Suhde

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Suhde matematiikassa (suhde, suhde) on kahden homogeenisen numeerisen arvon välinen suhde [ 1] . Yleensä ilmaistaan ​​" a :sta b :ksi " tai joskus aritmeettisesti kahden numeerisen arvon [2] jakamisen tuloksena (ei välttämättä kokonaislukuna ) , joka ilmaisee suoraan, kuinka monta kertaa ensimmäinen luku sisältää toisen [3] .

Yksinkertaisesti sanottuna suhde osoittaa, että jokaisella yhden asian määrällä on kuinka paljon jotain muuta. Oletetaan esimerkiksi, että jollakin hedelmäkulhossa on 8 appelsiinia ja 6 sitruunaa, appelsiinien suhde sitruunoihin on 8:6 (tai vastaavasti 4:3) ja sitruunoiden suhde appelsiineihin on 3:4. Lisäksi appelsiinien määrä suhteessa hedelmien kokonaismäärään on 4:7 (vastaa 8:14:ää). Suhde 4:7 voidaan muuntaa murto - osuudeksi 4/7, mikä osoittaa, kuinka suuri osuus hedelmien kokonaismäärästä on appelsiineja.

Nimitykset ja termit

Lukujen A ja B suhde voidaan esittää seuraavasti: [2]

lisäksi suhteet kirjoitetaan yleensä kokonaislukujen suhteina, ja tässä tapauksessa lukujen A ja B suhde on myös

Numeroita A ja B tässä yhteydessä kutsutaan joskus termeiksi (termeiksi), joissa A  on edeltäjä ja B  on seuraus .

Suhteiden A  : B ja C  : D yhtäläisyyttä ilmaiseva suhde kirjoitetaan muodossa A  : B = C  : D tai A  : B ∷ C  : D . Lukee:

A on B :hen , kuten C on D : hen.

Ja tässä tapauksessa A , B , C , D kutsutaan osuuden jäseniksi. A ja D  ovat osuuden ääritermejä ja B ja C  ovat keskimmäisiä termejä.

Joskus suhteissa voidaan kirjoittaa kolme tai useampia termejä. Esimerkiksi kohteen, jonka poikkileikkaus on kahdesta neljään ja pituus kymmenen senttimetriä, mitat ovat 2: 4: 10. Kolmen tai useamman suhteen yhtäläisyyttä kutsutaan jatkuvaksi suhteeksi ( englanniksi  jatkunut osa - sarja suhteita ). [2]

Historia ja etymologia

Suhteen käsitteen alkuperää on mahdoton jäljittää , koska sen syntyneitä ideoita on täytynyt tuntea esilukutaitoisille kulttuureille. Esimerkiksi ajatus siitä, että yksi kylä on kaksi kertaa suurempi kuin toinen, on niin perustavanlaatuinen, että jopa esihistoriallinen yhteiskunta olisi ymmärtänyt sen. [neljä]

Suhteen osoittamiseksi kreikkalaiset käyttivät termiä muu kreikkalainen. λόγος , jonka latinalaiset käänsivät suhteessa ("kohtuullinen syy"; kuten sanassa "rationaalinen") tai proportio . (Rationaaliluku voidaan ajatella tuloksena kahden kokonaisluvun suhteesta.) Muinaisen merkityksen nykyaikaisempi tulkinta on lähempänä "laskemista" tai "laskemista". [3] Boethius ("Aritmeettiset perusteet", "Musiikin perusteet", 6. vuosisadan alku) käytti sanaa proportio (sekä ratio , comparatio ja habitudo ) kuvaamaan suhdetta ja ratioalitas (käännös muun kreikan kielestä. ἀναλογίoteα ) ( suhdesuhteet) [5] . Tätä terminologiaa (johtuen Boethiuksen laajasta aritmeettisesta ja musiikista) harjoitettiin myös keskiajalla.

Euclid yhdistettynä elementteihin on saatu aikaisemmista lähteistä. Pythagoralaiset kehittivät lukuihin sovelletun suhde- ja suhteteorian [6] . Pythagoralaiseen lukukäsitteeseen sisältyi vain rationaalilukuja , mikä herätti epäilyksiä teorian soveltuvuudesta geometriassa, jossa, kuten pythagoralaisetkin havaitsivat, on irrationaalisia lukuja vastaavia mittasuhteita, joita ei voi verrata . Suhdeteorian löytö, joka ei edellyttänyt suhteellisuutta, kuuluu luultavasti Eudoxukselle Knidukselle . "Alkujen" kirjassa VII on esitetty aikaisempi teoria suhteellisten määrien suhteista [7] .

