Riippumattomuus (todennäköisyysteoria)

Todennäköisyysteoriassa kahta satunnaista tapahtumaa kutsutaan riippumattomiksi , jos toisen tapahtuminen ei muuta toisen tapahtumisen todennäköisyyttä. Vastaavasti kahta satunnaismuuttujaa kutsutaan itsenäiseksi , jos toisen tunnettu arvo ei anna tietoa toisesta.

Itsenäiset tapahtumat

Oletetaan, että meille on annettu kiinteä todennäköisyysavaruus . $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$

Määritelmä 1. Kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, jos $A,B\in {\mathcal {F}}$

tapahtuman toteutuminen ei muuta tapahtuman todennäköisyyttä .

A

B

Huomautus 1. Siinä tapauksessa, että yhden tapahtuman todennäköisyys , esimerkiksi , ei ole nolla, eli riippumattomuuden määritelmä vastaa: $B$ $\mathbb {P} (B)>0$

\mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A),

eli ehdollisen tapahtuman ehdollinen todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtuman ehdoton todennäköisyys . $A$ $B$ $A$

Määritelmä 2. Olkoon sattumanvaraisten tapahtumien perhe (äärellinen tai ääretön) , jossa on mielivaltainen indeksijoukko . Sitten nämä tapahtumat ovat pareittain riippumattomia , jos mitkä tahansa kaksi tapahtumaa tästä perheestä ovat riippumattomia, ts $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$ $minä$

\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j}),\;\forall i\neq j.

Määritelmä 3. Olkoon sattumanvaraisten tapahtumien perhe (äärellinen tai ääretön) . Tällöin nämä tapahtumat ovat yhdessä riippumattomia , jos mikä tahansa näiden tapahtumien äärellinen joukko pitää paikkansa: $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$ $\{A_{i_{k}}\}_{k=1}^{N}$

\mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{N}})=\mathbb {P} (A_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{i_{N}}).

Huomautus 2. Yhteinen riippumattomuus merkitsee ilmeisesti parittaista riippumattomuutta. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa.

Esimerkki 1. Heitetään kolme tasapainotettua kolikkoa. Määrittelemme tapahtumat seuraavasti:

$A_{1}$ : kolikot 1 ja 2 putosivat samalle puolelle;
$A_{2}$ : kolikot 2 ja 3 putosivat samalle puolelle;
$A_{3}$ : kolikot 1 ja 3 putosivat samalle puolelle;

On helppo tarkistaa, että mitkä tahansa kaksi tapahtumaa tästä sarjasta ovat riippumattomia. Silti nämä kolme ovat kollektiivisesti riippuvaisia, sillä kun tiedämme esimerkiksi, että tapahtumat tapahtuivat , tiedämme tarkalleen, mitä myös tapahtui. Muodollisesti: . Toisaalta ,. $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ $\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})={\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2} }=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j})\quad \forall i\neq j$ $\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{4}}\neq {\frac {1}{2}}\cdot {\ frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2})\cdot \mathbb { P} (A_{3})$

Itsenäiset sigma-algebrat

Määritelmä 4. Olkoon kaksi sigma-algebraa samassa todennäköisyysavaruudessa. Niitä kutsutaan itsenäisiksi , jos joku heidän edustajistaan on riippumaton toisistaan, eli: ${\mathcal {A}}_{1},\;{\mathcal {A}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2}),\;\kaikki A_{1 }\in {\mathcal {A}}_{1},\;A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}

Jos kahden sijasta on kokonainen (mahdollisesti ääretön) sigma-algebroiden perhe, niin pari- ja yhteisriippumattomuus määritellään sille ilmeisellä tavalla.

