Topologisen avaruuden pseudomerkki pisteessä Pisteen kaikkien lähiöperheiden vähimmäiskardinaliteetti , jotka leikkaavat yhdessä pisteessä.

R

säännöllinen tila Topologinen avaruus, jossa yhden pisteen joukot ovat suljettuja ja jokaiselle suljetulle joukolle ja pisteelle, joka ei sisälly siihen, on olemassa niiden ei-leikkaavat lähialueet . Peruuta Topologisen avaruuden vetäytyminen on tämän avaruuden aliavaruus , jolle on sisäänveto .

X

A

X

A

takaisinveto Retraction on jatkuva kartoitus topologisesta avaruudesta tämän avaruuden aliavaruuteen , joka on identtinen .

X

A

A

C

Yhdistetty kaksoispiste Topologinen kahden pisteen avaruus, jossa vain yksi yhden pisteen joukoista on avoin. yhdistetty tila Tila, jota ei voida jakaa kahteen ei-tyhjään, ei-leikkaavaan suljetuun joukkoon. erotettava tila Topologinen avaruus, jossa on kaikkialla laskettava tiheä joukko . Topologisen avaruuden verkon paino Kaikkien verkkojen vähimmäiskapasiteetti avaruudessa . Netto Topologisen avaruuden verkko on avaruuden osajoukkojen perhe niin, että mille tahansa pisteelle ja mille tahansa sen naapurustolle on olemassa sellainen, että .

X

N

X

x

U

V\in N

x\in V\osajoukossa U

Pakkautunut paksusuoli Kahden pisteen antidiskreetti topologinen avaruus. Topologisen avaruuden leviäminen Kaikkien erillisten aliavaruuksien kardinaliteettien summa . supistunut tila Avaruus , joka homotooppisesti vastaa pistettä. Topologisten avaruuksien summa Topologisten avaruuksien perheen summa on näiden topologisten avaruuksien disjunktiivinen liitto joukoina topologian kanssa, joka koostuu kaikista muodon joukoista, joissa kukin on avoin . Nimetty .

\{A_s\}_{s\in S}

\coprod_{s\in S}A_s

\coprod_{s\in S}U_s

Meille

Kuten

\bigoplus_{s\in S}A_s

T

Topologisen avaruuden tiiviys Topologisen avaruuden tiukkuus kaikissa kohdissa. Topologinen avaruuden tiiviys pisteessä Topologisen avaruuden tiiviys pisteessä on pienin kardinaali , jolle jos , niin on olemassa korkeintaan kardinaliteetti , niin että .

X

x

\alpha

x\in \bar{A}

B\alajoukko A

\alpha

x\in\bar{B}

Tikhonovin tila Topologinen avaruus, jossa yksipistejoukot ovat suljettuja ja jokaiselle pisteelle ja mille tahansa suljetulle joukolle , joka ei sisällä pistettä , on olemassa jatkuva reaalifunktio, joka on yhtä suuri joukossa ja pisteessä .

x

F

x

0

F

yksi

x

Topologinen invariantti Avaruuden ominaisuus, joka säilyy homeomorfismin alla . Eli jos kaksi avaruutta ovat homeomorfisia, niillä on sama invarianttiominaisuus. Esimerkiksi topologisia invariantteja ovat: kompakti , liitettävyys , perusryhmä , Eulerin ominaisuus . Topologisesti injektiivinen kartoitus Jatkuva kartta, joka toteuttaa homeomorfismin määritelmäalueen ja sen koko kuvan välillä. Topologinen avaruus Joukko, jolla on tietty topologia , eli määritetään, mitkä sen osajoukoista ovat avoimia . Topologia Joukon osajoukkojen perhe, joka sisältää mielivaltaisen liiton ja sen elementtien äärellisen leikkauspisteen sekä tyhjän joukon ja itsensä . Perheen elementtejä kutsutaan avoimiksi joukoiksi . Topologia voidaan myös tuoda esille kannan kautta perheenä, joka koostuu kaikista kannan elementtien mielivaltaisista liitoista.