Useiden teorioiden olemassaolo näyttää nykyaikaiselle näkemykselle tarpeettomalta monimutkaiselta, koska suhteet määräytyvät suurelta osin jaon tuloksen mukaan. Tämä on kuitenkin melko tuore löytö, kuten voidaan nähdä siitä tosiasiasta, että nykyaikaisissa geometrian oppikirjoissa käytetään edelleen eri terminologiaa suhteille (ratio) ja jakotuloksille (osamäärä, osamäärä). Tähän on kaksi syytä. Ensinnäkin oli edellä mainittu haluttomuus tunnustaa irrationaalisia lukuja todellisiksi numeroiksi. Toiseksi, laajalti käytettyjen symbolien (notaatioiden) puuttuminen jo vakiintuneen suhdeterminologian tilalle viivästytti murtolukujen täyttä hyväksymistä vaihtoehtona 1500-luvulle asti. [kahdeksan]

Eukleideen määritelmät

Euclid's Elements -kirjan V kirja sisältää 18 relaatioiden määritelmää [9] . Lisäksi Euclid käyttää ajatuksia, jotka olivat niin laajassa käytössä, että hän ei määrittele niitä. Kaksi ensimmäistä määritelmää sanovat, että osa suuresta on toinen suure, joka "mittaa" sen, ja päinvastoin, suuren kerrannainen on toinen suure, joka mitataan sillä. Nykyaikaisin termein tämä tarkoittaa, että suuren kerrannainen on se määrä, joka kerrotaan kokonaisluvulla, joka on suurempi kuin yksi, ja suuren murto-osa (eli jakaja ), kun se kerrotaan luvulla, joka on suurempi kuin yksi, antaa tämän määrän.

Eukleides ei määrittele sanaa "mitta". Voidaan kuitenkin olettaa, että jos määrä otetaan mittayksiköksi ja toinen suure esitetään tällaisten mittayksiköiden kokonaismääränä, niin ensimmäinen suure mittaa toisen. Huomaa, että nämä määritelmät toistetaan melkein sanasta sanaan määritelminä 3 ja 5 Kirjassa VII.

Määritelmä 3 selittää, mikä relaatio on yleisessä mielessä. Se ei ole matemaattisesti tiukka, ja jotkut tutkijat pitävät sitä pikemminkin toimittajista kuin Eukleidesta itsestään. [10] Euklid määrittelee kahden samanlaisen suuren , kuten kahden segmentin tai kahden alueen välisen suhteen, mutta ei pituuden suhdetta pinta-alaan. Määritelmä 4 tekee tästä vielä tiukemman. Siinä sanotaan, että kahden suuren välinen suhde on olemassa, jos kummankin kerrannainen on suurempi kuin toinen. Nykyaikaisin termein: suureiden p ja q välillä on suhde , jos on kokonaislukuja m ja n siten, että mp > q ja nq > p . Tämä ehto tunnetaan Archimedesin aksioomana .

Määritelmä 5 on monimutkaisin ja vaikein ymmärtää. Se selittää, mitä tasa-arvo tarkoittaa kahdelle suhteelle. Nykyään voidaan yksinkertaisesti todeta, että suhteet ovat yhtä suuret, jos jakotermien tulokset ovat yhtä suuret, mutta Eukleides ei tunnustanut jakotulosten olemassaoloa suhteettomalle suurelle, joten hänelle tällainen määritelmä olisi merkityksetön. Siksi vaadittiin hienovaraisempaa määritelmää määrille, jotka eivät suoraan mittaa toisiaan. Vaikka suhteelle ei ehkä ole mahdollista antaa rationaalista arvoa, on mahdollista verrata suhdetta rationaalilukuon. Nimittäin, kun annetaan kaksi suuretta p ja q sekä rationaalinen luku m / n , voidaan sanoa, että p :n suhde q :iin on pienempi, yhtä suuri tai suurempi kuin m / n , kun np on pienempi, yhtä suuri tai suurempi kuin mq , vastaavasti. Euklidinen tasa-arvon määritelmä voidaan ilmaista seuraavasti: kaksi suhdetta ovat yhtä suuret, kun ne käyttäytyvät samalla tavalla ja ovat pienempiä, yhtä suuria tai suurempia kuin mikä tahansa rationaalinen luku. Nykyaikaisessa merkinnässä se näyttää tältä: annetut suureet p , q , r ja s , p : q :: r : s pätee jos millä tahansa positiivisella kokonaisluvulla m ja n suhde np < mq , np = mq , np > mq in mukaan nr < ms , nr = ms , nr > ms . Tämän määritelmän ja nykyaikaisessa irrationaalisten lukujen teoriassa käytetyn Dedekind-leikkauksen teorian välillä on huomattava samankaltaisuus [11] .