Riippumattomat satunnaismuuttujat

Määritelmät

Määritelmä 5. Olkoon satunnaismuuttujien perhe annettu , niin että . Tällöin nämä satunnaismuuttujat ovat pareittain riippumattomia , jos niiden muodostamat sigma-algebrat ovat pareittain riippumattomia . Satunnaismuuttujat ovat toisistaan riippumattomia , jos niiden muodostamat sigma-algebrat ovat. $(X_{i})_{i\in I}$ $X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\;\forall i\in I$ $\{\sigma (X_{i})\}_{i\in I}$

On huomattava, että käytännössä, ellei asiayhteydestä päätetä, riippumattomuus tarkoittaa riippumattomuutta kokonaisuutena .

Yllä annettu määritelmä vastaa mitä tahansa muuta seuraavista. Kaksi satunnaismuuttujaa ovat riippumattomia , jos ja vain jos : $X,\;Y$

mille tahansa : $A,\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

\mathbb {P} (X\in A,\;Y\in B)=\mathbb {P} (X\in A)\cdot \mathbb {P} (Y\in B)=\mathbb { P} (\vasen\{\omega :X(\omega )\in A,~\omega \in \Omega \oikea\})\cdot \mathbb {P} (\left\{\omega :Y(\omega) )\in B,~\omega \in \Omega \right\}).

Kaikkien Borel-funktioiden satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. $f,\;g\kaksoispiste \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(X),\;g(Y)$
Kaikille rajoitetuille Borel-toiminnoille : $f,\;g\kaksoispiste \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\mathbb {E} \left[f(X)g(Y)\right]=\mathbb {E} \left[f(X)\right]\cdot \mathbb {E} \left[g(Y)\ oikein].

Riippumattomien satunnaismuuttujien ominaisuudet

Antaa olla satunnaisvektorin jakauma , olla jakauma ja jakauma . Sitten he ovat itsenäisiä jos ja vain jos $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $(X,\;Y)$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $\mathbb {P} ^{Y}$ $Y$ $X,\;Y$

\mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y},

jossa tarkoittaa mittojen (suoraa) tuotetta . $\otimes$

Olkoon kumulatiiviset jakaumafunktiot, vastaavasti . Sitten he ovat itsenäisiä jos ja vain jos $F_{X,\;Y},\;F_{X},\;F_{Y}$ $(X,\;Y),\;X,\;Y$ $X,\;Y$

F_{X,\;Y}(x,\;y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y).

Olkoon satunnaismuuttujat diskreettejä . Sitten he ovat itsenäisiä jos ja vain jos $X,\;Y$

\mathbb {P} (X=i,\;Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j).

Olkoon satunnaismuuttujat yhdessä ehdottoman jatkuvia, eli niiden yhteisjakauman tiheys on . Sitten he ovat itsenäisiä jos ja vain jos $X,\;Y$ $f_{{X,\;Y}}(x,\;y)$

f_{X,\;Y}(x,\;y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,\;y)\in \mathbb {R } ^{2}

missä ovat satunnaismuuttujien tiheydet ja vastaavasti. $f_{X}(x),\;f_{Y}(y)$ $X$ $Y$

Olkoon satunnaismuuttujat riippumattomia ja niillä on äärellinen varianssi . Silloin ne eivät korreloi . $X,\;Y$
Mikä tahansa perusjoukossa riippumaton satunnaismuuttujien kokoelma on pareittain riippumaton, mutta kaikki pareittain riippumattomat kokoelmat eivät ole riippumattomia populaatiossa. Jälkimmäistä osoittaa S. N. Bernsteinin antama esimerkki kolikoiden heittämisestä .

n-aarinen riippumattomuus

Yleisessä tapauksessa kuka tahansa voi puhua riippumattomuudesta. Ajatus on samanlainen: satunnaismuuttujien perhe on -arno riippumaton, jos jokin sen kardinaalisuuden osajoukko on kollektiivisesti riippumaton. -aarista riippumattomuutta on käytetty teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä todistamaan MAXEkSAT- ongelmalause . $n\geqslant 2$ $n$ $n$ $n$ $n$

Katso myös

Linkit

Russell, Stuart. Tekoäly: moderni lähestymistapa / Stuart Russell, Peter Norvig. - Prentice Hall , 2002. - S. 478 . — ISBN 0-13-790395-2 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)