Resoluutio (homologinen algebra)

Liuotin on yksi tärkeimmistä homologisen algebran työkaluista , erityisesti sitä käytetään funktioiden Ext ja Tor laskemiseen .

Projektiivinen resoluutio

Kompleksi ( X , ε ) R - moduulin C yli on sekvenssi

$\cdots~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2} }{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0$ (*)

siten, että kahden peräkkäisen homomorfismin tulo on 0. Jos kaikki X :t ovat vapaita, kompleksia kutsutaan vapaiksi, ja jos kaikki ovat projektitiivisia , sitä kutsutaan projektiivisiksi. Jos sekvenssi (*) on tarkka , eli kaikki homologia H n ( X ) = ker d n /im d n +1 = 0 , jos n > 0 ja H 0 ( X ) = ker d 0 /im d 1 = X 0 / im d 1 = X 0 /ker ε on isomorfinen C :n suhteen (olettaen d 0 : X 0 → 0 ), jolloin tätä kompleksia kutsutaan R :n resolventiksi . Koska mikä tahansa moduuli C on vapaan moduulin osamäärä, mikä tahansa moduuli C voidaan sisällyttää johonkin vapaaseen (ja lisäksi projektiiviseen) resoluutioon.

Pienintä indeksiä k , jossa kaikki X n ovat nollia arvolla n > k , kutsutaan resolventin pituudeksi. Moduulin projektiivinen mitta on sen projektiivisen resoluution pienin pituus. Esimerkiksi projektiivinen moduuli on täsmälleen moduuli, jonka projektiiivinen ulottuvuus on 0.

Funktorit Ext n löydetään seuraavan lauseen mukaan: Jos C ja A ovat R - moduuleja ja ε : X → C on mikä tahansa C :n projektiivinen resoluutio , niin Ext n ( C , A ) on isomorfinen kohomologiaryhmän H n ( X , A ) = Hn (Hom R ( X , A ) ) . Funktorit Tor n löydetään seuraavan lauseen mukaan: Jos C ja A ovat R -moduuleja ja ε : X → C on mikä tahansa C :n projektiivinen resoluutio , niin Tor n ( C , A ) on isomorfinen homologiaryhmän H n ( X ⊗ RA ) . _

Injektioresoluutio

Kompleksi ( Y , ε ) R - moduulin A alla on sekvenssi:

$0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}} {\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1 }{\longrightarrow}~\cdots$ (**)

siten, että kahden peräkkäisen homomorfismin tulo on 0. Jos kaikki Y :t ovat injektiivinen , kompleksin sanotaan olevan injektiivinen. Jos sekvenssi (**) on tarkka, eli kaikki kohemologia H n ( Y ) = ker δ n +1 /im δ n = 0 , jos n > 0 ja H 0 ( Y ) = ker δ 1 /im δ 0 = ker δ 1 = im ε on isomorfinen A :n kanssa (olettaen δ 0 : 0 → Y 0 ), niin tätä kompleksia kutsutaan ydinresolventiksi (yleensä tässä tapauksessa "ko" jätetään pois ja puhutaan injektioresoluutiosta) . Koska mikä tahansa moduuli A on injektiivin alimoduuli ja niin edelleen, mikä tahansa moduuli A voidaan sisällyttää johonkin injektioresoluutioon.

Funktorit Ext n löydetään seuraavan lauseen mukaisesti: Jos C ja A ovat R - moduuleja ja ε : A → Y on mikä tahansa A :n injektiivinen resoluutio , niin Ext n ( C , A ) on isomorfinen kohomologiaryhmän H n ( Hom R ( C , Y ) ) .

Kirjallisuus

Cartan A. , Eilenberg S. Homologinen algebra. - M: IL, 1960
McLane S. Homology. - M: Mir, 1966