Määritelmä 6 sanoo, että suuret, joilla on sama suhde, ovat suhteellisia tai suhteellisia . Eukleides käyttää kreikan sanaa ἀναλόγον (analogia), jonka juuret ovat samat kuin sanalla λόγος, josta sana "analoginen" on johdettu.

Määritelmä 7 selittää, mitä tarkoittaa, että suhde on pienempi tai suurempi kuin toinen, ja perustuu määritelmän 5 ideoihin. Nykyaikaisessa merkinnässä: annetut suureet p , q , r ja s , p : q > r : s , jos niitä on positiiviset kokonaisluvut m ja n siten, että np > mq ja nr ≤ ms .

Kuten määritelmän 3 kohdalla, jotkin tutkijat pitävät määritelmää 8 toimittajien myöhäisenä sisällyttämisenä. Siinä sanotaan, että kolme termiä p , q ja r ovat suhteessa, jos p : q :: q : r . Tämä laajenee 4 termiin p , q , r ja s kuten p : q :: q : r :: r : s jne. Sekvenssejä, joilla on ominaisuus, että peräkkäisten termien suhteet ovat yhtä suuret, kutsutaan geometrisiksi progressioiksi . Määritelmät 9 ja 10 soveltavat tätä sanomalla, että jos p , q ja r ovat suhteessa, niin p : r on p : q: n kaksoissuhde , ja jos p , q , r ja s ovat suhteessa, niin p : s on kolminkertainen suhde p : q :lle . Jos p , q ja r ovat suhteessa, niin q :n sanotaan olevan p :n ja r : n suhteellinen keskiarvo (tai geometrinen keskiarvo ) . Vastaavasti, jos p , q , r ja s ovat suhteessa, niin q :n ja r :n sanotaan olevan keskiarvo verrannollisia p :lle ja s: lle .

Prosenttiosuus

Jos kerrot kaikki suuret suhteessa samalla luvulla, suhde ei muutu. Esimerkiksi suhde 3:2 on sama kuin 12:8. Yleensä osuuden termit pienennetään pienimpään yhteiseen nimittäjään tai ilmaistaan ​​sadan ( prosentin ) murto-osina. Joskus vertailun helpottamiseksi suhteet esitetään muodossa n :1 tai 1: n .

Jos seos sisältää aineita A , B , C ja D suhteessa 5:9:4:2, se sisältää 5 osaa A jokaista 9 osaa B kohti , 4 osaa C ja 2 osaa D. Koska 5+9+4+2=20, kokonaisseoksessa on 5/20 A (5 osaa 20:sta), 9/20 B , 4/20  C ja 2/20 D. Jos nämä luvut, jaettuna kokonaismäärällä, kerrotaan 100:lla, saadaan prosenttiosuudet: 25 % A, 45 % B, 20 % C ja 10 % D (vastaa suhdelukua 25:45:20:10 ).

Mittasuhteet

Jos jossakin tilanteessa otetaan huomioon kaksi tai useampia määriä, jotka ovat oikeassa suhteessa - esimerkiksi jos korissa on kaksi omenaa ja kolme appelsiinia ja vain nämä -, voidaan sanoa, että "kokonaisuus" sisältää viisi osaa, jotka koostuvat kahdesta osasta omenoita ja kolmesta appelsiinipalasta. Tässä tapauksessa , eli 40 % kokonaisuudesta on omenoita ja , tai 60 % kokonaisuudesta, on appelsiineja. Tätä tietyn määrän vertailua "kokonaisuuteen" kutsutaan joskus suhteeksi. Osuudet ilmaistaan ​​joskus prosentteina , kuten edellä.

Muut käyttötarkoitukset

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Wentworth, s. 55
  2. ↑ 1 2 3 Uusi kansainvälinen tietosanakirja
  3. ↑ 1 2 Penny Cyclopedia, s. 307
  4. ↑ Smith, s. 477
  5. ↑ A. M. S. Boethius. Musiikin perusteet / Tekstin valmistelu, käännös latinasta ja kommentit S. N. Lebedev. M.: Tieteellinen ja julkaisukeskus "Moskovan konservatorio", 2012, s. xxxiv-xxxv, 276.
  6. ↑ Heath, 1908 , s. 112.
  7. ↑ Heath, 1908 , s. 113.
  8. ↑ Smith, s. 480
  9. ↑ Heath, 1908 , osion viite.
  10. ↑ "Geometry, Euclidean" Encyclopædia Britannica Eleventh Edition p682.
  11. ↑ Heath, 1908 , s. 125.

Kirjallisuus