Multiparticle Greenin funktio

Monen kappaleen teoriassa termiä Greenin funktio (tai Greenin funktio ) käytetään joskus synonyyminä korrelaatiofunktiolle , mutta se viittaa kenttäoperaattorikorrelaattoreihin tai luomis- ja tuhoamisoperaattoreihin .

Nimi tulee Greenin funktioista , joita käytetään ratkaisemaan epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä, joihin ne liittyvät löyhästi. Erityisesti vain kahden pisteen Greenin funktiot ei-vuorovaikutteisen järjestelmän tapauksessa ovat Greenin funktioita matemaattisessa mielessä; lineaarinen operaattori, jonka he invertoivat, on Hamilton-operaattori , joka ei-vuorovaikutteisessa tapauksessa on neliöllinen suhteessa kenttäoperaattoreihin.

Tilallisesti homogeeninen tapaus

Perusmääritelmät

Yleensä harkitaan monien kappaleiden teoriaa kenttäoperaattorilla (annihilaatiooperaattori, kirjoitettu koordinaattipohjalla) . $\psi (\mathbf {x} )$

Heisenberg- operaattorit voidaan kirjoittaa Schrödinger-operaattoreiden avulla

\psi (\mathbf {x} ,t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} Kt}\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-\mathrm {i }Kt},

ja luomisoperaattori , jossa on suuren kanonisen yhtyeen Hamiltonin . ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }$ $K=H-\mu N$

Samoin kuvitteellisessa ajassa kirjoitetuille operaattoreille

\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau }

{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )\mathrm { e} ^{-K\tau }.

Tässä luomisoperaattori kuvitteellisessa ajassa ei ole tuhoamisoperaattorin hermiittinen adjungotti . ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )$ $\psi (\mathbf {x} ,\tau )$

Reaaliaikaisen pisteen Greenin funktio määritellään seuraavasti $2n$

G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle {\hat {T))\psi (1)\ldots \psi (n ){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,

jossa käytetään lyhenteitä, missä tarkoittaa ja myös tarkoittaa . Operaattori tarkoittaa järjestystä aikaoperaattorin mukaan , mikä määrittää, että sitä seuraavat kenttäoperaattorit tulee järjestellä siten, että niiden aika-argumentit kasvavat oikealta vasemmalle. $j$ $(\mathbf {x} _{n},t_{n})$ $n'$ $(\mathbf {x} _{n}',t_{n}')$ ${\näyttötyyli {\hattu {T}}}$

Kuvitteelliselle ajalle vastaava määritelmä on:

{\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle {\hat {T}}\psi (1)\ldots \psi ( n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,

jossa indeksi tarkoittaa koordinaatteja ja aikaa . Kuvitteellinen aikamuuttuja on rajoitettu alueelle välillä - käänteislämpötila . $n$ $\mathbf {x} _{n},\tau _{n}$ $\tau_n$ $0$ $\beta ={\frac {1}{k_{B}T))$

Tässä valittiin Greenin funktioiden merkit siten, että kaksipisteisen ( ) Matsubara Greenin funktion Fourier -muunnos vapaalle hiukkaselle on yhtä suuri kuin $n = 1$

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\ mathbf {k} }}},

ja hidastetun Greenin tehtävä on

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},

missä

\omega _{n}={[2n+\theta (-\zeta )]\pi }/{\beta }\,,

missä ω n ovat Matsubaran taajuuksia .

$\zeta$ on yhtä suuri bosoneille ja fermioneille ja merkitsee kommutaattoria tai antikommutaattoria tilastojen mukaan . $+1$ $-yksi$ ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta ))$

Kaksipistefunktiot

Greenin funktiota, jossa on yksi argumenttipari ( ), kutsutaan kaksipistefunktioksi tai propagaattoriksi . Sekä spatiaalisen että ajallisen translaation symmetrian läsnä ollessa se riippuu vain argumenttien eroista. Fourier-muunnos tilassa ja ajassa antaa $n = 1$

{\mathcal {G))(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})\mathrm {e} ^{\mathrm { i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')},

missä on vastaavien Matsubara-taajuuksien summa (ja integraali sisältää implisiittisen tekijän ). ${\displaystyle (L/2\pi )^{d))$

Reaaliajassa aikajärjestetty funktio osoitetaan yläindeksillä T:

G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int { \frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega (tt')}.