X

X

Kompaktin konvergenssin topologia Topologiaa, joka annetaan jatkuvien reaalifunktioiden joukolle, jonka määrittelee prenormien perhe , kutsutaan kompaktin konvergenssin topologiaksi.

p_n(x)=\sup_{-n\leqslant t\leqslant n}|x(t)|,\;n\in\N

Pistekohtaisen konvergenssin topologia Topologiaa, joka on määritelty jatkuvien funktioiden joukolle topologisesta avaruudesta topologiseen avaruuteen , jonka kanta on kaikki muodon joukot jossa - pisteet alkaen - avoimet joukot alkaen , kutsutaan pisteittäisen konvergenssin topologiaksi. Joukko, jolla on tällainen topologia, on merkitty .

C(X,Y)

X

Y

\{f: f(x_1) \in U_1, f(x_2) \in U_2, \dots, f(x_n) \in U_n\},

x_1 , x_2,\pisteet x_n

X, U_1 , U_2,\pisteet U_n

Y

C(X,Y)

C_p(X,Y)

Tasaisen konvergenssin topologia Määritellään normi jatkuvien funktioiden vektoriavaruuteen kompaktissa topologisessa avaruudessa . Tällaisen metriikan muodostamaa topologiaa kutsutaan tasaisen konvergenssin topologiaksi.

L(K)

f

K

\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|

Scottin topologia Täydellisen osittain järjestetyn joukon topologia , jossa ylempiä joukkoja pidetään avoimina, joihin suorat yhteydet eivät pääse käsiksi. Kasautumispiste Sama kuin rajapiste . Täysi kertymispiste Joukko , topologisen avaruuden piste , jossa minkä tahansa naapuruston leikkauspisteellä on sama kardinaliteetti kuin koko joukolla .

M

x\in M

X

M

x

M

kosketuskohta Asetukselle pisteen, jonka kaikki naapurustossa on vähintään yksi piste . Kaikkien kosketuspisteiden joukko on sama kuin sulkeminen .

M

M

\overline{M}

Triviaali topologia Sama kuin antidiskreetti topologia

Wu

Universaali homeomorfismi Tiiviste Jatkuva bijektio .

F

Factor tilaa Topologinen avaruus ekvivalenssiluokkien joukossa: Topologiselle avaruudelle ja ekvivalenssisuhteelle osamäärän topologia otetaan käyttöön määrittämällä avoimet joukot kaikkien joukkojen perheeksi, joiden käänteiskuva on avoin osamäärämappauksessa (assosioiden elementti sen kanssa vastaavuusluokka ).

X

\sim

X/\!\sim

X

x\in X

[x]_{\sim} = \{y\in X\mid x\sim y\}

Perustava naapurustojärjestelmä Perusjärjestelmä naapurustojen pisteen on perhe naapurustojen pisteen siten, että jokaiselle naapuruston piste on olemassa , niin että .

x

B

x

U

x

V\in B

V\alajoukko U

X

Topologisen avaruuden luonne Topologisen avaruuden merkkien ylimäärä kaikissa kohdissa. Topologisen avaruuden merkki pisteessä Tämän pisteen kaikkien perusjärjestelmien naapuruston minimikardialiteetti . Hausdorffin tila Topologinen avaruus, jossa millä tahansa kahdella erillisellä pisteellä on ei-leikkautuvat lähialueet .

C

Sylinteri topologisen avaruuden päällä Tilalle tila , joka on rakennettu tuotteena .

X

{\mathrm Z}X

X\times[0,\;1]

näytön sylinteri Mappausta varten osamääräavaruus, joka muodostetaan summasta ja tunnistamalla piste pisteellä kaikille .

f:X\Y:ksi

{\mathrm Z}_{f}

X\times[0,\;1]

Y

(x,1)\in X\kertaa [0,\;1]

f(x)\in Y

x\in X

H

Topologisen avaruuden Lindelöf-luku Pienin kardinaali on sellainen, että mistä tahansa avoimesta kannesta voidaan irrottaa alikansi, korkeintaan kardinaalisuudella .

\alpha

\alpha

Topologisen avaruuden Suslin-luku Ei-leikkautuvien ei-tyhjien avoimien joukkojen perheiden kardinaalisuus .

E

Topologisen avaruuden laajuus Kaikkien suljettujen diskreettien osajoukkojen kardinaliteettien summa.

Kirjallisuus

Bourbaki, N. Matematiikan elementit. Yleinen topologia. Perusrakenteet. - M .: Nauka, 1968.
Aleksandrov, PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Yleinen topologia. - M .: Nauka, 1968.
Viro, O. Ya., Ivanov, O. A., Kharlamov, V. M., Netsvetaev, N. Yu. Topologian ongelmaoppikirja .
Engelking, R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s.