Functor Ext

Funktorit Ext ovat funktorin Hom johdettuja funktoreita . Ne ilmestyivät ensimmäisen kerran homologisessa algebrassa , jossa niillä on keskeinen rooli, kuten universaali kerroinlause , mutta nykyään niitä käytetään monilla eri matematiikan aloilla.

Tämä funktionaali esiintyy luonnollisesti moduulilaajennusten tutkimuksessa . Nimi tulee englannista. laajennus - laajennus.

Motivaatio: moduulilaajennukset

Laajennusten vastaavuus

Olkoon A Abelin luokka . Mitchellin upotuslauseen mukaan voidaan olettaa, että työskentelemme moduulikategorian kanssa. Objektin Z laajennus objektilla X on muodon lyhyt tarkka sekvenssi

0\-X\-Y\-Z\to 0

Kaksi laajennusta

0\-X\-Y\-Z\to 0

0\to X\to Y'\to Z\to 0

sanotaan olevan ekvivalentteja, jos on olemassa morfismi , joka tekee kaavion $g:Y\to Y'$

{\begin{matrix}0&\to &X&\&Y&\\&Z&\to &0\\&&\downarrow \operaattorinimi {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operaattorinimi {id} \\0&\to &X&\ &Y'&\\&Z&\to &0\loppuun{matrix}}

kommutatiivinen, missä on identiteettimorfismi. Käärmelemman mukaan g on isomorfismi. ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {id} }$

Laajennusluokka Z X : llä modulo tämä ekvivalenssirelaatio muodostaa joukon, joka merkitään ja jota kutsutaan laajennusluokkien Z joukoksi X :llä . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Ext} ^{1}(Z,X)}$

Baerin summa

Annettiin kaksi pidennystä

0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0

0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0

voidaan muodostaa Baer-summa ottamalla huomioon kuitutuotteen , $A$

\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.

Otamme huomioon tekijän

{\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\))

eli tekijöihin suhteutetaan . Laajennus ${\näyttötyyli (f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')}$

0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0

jossa ensimmäinen nuoli viittaa kohtaan ja toinen nuoli kohtaan , kutsutaan laajennusten E ja E' Baer-summaksi . $b$ $[(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ ${\näyttötyyli (e,e')}$ $g(e)=g'(e')$

Laajennusten ekvivalenssiin asti Baer-summa on kommutatiivinen ja triviaalilaajennus on neutraali elementti. Laajennuksen käänteisarvo 0 → B → E → A → 0 on sama laajennus, jossa yhden nuolen etumerkkiä on muutettu, esimerkiksi morfismi g muutetaan muotoon -g .

Siten laajennusjoukko ekvivalenssiin asti muodostaa Abelin ryhmän.

Määritelmä

Olkoon R rengas ja harkitse R -moduulien luokkaa R -Mod . Kiinnitetään luokan R -Mod objekti A ja merkitään T :llä funktori Hom

T(B)=\operaattorin nimi {Hom} _{R}(A,B)

Tämä funktionaali on jätetty tarkkaan . Sillä on oikeasta johdetuista funktioista. Ulkofunktiot määritellään seuraavasti:

\operaattorin nimi {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)

Erityisesti ,. $\operaattorinnimi {Ext} ^{0}=\operaattorin nimi {Hom}$

Kaksinkertaisesti voidaan käyttää kontravarianttia Hom-funktiota ja määritellä . Tällä tavalla määritellyt funktionaaliset Ext ovat isomorfisia. Ne voidaan laskea käyttämällä injektioresoluutiota B tai projektiiivista resoluutiota A , vastaavasti. $G(A)=\operaattorin nimi {Hom} _{R}(A,B)$ $\operaattorin nimi {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)$

Ominaisuudet

Alanumerominä
R( A , B ) = 0 arvolle i > 0, jos B on injektiivinen tai A on projektiivinen.
Päinvastoin on myös totta: jos alanumero1
R( A , B ) = 0 kaikille A :ille, sitten Ulkminä
R( A , B ) = 0 kaikille A ja B on injektiivinen; jos alanumero1
R( A , B ) = 0 kaikille B :lle , sitten Ulkminä
R( A , B ) = 0 kaikille B :lle ja A on projektiivinen.
$\operaattorin nimi {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B{\Bigr )}\cong \prod _{\alpha }\ operaattorin nimi {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)$
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}A,\prod _{\beta }B_{\beta }{\Bigr )}\cong \prod _{\beta }\ operaattorin nimi {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })$
$\operaattorin nimi {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(A,B)=0$ n ≥ 2 Abelin ryhmille A ja B .
$\operaattorin nimi {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /p,B)=B/pB$ Abelin ryhmälle B . Tätä voidaan käyttää minkä tahansa äärellisesti generoidun Abelin ryhmän A laskemiseen . $\operaattorin nimi {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$
Olkoon A äärellisesti generoitu moduuli kommutatiivisen Noether-renkaan R yli . Sitten mille tahansa multiplikatiivisesti suljetulle osajoukolle S , mikä tahansa moduuli B ja mikä tahansa n , . $S^{-1}\operaattorinimi {Ext} _{R}^{n}(A,B)\cong \operaattorinimi {Ext} _{S^{-1}R}^{n}(S ^{-1}A,S^{-1}B)$
Jos R on kommutatiivinen ja Noetherian ja A on äärellisesti generoitu R -moduuli, niin seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja mille tahansa moduulille B ja mille tahansa n :lle:
- $\operaattorin nimi {Ext} _{R}^{n}(A,B)=0.$
- Jokaiselle R -renkaan ihanteelle , . $\mathfrak{p}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {p}}}^{n}(A_{\mathfrak {p}},B_{\mathfrak {p}})=0$
- Jokaiselle renkaan R maksimiideaalille , . $\mathfrak{m}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {m}}}^{n}(A_{\mathfrak {m}},B_{\mathfrak {m}})=0$

Kirjallisuus

McLane S. Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Weibel, Charles A. Johdatus homologiseen algebraan. - Cambridge University Press , 1994. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38). - ISBN 978-0-521-55987-4 .