Nilvariety

Nilmannifold on sileä monisto , jossa on transitiivinen nilpotentti ryhmä diffeomorfismeja , jotka vaikuttavat tähän jakoputkeen. Nilmannifold on esimerkki homogeenisesta avaruudesta ja se on erilainen kuin osamääräavaruus , nilpotentin Lie- ryhmän N osamäärä suljetun alaryhmän H mukaan . Anatoli I. Maltsev otti termin käyttöön vuonna 1951. $N/H$

Riemannilaisessa kategoriassa on myös tyhjentävä määritelmä nollasta. Riemannin monistoa kutsutaan homogeeniseksi nilmanifoldiksi , jos siihen on olemassa nilpotentti isometrioiden ryhmä, joka vaikuttaa transitiivisesti. Vaatimus, jonka mukaan transitiivinen nilpotentti ryhmä toimii isometrioiden mukaan, johtaa seuraavaan karakterisointiin: mikä tahansa homogeeninen nollavariaatio on isometrinen nilpotentille Lie-ryhmälle, jolla on vasen-invarianttimetriikka (katso Wilsonin artikkeli [1] ).

Nilmanifoldit ovat tärkeitä geometrisia esineitä ja esiintyvät usein konkreettisissa esimerkeissä, joilla on erityisiä ominaisuuksia. Riemannin geometriassa näillä tiloilla on aina sekoitettu kaarevuus [2] , lähes litteät monistoputket syntyvät nilmannifoldien osa-avaruuksina [3] ja kompakteja nilmannifoldeja on käytetty rakentamaan alkeellisia esimerkkejä Riemannin metriikan romahtamisesta Ricci-virroissa [4] .

Sen lisäksi, että niillä on tärkeä rooli nilmannifoldin geometriassa, kiinnostus niitä kohtaan on kasvavaa roolia aritmeettisessa kombinatoriikassa (ks. Greenin ja Taon artikkeli [5] ) ja ergodisessa teoriassa (ks. esim. artikkeli isäntä ja Cra [6] ).

Kompakti nilmanfolds

Kompakti nilmannifold on nilmanfold, joka on kompakti. Yksi tapa rakentaa tällaisia avaruuksia on tarkastella yksinkertaisesti yhdistettyä nilpotenttia Lie-ryhmää N ja diskreettiä aliryhmää . Jos alaryhmä toimii kokompaktisesti (oikealla kertolaskulla) N :lle , niin osamäärälaji on kompakti nollalaji. Kuten Maltsev osoitti, mikä tahansa kompakti nilmannifold voidaan saada tällä tavalla [7] . ${\näyttötyyli \gamma }$ ${\näyttötyyli \gamma }$ $N/\Gamma$

Yllä olevan kaltaista alaryhmää kutsutaan hilaksi N :ssä . Nilpotentti Lie-ryhmä hyväksyy hilan vain, jos sen Lie-algebra hyväksyy kannan, jolla on rationaaliset rakennevakiot — tämä on Maltsev-kriteeri. Kaikki voimattomat valheryhmät eivät hyväksy hilaa. Katso lisätietoja M. S. Raunathanin artikkelista [8] . ${\näyttötyyli \gamma }$

Kompakti Riemannin nilmannifold on kompakti Riemannin monisto, joka on paikallisesti isometrinen nilpotentille Lie-ryhmälle vasemmanpuoleisen invariantin metriikan mukaan. Nämä tilat on rakennettu seuraavalla tavalla. Olkoon hila yksinkertaisesti yhdistetyssä nilpotentissa Lie-ryhmässä N kuten edellä. Varustamme N :llä vasemmanpuoleisen invariantin (Riemannin) metriikan. Sitten alaryhmä toimii isometrioiden avulla N :lle vasemmanpuoleisella kertolaskulla. Tällöin osamääräavaruus on kompakti avaruus, joka on lokaalisti isometrinen N :n suhteen . Huomaa, että tämä tila on luonnostaan diffeomorfinen . ${\näyttötyyli \gamma }$ $\Gamma$ $\Gamma \backslash N$ $N/\Gamma$

Kompakti nilmanfolds syntyy myös päänippuna . Tarkastellaan esimerkiksi 2-vaiheista nilpotenttia Lie-ryhmää N , joka sallii hilan (katso edellä). Olkoon aliryhmän N kommutaattori . Merkitään p:llä kommutaattorin Z dimensio ja q :lla Z :n koodimension, eli N :n ulottuvuus on yhtä suuri kuin p+q. Tiedetään (katso Raghunathanin artikkeli), että se on Z :n hila . Siksi se on p - ulotteinen kompakti torus. Koska Z on keskeinen N :ssä, ryhmä G vaikuttaa kompaktiin nollanifoldiin , jossa on osamääräavaruus . Tämä perusjakotukki M on q - ulotteinen kompakti torus. On osoitettu, että millä tahansa toruksen päällimmäisellä torilla on tämä muoto, katso Policen ja Stewartin artikkeli [9] . Yleisemmin sanottuna kompakti nilmannifold on nippu toria nippu tori yli nimen tori ... toruksen päällä. $Z=[N,N]$ $Z\cap \Gamma$ $G=Z/(Z\cap \Gamma )$ $P=N/\Gamma$ $M=P/G$