Reaaliaikainen kahden pisteen Greenin funktio voidaan kirjoittaa "lagging" ja "leading" Greenin funktioilla, joilla osoittautuu olevan yksinkertaisempia analyyttisiä ominaisuuksia. Hidastetun ja edistyneen Greenin toiminnot määritellään seuraavasti

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t ),{\bar {\psi ))(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (tt')

G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t) ,{\bar {\psi ))(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),

vastaavasti.

Ne liittyvät aikajärjestettyyn Greenin funktioon relaatiolla

G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} , \omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),

missä

n(\omega )={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta \omega }-\zeta ))

on Bose-Einstein- tai Fermi-Dirac-jakaumafunktio.

Järjestys kuvitteellisessa ajassa ja β- jaksollisuudessa

Matsubara Greenin funktiot määritellään vain, kun molemmat kuvitteelliset aika-argumentit ovat välillä enintään . Kaksipisteen Greenin funktiolla on seuraavat ominaisuudet. (Koordinaatit ja liikemäärä on jätetty pois tästä osiosta.) $0$ $\beeta$

Ensinnäkin vihreän toiminto riippuu vain kuvitteellisesta aikaerosta:

{\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').

Argumentti vaihtelee välillä . $\tau -\tau '$ $-\beta$ $\beeta$

Toiseksi - ${\mathcal {G}}(\tau )$

tämä on (anti)jaksollinen funktio siirtymien suhteen . Koska funktio määritetään, se tarkoittaa sitä, että se on pieni koko $\beeta$

{\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),

varten . Aikajärjestys on ratkaisevan tärkeä tälle ominaisuudelle, joka voidaan suoraan todistaa jäljitystoiminnan syklisyyden avulla. $0<\tau <\beta$

Nämä kaksi ominaisuutta otetaan huomioon myötäsuuntaisen ja käänteisen Fourier-muunnoksen esityksessä,

{\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }\mathrm {d} \tau \,{\mathcal {G}}(\tau ) \,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{n}\tau }.

${\mathcal {G}}(\tau )$ on epäjatkuvuus osoitteessa ; tämä on yhdenmukainen pitkän kantaman käyttäytymisen kanssa . $\tau=0$ ${\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|$

Spektriesitys

Reaali- ja imaginaariaikaprosetaattorit suhteutetaan spektritiheyteen (tai spektrin painoon) kaavalla

\rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\ alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left( \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right),

missä | α ⟩ viittaa suuren kanonisen ryhmän H − μN Hamiltonin monipartikkeliseen ominaistilaan ominaisarvolla E α .

Sitten levittäjä kuvitteellisessa ajassa on annettu

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega ' }{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}~,

ja hidastettu propagaattori

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{ 2\pi )){\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega ')),

jossa raja on . ${\displaystyle \eta \rightarrow 0^{+))$

Johtava levittäjä annetaan samalla lausekkeella, mutta nimittäjässä on termi. $-\mathrm {i} \eta$

Aikajärjestetty funktio voidaan ilmaista termeillä ja . Kuten edellä todettiin, ja niillä on yksinkertaiset analyyttiset ominaisuudet: ensimmäisessä (viimeisessä) on kaikki navat ja epäjatkuvuudet alemmalla (ylemmällä) puolitasolla. $G^{\mathrm {R} }$ $G^{\mathrm {A} }$ $G^{\mathrm {R} }(\omega )$ $G^{\mathrm {A} }(\omega )$

Matsubara- propagaattorissa on kaikki navat ja epäjatkuvuudet kuvitteellisilla akseleilla. ${\mathcal {G}}(\omega _{n})$ $\omega_{n}$

Spektritiheys saadaan käyttämällä Sochacki-Weierstrassin lausetta yleistetyille funktioille $G^{\mathrm {R} }$

\lim _{\eta \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} \eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi\delta(x),

jossa P on Cauchyn integraalin pääarvo . Se johtaa siihen

\rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operaattorinimi {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).

