Polku (topologia)

Matematiikassa polku topologisessa avaruudessa X on  jatkuva kartoitus f yksikkövälistä I = [0,1] X : ään .

Polun alkupiste  on f (0) ja loppupiste f (1). Puhumme usein "polusta x :stä y :ään ", missä x ja y  ovat polun alku- ja loppupisteet. Huomaa, että polku ei ole vain X :n osajoukko, joka "näyttää" käyrältä , vaan se sisältää myös parametrisoinnin . Esimerkiksi kuvaus f ( x ) = x ja g ( x ) = x 2 edustavat kahta eri polkua 0 - 1 reaaliviivalla.

Silmukka avaruudessa X kantapisteen x ∈ X kanssa  on polku x :stä x :ään . Silmukka voidaan määritellä myös kuvaukseksi f  : I → X , jossa f (0) = f (1) tai jatkuvana kuvauksena yksikköympyrästä S 1 X :ään.

Jälkimmäinen johtuu siitä, että S 1 voidaan katsoa I:n osamääräavaruudeksi , kun 0 identifioidaan 1:llä. X:n kaikkien silmukoiden joukko muodostaa avaruuden, jota kutsutaan avaruuden X silmukkaavaruudeksi [1] .

Topologista avaruutta, jossa on polku, joka yhdistää mitkä tahansa kaksi pistettä, kutsutaan polkuyhteydeksi . Mikä tahansa tila voidaan jakaa joukoksi lineaarisesti kytkettyjä komponentteja . Avaruuden X lineaarisesti kytkettyjen komponenttien joukkoa merkitään usein π 0 ( X );.

Voidaan myös määritellä polkuja ja silmukoita kärkiavaruuksiin , jotka ovat tärkeitä homotoopiateoriassa . Jos X on topologinen avaruus, jonka piste on x 0 , niin polku X :ssä  on polku, jonka aloituspiste on x 0 . Vastaavasti silmukka X :  ssä on silmukka kohdassa x 0 .

Polkuhomotoopia

Polut ja silmukat ovat keskeisiä tutkimuskohteita algebrallisen topologian alalla, jota kutsutaan homotoopiateoriaksi . Polkujen homotopia tekee täsmälleen käsityksen polun jatkuvasta muodonmuutoksesta säilyttäen samalla polun päät.

Erityisesti X :  n polkujen homotopia on polkuperhe ft  : I → X , jonka I indeksoi siten , että

• f t (0) = x 0 ja f t (1) = x 1 ovat kiinteitä.
• F ( s , t ) = f t ( s ) -kuvaus F  : I × I → X on jatkuva.

Polkujen f 0 ja f 1 sanotaan olevan homotooppisia (tai tarkemmin sanottuna lineaarisesti homotooppisia ), jos niitä yhdistää homotooppi. Samalla tavalla voidaan määritellä silmukan homotopia, joka säilyttää kantapisteen.

Homotoopiarelaatio on ekvivalenssirelaatio poluille topologisessa avaruudessa. Tämän suhteen polun f ekvivalenssiluokkaa kutsutaan f : n homotopialuokaksi , ja sitä merkitään usein [ f ].

Polkujen kokoonpano

Topologiseen avaruuteen on mahdollista muodostaa yhdistelmä polkuja ilmeisellä tavalla. Olkoon f  polku x :stä y :ään ja g  polku y :stä z :hen . Polku fg määritellään poluksi, joka saadaan ensin ohittamalla f ja sitten g :

On selvää, että polun koostumus määritellään vain, jos loppupiste f on sama kuin aloituspiste g . Jos tarkastellaan silmukoita pisteessä x 0 , niin polun koostumus on binääritoiminto .

Polun koostumus, jos se on määritelty, ei ole assosiatiivinen operaatio parametrisoinnin eron vuoksi. Se on kuitenkin assosiatiivista homotopiaan asti. Eli [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. Polun koostumus määrittelee ryhmän rakenteen homotooppisten silmukkaluokkien joukossa X :ssä kantapisteellä x 0 . Tuloksena olevaa ryhmää kutsutaan X : n perusryhmäksi, jossa on piste x 0 , ja sitä merkitään yleensä π 1 ( X , x 0 ).

Polku X :ssä voidaan määritellä välin [0, a ] jatkuvaksi kuvaukseksi X:ksi mille tahansa reaaliarvolle a ≥ 0. Tämän muodon polulla f on pituus | f | määritellään a . Reitin koostumus määritellään sitten kuten ennen seuraavalla muutoksella:

Kun edellisessä määritelmässä f , g ja fg pituus on 1, tämä määritelmä antaa | fg | = | f | + | g |. Aiemmassa määritelmässä assosiatiivisuuden rikkomiseen johti se, että vaikka ( fg ) h :lla ja f :llä ( gh ) oli sama pituus, nimittäin 1, ( fg ) h :n keskipiste päätyi g :n ja h :n väliin, kun taas f :n keskipiste ( gh ) tuli f :n ja g :n väliin . Muunnetussa määritelmässä ( fg ) h :lla ja f ( gh ):lla on sama pituus, nimittäin | f |+| g |+| h |, ja samat keskipisteet löytyvät (| f |+| g |+| h |)/2 sekä ( fg ) h että f ( gh ). Ja jopa niillä on sama parametrointi.

Fundamental groupoid

Mikä tahansa topologinen avaruus X synnyttää kategorian , jonka objektit ovat X :n pisteet ja jonka morfismit ovat polun homotopialuokkia. Koska mikä tahansa tämän kategorian morfismi on isomorfismi , tämä luokka on ryhmittymä , jota kutsutaan X : n perusryhmäoidiksi . Tämän luokan silmukat ovat endomorfismeja (ne ovat kaikki itse asiassa automorfismeja ). X : n pisteen x 0 automorfismiryhmä on yksinkertaisesti X  :n perusryhmä . Perusryhmäoidi voidaan määritellä mille tahansa X:n osajoukolle A käyttämällä A : n pisteitä yhdistävien polkujen homotopialuokkia .

Kirjallisuus

• Ronald Brown. Topologia ja ryhmäoidit. - Deganwy, Iso-Britannia, 2006. - ISBN 1-4196-2722-8 .

• Peter May. Lyhyt kurssi algebrallisesta topologiasta. - Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999. - ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

• James R. Munkres. topologia. -2ed. - NJ: Prentice Hall, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
• John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. - Princeton University Press, 1978. - T. 90. - (Matematiikan tutkimukset). — ISBN 9780691082066 .
• O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov. Elementaarinen topologia. - M. : MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .

1. ↑ Adams, 1978 , s. 3.