Kuten edellä mainittiin, lähes litteät lajikkeet ovat pohjimmiltaan kompakteja nollajakoputkia. Katso lisätietoja vastaavasta artikkelista.

Monimutkaiset nilmanfolds

Historiallisesti monimutkainen nilmannifold tarkoittaa kompleksisen nilpotentin Lie-ryhmän osamäärää kokompaktihilassa . Esimerkki tällaisesta nollalajikkeesta on Iwasawa-lajike . 1980-luvulta lähtien toinen (yleisempi) käsitys monimutkaisesta nilmanniitosta on vähitellen syrjäyttänyt tämän käsitteen.

Melkein monimutkainen rakenne todellisessa Lie-algebrassa g on endomorfismi , jonka neliö on −Id g . Tätä operaattoria kutsutaan monimutkaiseksi rakenteeksi, jos sen ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet ovat aligebraa . Tässä tapauksessa I määrittelee vasen-invariantin kompleksirakenteen vastaavalle Lie-ryhmälle. Tällaista lajiketta ( G , I ) kutsutaan kompleksiryhmälajikkeeksi . Siten mikä tahansa yhdistetty kompleksinen homogeeninen monisto , joka on varustettu vapaalla transitiivisella holomorfisella vaikutuksella todelliseen Lie-ryhmään, saadaan tällä tavalla. $I\colon \;g\rightarrow g$ $\pm {\sqrt {-1}}$ $g\otimes {\mathbb {C} }$

Olkoon G todellinen tehoton valheryhmä. Kompleksinen nilmannifold on monikerroksinen tekijä kompleksista ryhmästä ( G , I ), joka on varustettu vasen-invariantilla kompleksirakenteella oikealla toimivan diskreetin kokompaktin hilan avulla.

Monimutkaiset nilmannifoldit eivät yleensä ole homogeenisia kuin monimutkaiset monimutkaiset.

Kompleksisessa ulottuvuudessa 2 ainoat kompleksiset nilmannifoldit ovat monimutkainen torus ja Kodaira-pinta [10] .

Ominaisuudet

Kompaktit nilmannifoldit (torusta lukuun ottamatta) eivät ole koskaan muodollisia [11] [12] . Tämä viittaa välittömästi siihen, että kompaktit nilmannifoldit (torusta lukuun ottamatta) eivät hyväksy Kähler-rakennetta (katso myös Bensonin ja Gordonin artikkeli [13] ).

Topologisesti kaikki nilmannifoldit voidaan saada iteroituina toripyörinä toruksen yli. Tämä on helppo nähdä laskevalta keskiriviltä [14] .

Esimerkkejä

Nilpotent Lie -ryhmät

Yllä olevasta homogeenisen nollalajin määritelmästä on selvää, että mikä tahansa nilpotentti Lie-ryhmä, jolla on vasemmanpuoleinen invarianttimetriikka, on homogeeninen nollalaji. Tunnetuimpia nilpotentteja Lie-ryhmiä ovat matriisiryhmät, joiden diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuret kuin 1 ja kaikki subdiagonaaliset alkiot ovat nollia.

Esimerkiksi Heisenberg-ryhmä on kaksivaiheinen nilpotentti valheryhmä. Tämä nilpotent Lie -ryhmä on myös erityinen, koska se mahdollistaa kompaktin osamäärän. Ryhmä voi olla ylempiä kolmiomatriiseja, joissa on kokonaislukuelementtejä. Tuloksena oleva nilmannifold on kolmiulotteinen. Yksi mahdollinen perusalue on (isomorfinen) [0,1] 3 :lle , jonka kasvot tunnistetaan oikein. Tämä johtuu siitä, että nilvariteetin elementti voidaan edustaa perusalueen elementillä . Tässä tarkoittaa x :n "lattia"-funktiota ja : n murto - osaa . "Floor"-funktion esiintyminen tässä on vihje nilmanifoldien yhteydestä additiiviseen kombinatoriikkaan - niin sanotut hakasulkupolynomit tai yleistetut polynomit ovat tärkeitä korkean kertaluvun Fourier-analyysissä [5] . $\Gamma$ ${\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Gamma$ ${\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{zx\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\}\\&&1\end{pmatrix}}$ $\lfloor x\rfloor$ $\{x\}$