Lisäksi se noudattaa seuraavaa suhdetta todellisten ja kuvitteellisten osien välillä: $G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )$

\operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm { d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\operaattorin nimi {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},

jossa tarkoittaa integraalin pääarvoa. $P$

Spektritiheys noudattaa summasääntöä,

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,

joka antaa asymptotiikkaa muodossa

G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |))

osoitteessa . $|\omega |\rightarrow \infty$

Hilbert muunnos

Greenin funktioiden spektriesitysten samankaltaisuus imaginaari- ja reaaliajassa antaa meille mahdollisuuden määritellä funktio

G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},

mikä liittyy ja miten ${\mathcal {G}}$ $G^{\mathrm {R} }$

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,\mathrm {i} \omega _{n})

yhtä hyvin kuin

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +\mathrm {i} \eta ).

Samanlainen lauseke pätee . $G^{\mathrm {A} }$

Suhdetta ja välillä kutsutaan Hilbertin muunnokseksi . $G(\mathbf {k} ,z)$ $\rho (\mathbf {k} ,x)$

Todiste spektrimuodosta

Matsubara Greenin funktion levittäjän spektrisen esityksen todistamiseksi määritellään

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\ palkki {\psi ))(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .

Translaatiosymmetrian vuoksi on tarpeen ottaa huomioon vain muodossa annetut ${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)$ $\tau >0$

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf { 0} ,0)\mid \alpha '\rangle .

Täyden ominaistilojen joukon korvaaminen johtaa

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \ alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .

koska ja ovat ominaistiloja , Heisenberg-operaattorit voidaan kirjoittaa uudelleen Schrödinger-operaattoreiksi $|\alpha \rangle$ $|\alpha '\rangle$ $H-\mu N$

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha , \alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\mathrm {e} ^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha ' \mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .

Fourier-muunnoksen jälkeen saamme

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '} \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha ')){\frac {1-\zeta \mathrm {e} ^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha )))) ) {-\mathrm {i} \omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '))}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \ alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .

Liikemäärän säilyminen mahdollistaa viimeisen termin kirjoittamisen muotoon (mahdollisiin tilavuuskertoimiin asti)

|\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},

joka vahvistaa vihreän funktioiden lausekkeet spektriesituksessa.

Summa-sääntö voidaan todistaa ottamalla huomioon kommutaattorin odotusarvo,

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid \mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)} [\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,

ja korvaamalla sitten täysi joukko ominaistiloja molempiin kommutaattorijäseniin:

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\left(\ langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).

Tarrojen vaihtaminen ensimmäisellä termillä antaa

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}} -\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\ alue |^{2}~,

joka on ρ :n integroinnin tulos .

Ei-vuorovaikutustapaus

Vuorovaikuttamattomille hiukkasille on ominaistila (suuri kanoninen kokonaisuus), jonka energia on , jossa on yhden hiukkasen dispersiosuhde mitattuna suhteessa kemialliseen potentiaaliin. Siis spektritiheys $\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle$ ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} ))$ $\xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu$

\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k } }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}.

Kommutaatiosuhteista

\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,

mahdollisten tilavuustekijöiden kanssa. Summa, joka sisältää hiukkaslukuoperaattorin lämpökeskiarvon, on sitten yhtä kuin , jolloin tuloksena on $[1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z))$

\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).

Joten levittäjä kuvitteellisesta ajasta

{\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\ mathbf {k} }}}

ja hidastettu propagaattori

G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _ {\mathbf {k} }}}.

Nollalämpötilaraja

Kuten β → ∞, spektritiheys saa muodon

\rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )|\langle \ alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\rangle |^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )|\ langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle |^{2}\right]

jossa α = 0 vastaa perustilaa. Tässä vain ensimmäinen (toinen) termi vaikuttaa, kun ω on positiivinen (negatiivinen).

