Sophomore Dream (Math Identity)

Matematiikassa sophomore's dream tai sophomore 's dream ( eng. sophomore - sophomore in USA ) on identiteettipari :

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n))$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n }=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$

Historia

Johann Bernoullin vuonna 1697 löytämät identiteetit . Näiden vakioiden numeeriset arvot ovat noin 1,291285997 ja 0,7834305107.

Nimi "toisen opiskelijan unelma" tuli myöhemmin. Se on viittaus "fuksiuneen", joka puolestaan tarkoittaa vitsailevaa väärinkäsitystä (x + y) n = x n + y n . Toisin kuin hän, toisen vuoden opiskelijan unelma on kuitenkin todellisten identiteettien pari [1] .

Todiste

Näiden identiteettien todisteet ovat täysin analogisia, joten tässä esitetään vain yksi niistä.

Ensin kuvitellaan : $x^{x}$

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n)) {n!}}$ .

Sitten

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Potenssisarjojen tasaisen konvergenssin ominaisuudella summaus ja integraali voidaan vaihtaa keskenään. Saamme:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Saadaksemme yllä esitetyt integraalit korvaamme muuttujan . Tämän korvauksen jälkeen integraalit rajat muunnetaan muotoon , mikä antaa meille: $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$ $0<u<\infty$

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+ 1) )}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du$ .

Gamma-funktion Eulerin integraalin identiteetin mukaan :

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!$ ,

täten:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!)}}dx=(-1)^{n} ( n+1)^{-(n+1)}$ .

Summaamalla ja muuttamalla indeksointia (se alkaa n=1:llä, ei n=0:lla) saadaan haluttu identiteetti.

Todistusversiot

Bernoullin [2] antama ja nykyaikaisessa muodossaan esitetty alkuperäinen todistus [3] eroaa edellä mainitusta integraalin laskennan suhteen , mutta on muuten identtinen teknisiä yksityiskohtia lukuun ottamatta. Sen sijaan, että Bernoulli integroi substituutiolla Gamma-funktiolla (joka ei ollut vielä tiedossa todistushetkellä), Bernoulli käytti integrointia osien mukaan . $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$

Muistiinpanot

↑ Borwein, Jonathan; Bailey, David H. & Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery , s. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
↑ Johann Bernoulli, 1697, kerätty Johannis Bernoulli, Opera omnia, voi. 3, s. 376-381
↑ Dunham, William (2005), 3: The Bernoullis (Johann ja ), The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue , Princeton, NJ: Princeton University Press, s. 46–51, ISBN 978-0-691-09565-3 $x^{x}$