Abelian Lie -ryhmät

Yksinkertaisin esimerkki on mikä tahansa Abelian Lie -ryhmä. Tämä johtuu siitä, että mikä tahansa tällainen ryhmä on tehoton valheryhmä. Voimme ottaa esimerkiksi reaalilukujen ryhmän yhteenlaskemalla ja diskreetin kokompaktin kokonaislukujen alaryhmän. Tuloksena oleva 1-vaiheinen nilmannifold on tuttu rengas . Toinen hyvin tunnettu esimerkki on kompakti 2-torus tai euklidinen avaruus. $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

Yleistykset

infraniili jakoputki
Solvmanifold . Ratkaistavaan Lie-ryhmään perustuva rinnakkaisrakenne antaa luokan avaruksia, joita kutsutaan solvmanifoldeiksi ( tai ratkaistaviksi monikerroiksi). Tärkeä esimerkki ratkaistavissa olevista jakoputkista ovat kompleksigeometriassa tunnetut Inoue-pinnat .

Muistiinpanot

↑ Wilson, 1982 .
↑ Milnor, 1976 , s. 293–329.
↑ Gromov, 1978 , s. 231-241.
↑ Chow, Knopf, 2004 , s. xii+325.
↑ 1 2 Green, Tao, 2010 , s. 1753-1850
↑ Isäntä, Kra, 2005 , s. 397-488.
↑ Maltsev, 1949 , s. 9-32.
↑ Raghunathan, 1972 .
↑ Palais, Stewart, 1961 , s. 26–29.
↑ Hasegawa, 2005 , s. 749–767.
↑ Minimaalinen differentiaaliasteittainen algebra A yli K on formaalinen, jos on olemassa differentiaalisesti luokiteltujen algebroiden morfismi välillä A - , niin että se muodostaa identiteetin kohomologiassa antiderivaatilla d = 0 on (Hasegawa, s. 68). $\psi$ $H^{\ast }(A\;K)$ $\psi$ $H^{\ast }(A\;K)$
↑ Hasegawa, 1989 , s. 65–71.
↑ Benson ja Gordon 1988 , s. 513–518.
↑ Rollenske, 2009 , s. 425–460.

Kirjallisuus

Edward N. Wilson. Isometriaryhmät homogeenisissa nilmannifoldeissa // Geometriae Dedicata . - 1982. - T. 12 , no. 3 . - doi : 10.1007/BF00147318 .
John Milnor. Vasemman invarianttimetriikan käyrät Lie-ryhmissä // Advances in Mathematics . - 1976. - T. 21 , no. 3 . - doi : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 .
Mihail Gromov. Melkein litteät jakoputket // Journal of Differential Geometry . - 1978. - T. 13 , no. 2 . - doi : 10.4310/jdg/1214434488 .
Bennett Chow, Dan Knopf. Ricci-virtaus: johdanto. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - V. 110. - (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-3515-7 .
Benjamin Green, Terence Tao. Lineaariset yhtälöt alkuluvuissa // Matematiikan Annals . - 2010. - T. 171 , no. 3 . - doi : 10.4007/annals.2010.171.1753 . - arXiv : math.NT/0606088 .
Bernard Host, Bryna Kra. Epäkonventionaaliset ergodiset keskiarvot ja nilmanifolds // Annals of Mathematics . - 2005. - T. 161 , no. 1 . doi : 10.4007 / annals.2005.161.397 .
A. I. Maltsev. Homogeenisten tilojen luokassa . - Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. Mat.. - 1949. - T. 13.

Raghunathan MS Luku II // Lie-ryhmien erilliset alaryhmät. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1972. - V. 68. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-3-642-86428-5 .
Palais RS, Stewart TE Torus niputtaa toruksen yli // Proc. amer. Matematiikka. Soc.. - 1961. - T. 12 .
Keizo Hasegawa. Kompleksiset ja Kähler-rakenteet Compact Solvmanifoldsissa // J. Symplectic Geom.. - 2005. - V. 3 , No. 4 .
Keizo Hasegawa. Nilmannifoldin minimimallit // Proc. amer. Matematiikka. Soc .. - 1989. - T. 106 , nro 1 .
Chal Benson, Carolyn S. Gordon. Kähler ja symplektiset rakenteet nilmannifoldsilla // Topologia . - 1988. - T. 27 , no. 4 . - doi : 10.1016/0040-9383(88)90029-8 .
Sonke Rollenske. Nilmannifoldin geometria vasemmalla invariantilla kompleksisella rakenteella ja muodonmuutoksilla suuressa . — Pros. Lontoon matematiikka. Soc., 2009. - T. 99.