Yleinen tapaus

Perusmääritelmät

Yleisessä tapauksessa käytetään "kenttäoperaattoreita", kuten edellä, tai luomis- ja tuhoamisoperaattoreita, jotka liittyvät muihin yksittäisten hiukkasten tiloihin, mahdollisesti (vuorovaikuttamattoman) kineettisen energian ominaistiloihin. Käytetään

\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),

missä on yhden hiukkasen tilan annihilaatiooperaattori , ja on tämän tilan aaltofunktio koordinaattiesituksessa. Tämä antaa $\psi _{\alpha }$ $\alpha$ $\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )$

{\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\ tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1))(\tau _ {1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}' )\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle

samalla lausekkeella . ${\displaystyle G^{(n)))$

Kaksipistefunktiot

Kaksipisteen Greenin funktiot riippuvat vain niiden aika-argumenttien erosta, joten

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{ \mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ') }

G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\ ,G_{\alpha \beta }(\omega )\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega (tt')}.

On mahdollista määritellä jäljessä olevat ja johtavat vihreät funktiot ilmeisellä tavalla; ne liittyvät aikajärjestykseen samalla tavalla kuin edellä.

Samat jaksollisuusominaisuudet kuin edellä on kuvattu pätevät . Erityisesti, ${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }$

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),

varten . $\tau <0$

Spektriesitys

Tässä tapauksessa,

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}- E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \ vasen(\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}\oikea),

missä ja ovat monihiukkastilat. $m$ $n$

Vihreän funktioiden lausekkeita on muokattu ilmeisellä tavalla:

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}

G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{ 2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}}.

Niiden analyyttiset ominaisuudet ovat identtiset. Todistus suoritetaan täsmälleen samalla tavalla, paitsi että nämä kaksi matriisielementtiä eivät ole enää monimutkaisia konjugaatteja.

Ei-vuorovaikutteinen tapaus

Jos tietyt valitut yhden hiukkasen tilat ovat "yhden hiukkasen energian ominaistiloja", siis

[H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },

silloin for on ominaistila: $|n\rangle$

(H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,

niin se on : $\psi _{\alpha }\mid n\rangle$

(H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,

ja vastaavasti : $\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle$

(H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^ {\tikari }\mid n\rangle .

Siis matriisielementti

\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _ {\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n \rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .

moeno kirjoittaa uudelleen muotoon

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\ alfa }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta ))\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _ {\alpha }}\right),

Näin ollen

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha } -\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),

käyttämällä

\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle

ja se, että hiukkaslukuoperaattorin lämpökeskiarvo antaa Bose-Einstein- tai Fermi-Dirac-jakaumafunktion.

Lopuksi spektritiheys yksinkertaistetaan lausekkeeksi

\rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },

joten Matsubara Greenin toiminto

{\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-\mathrm {i} \omega _ {n}+\xi _{\beta ))))

ja hidastetun Greenin tehtävä on

G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\beta }}}.

Ei-vuorovaikutteisen Greenin funktio on diagonaalinen, mutta näin ei ole vuorovaikutteisessa tapauksessa.

Suositukset

Kirjat

Bonch-Bruevich VL, Tyablikov SV (1962): Greenin funktiomenetelmä tilastollisessa mekaniikassa. North Holland Publishing Co.
Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinskii I. E. (1963): Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics Englewood Rocks: Prentice-Hall.
Naegele, J. W. ja Orland, H. (1988): Quantum systems of many particles, Addison-Wesley.
Zubarev D. N. , Morozov V., Ropke G. (1996): Ei-tasapainoprosessien tilastollinen mekaniikka: peruskäsitteet, kineettinen teoria (osa 1). John Wiley & Sons. ISBN 3-05-501708-0 .
Mattuck, Richard D. (1992), A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem , Dover Publications, ISBN 0-486-67047-3 .

Artikkelit

Bogolyubov N. N. , Tyablikov S. V. Viive ja eteenpäin Greenin funktiot tilastollisessa fysiikassa, Dokl. 4 , s. 589 (1959).
D. N. Zubarev , Two-time Greenin funktiot tilastollisessa fysiikassa , Uspekhi Mat. Nauk 3: 3 (1960), 320-345.

Linkit

Lineaariset vastefunktiot julkaisussa Eva Pavarini, Eric Koch, Dieter Vollhardt ja Alexander Lichtenstein (toim.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014. ISBN 978-3-89336-953-9