Pseudokupera toiminto

Näennäiskupera funktio on funktio , joka toimii kuten kupera funktio paikallisen miniminsä löytämisessä , mutta ei välttämättä konveksi. Epämuodollisesti differentioituva funktio on näennäiskupera, jos se kasvaa mihin tahansa suuntaan, jossa sillä on positiivinen suuntaderivaata .

Muodollinen määritelmä

Reaaliarvoista funktiota ƒ , joka on määritelty (ei-tyhjässä) konveksissa avoimessa joukossa X äärellisulotteisessa euklidisessa avaruudessa , kutsutaan pseudokuperiksi , jos kaikilla x , y ∈ X siten, että meillä on [1] . Tässä on kaavan määrittelemä gradientti ƒ $\mathbb {R} ^{n}$ $\nabla f(x)\cdot (yx)\geqslant 0$ $f(y)\geqslant f(x)$ $\nabla f$

\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1))},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right ).

Ominaisuudet

Mikä tahansa kupera funktio on näennäiskupera, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi funktio on näennäiskupera, mutta ei kupera. Mikä tahansa näennäiskupera funktio on näennäiskupera , mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa, koska funktio on näennäiskupera , mutta ei pseudokuperi. Pseudokuveruus kiinnostaa ensisijaisesti, koska piste x * on näennäiskuveran funktion ƒ paikallinen minimi, jos ja vain jos se on funktion ƒ stationäärinen piste , mikä tapahtuu , kun funktion ƒ gradientti katoaa x * : ${\displaystyle f(x)=x+x^{3))$ $f(x)=x^{3}$

\nabla f(x^{*})=0.

[1] .

Yleistykset erottelemattomiin funktioihin

Pseudokuperuuden käsite voidaan yleistää ei-differentioituviin funktioihin seuraavasti [2] . Kun funktio on annettu , voimme määritellä sen ylemmän Dini-derivaatan muodossa $f:X\to \mathbb {R}$

f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}}

missä u on mikä tahansa yksikkövektori . Funktiota sanotaan pseudokuperaksi, jos se kasvaa mihin tahansa suuntaan, jossa ylempi Dini-derivaata on positiivinen. Tarkemmin sanottuna sitä voidaan kuvata alidifferentiaalin avulla seuraavasti: $\partial f$

Kaikille , jos se on olemassa , jotain kaikille z :n x :n ja y :n yhdistävässä segmentissä . $x,y\in X$ $x^{*}\in \partial f(x)$ $\langle x^{*},yx\rangle \geqslant 0\,,$ $f(x)\leqslant f(z)$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Pseudokovera funktio on funktio, jonka negatiivinen on pseudokupera. Pseudolineaarinen funktio on funktio, joka on sekä pseudokupera että pseudokovera [3] . Esimerkiksi lineaarisen murto-osan ohjelmointiongelmissa on pseudolineaariset tavoitefunktiot ja lineaarisen epäyhtälön rajoitukset . Nämä ominaisuudet mahdollistavat murto-ohjelmointiongelmien ratkaisemisen simpleksimenetelmän muunnelmalla ( George B. Dantzig ) [4] [5] [6] .

Katso myös

Pseudokuperuus

Muistiinpanot

↑ 12 Mangasarian , 1965 .
↑ Floudas, Pardalos, 2001 .
↑ Rapcsak, 1991 .
↑ Craven, 1988 , s. 145.
↑ Kruk, Wolkowicz, 1999 , s. 795–805.
↑ Mathis, Mathis, 1995 , s. 230-234.

Kirjallisuus

Craven BD murto-ohjelmointi. - Berlin: Heldermann Verlag, 1988. - V. 4. - P. 145. - (Sigma-sarja sovelletussa matematiikan tutkimuksessa). — ISBN 3-88538-404-3 .
Serge Kruk, Henry Wolkowicz. Pseudolineaarinen ohjelmointi // SIAM Review . - 1999. - T. 41 . — S. 795–805 . - doi : 10.1137/S0036144598335259 . — .
Frank H. Mathis, Lenora Jane Mathis. Lineaarinen ohjelmointialgoritmi sairaalan hallintaan // SIAM Review . - 1995. - T. 37 , nro 2 . — S. 230–234 . - doi : 10.1137/1037046 . — .
Christodoulos A. Floudas, Panos M. Pardalos. Yleistetyt monotoniset moniarvoiset kartat // Encyclopedia of Optimization. - Springer, 2001. - s. 227. - ISBN 978-0-7923-6932-5 .
Rapcsak T. Pseudolineaarisista funktioista // European Journal of Operational Research. - 1991. - T. 50 , no. 3 . — S. 353–360 . — ISSN 0377-2217 . - doi : 10.1016/0377-2217(91)90267-Y .
Mangasarian OL pseudo-kuperat funktiot // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. - 1965. - tammikuu ( osa 3 , numero 2 ). — S. 281–290 . — ISSN 0363-0129 . - doi : 10.1137/0303020 .