Algebra renkaan päällä

Algebra renkaan päällä on algebrallinen järjestelmä , joka on sekä moduuli tämän renkaan päällä että itse renkaassa, ja nämä kaksi rakennetta ovat yhteydessä toisiinsa. Käsite algebra renkaan päällä on yleistys käsitteestä algebra yli kentän , aivan kuten käsite moduuli yleistää käsitteen vektoriavaruudesta .

Määritelmät

Antaa olla mielivaltainen kommutoiva rengas identiteetillä. Moduulia renkaan päällä, jossa tietylle bilineaariselle kuvaukselle (bilineaarinen ei kentän, vaan renkaan yli ) tulo määritellään yhtälön mukaan , kutsutaan algebraksi yli tai -algebraksi . $K$ $A$ $K$ $K$ $f\colon A\times A\rightarrow A$ $ab=f(a,b)$ $K$ $K$

Määritelmän mukaan kaikille ja suhteet ovat voimassa: $k,\;l\in K$ $a,\;b,\;c\in A$

$a(b+c)=ab+ac$
$(a+b)c=ac+bc$
$(k+l)a=ka+la$
$k(a+b)=ka+kb$
$k(la)=(kl)a$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)$
$1a=a$ , missä on renkaan yksikkö $yksi$ $K$

Mitä tulee yhteen- ja kertolaskuoperaatioihin, algebra on rengas.

Sillä , kommutaattori määritellään yhtäläisyydellä . -algebraa kutsutaan kommutatiiviseksi jos . $a$ $b\in A$ $[a,b]=ab-ba$ $K$ $[a,b]=0$

Sillä liiton määrittelee tasa-arvo . -algebraa kutsutaan assosiatiiviseksi jos . $a,b,c\in A$ $(a,b,c)=(ab)ca(bc)$ $K$ $(a,b,c)=0$

Jos on sellainen elementti , että kaikille , niin sitä kutsutaan algebran yksiköksi ja itse algebraa kutsutaan algebraksi , jolla on yksikkö . $e\in A$ $ea=ae=a$ $a\in A$ $e$ $A$

Joskus algebra määritellään myös ei-kommutatiivisten renkaiden päälle; tässä tapauksessa ehdon sijaan vaaditaan heikompi ehto: . $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ $k(ab)=(ka)b$

Mitä tahansa rengasta voidaan pitää algebrana kokonaislukujen renkaan yläpuolella , jos ymmärrämme tulon (missä on kokonaisluku) yleensä, eli kopioiden summana . Siksi renkaita voidaan pitää algebroiden erikoistapauksena. $na$ $n$ $n$ $a$

Jos valitsemme bilineaarisen kuvauksen sijaan multilineaarisen kuvauksen ja määritämme tulon säännön mukaan: , niin tuloksena olevaa algebrallista rakennetta kutsutaan -algebraksi. $f$ $g:A^{n}\rightarrow A$ $a_{1}\pisteet a_{n}=g(a_{1},\pisteet ,a_{n})$ $n$

Ilmainen algebra

Jos kommutatiivisen renkaan yli oleva algebra on vapaa moduuli , niin sitä kutsutaan vapaaksi algebraksi ja sillä on kanta yli renkaan . Jos algebralla on äärellinen kanta, niin algebran sanotaan olevan äärellisulotteinen. $A$ $K$ $K$ $A$ $A$

Jos on kenttä , niin määritelmän mukaan -algebra on vektoriavaruus yli ja siksi sillä on perusta . $K$ $K$ $K$

Äärillisulotteisen algebran perusta on yleensä merkitty . Jos algebrassa on yksikkö , niin yleensä yksikkö sisältyy kantaan ja sen oletetaan olevan . Jos algebralla on äärellinen kanta, niin algebran tulo voidaan helposti palauttaa kertotaulujen perusteella: $e_{1},\pisteet ,e_{n}$ $e$ $e_{0}=e$

e_{i}e_{j}=C_{{ij}}^{k}e_{k}

Nimittäin, jos , , niin tuote voidaan esittää seuraavasti: $a=a^{k}e_{k}$ $b=b^{k}e_{k}$

ab=C_{{ij}}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

Suureita kutsutaan algebran rakennevakioksi . $C_{{ij}}^{k}\in K$ $A$

Jos algebra on kommutatiivinen, niin:

C_{{ij}}^{k}=C_{{ji}}^{k}

Jos algebra on assosiatiivinen, niin:

C_{{ij}}^{k}C_{{ml}}^{j}=C_{{im}}^{j}C_{{jl}}^{k}

Ominaisuudet

Polynomien algebrasta (riittävän suuressa määrässä muuttujia) kentän yli homomorfisena kuvana voidaan saada mikä tahansa assosiatiivis-kommutatiivinen algebra yli . $K$ $K$

Kartoitusalgebra

On mahdollista tarkastella kommutatiivisen renkaan ylittävää algebraa kommutatiivisen renkaan moduulina . Mappauksen kommutatiivisen renkaan algebrasta renkaan yli olevaan algebraan sanotaan olevan lineaarinen, jos: $A$ $K$ $A$ $K$ $f:A\nuoli oikealle B$ $A$ $K$ $B$ $K$

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(ka)=kf(a)

mille tahansa , , . Lineaaristen kuvausten joukko algebrasta algebraan on merkitty symbolilla . $a$ $b\in A$ $k\in K$ $A$ $B$ ${\mathcal L}(A;B)$

Algebran lineaarista kartoitusta algebraan kutsutaan homomorfismiksi jos jollekin , ja myös ehto täyttyy: jos algebroilla ja on yksikkö, niin: $f:A\nuoli oikealle B$ $A$ $B$ $f(ab)=f(a)f(b)$ $a,b\in A$ $A$ $B$

f(e_{A})=e_{B}

Algebran homomorfismien joukko algebraksi on merkitty symbolilla . $A$ $B$ $H(A;B)$

On selvää, että . $H(A;B)\subseteq {\mathcal L}(A;B)$

Esimerkkejä

Yleistä:

neliömatriisialgebrat _
polynomialgebrat _
Formaalisten potenssisarjojen algebra

Algebrat reaalilukujen kentässä :

Kirjallisuus

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . III luku. Renkaat ja moduulit // Yleinen algebra / Ed. toim. L. A. Skornyakova . - M .: Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 30 000 kappaletta. — ISBN 5-02-014426-6 .

Algebra renkaan päällä
Mitat - Teho 2	Kompleksiluvut (koko 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (koko 4) $\mathbb {H}$ Cayley Numbers/Octonions/Octaves (koko 8) $\mathbb O$ Sedenions (koko 16) $\mathbb S$
Katso myös	Frobenius-lause Hyperkompleksiluku Algebra Runko kuvitteellinen yksikkö