Kolmen kuution summa

Kolmen kuution summa on matematiikan avoin ongelma kokonaisluvun edustavuudesta kolmen (positiivisen tai negatiivisen) kokonaisluvun kuution summana .

Vastaava diofantiiniyhtälö kirjoitetaan välttämättömäksi edellytykseksi luvun esittämiselle kolmen kuution summana: 9:llä jaettuna se ei jätä jäännöstä 4 tai 5. $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.$ $n$ $n$

Tehtävän muunnelmissa luku on esitettävä vain ei-negatiivisten tai rationaalisten lukujen kuutioiden summana. Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää rationaalisten kuutioiden summana, mutta ei tiedetä, muodostavatko ei-negatiivisten kuutioiden summat joukon, jonka asymptoottinen tiheys ei ole nolla .

Historia

Kysymys mielivaltaisen kokonaisluvun esittämisestä kolmen kuution summana on ollut olemassa noin 200 vuotta, ensimmäisen tunnetun parametrisen ratkaisun rationaalisissa luvuissa antoi S. Riley vuonna 1825. Parametriset ratkaisut kokonaislukuina ovat löytäneet - vuonna 1908 A. S. Verebryusov [1] (matematiikan opettaja Feodosijan mieslukiossa , S. I. Verebryusovin poika ), vuonna 1936 Mahler [2] . $n = 2$ $n = 1$

Päätökset

Välttämätön ehto luvun esittämiselle kolmen kuution summana: 9:llä jaettuna se ei anna jäännöstä 4 tai 5; koska minkä tahansa kokonaisluvun kuutio jaettuna 9:llä antaa jäännöksen 0, 1 tai 8, niin kolmen kuution summa jaettuna 9:llä ei voi antaa jäännöstä 4 tai 5 [3] . Ei tiedetä, onko tämä ehto riittävä. $n$ $n$

Vuonna 1992 Roger Heath-Brown ehdotti, että jokaisella , joka ei anna jäännöstä 4 tai 5, kun se jaetaan 9:llä, on äärettömän monta esitystä kolmen kuution summana [4] . $n$

Ei kuitenkaan tiedetä, onko lukujen esittäminen kolmen kuution summana algoritmisesti päätettävissä, eli pystyykö algoritmi tarkistamaan ratkaisun olemassaolon mille tahansa luvulle rajallisessa ajassa. Jos Heath-Brownin hypoteesi pitää paikkansa, ongelma on ratkaistavissa ja algoritmi voi ratkaista ongelman oikein. Heath-Brownin tutkimuksessa on myös tarkempia arvauksia siitä, kuinka kauas algoritmin on etsittävä löytääkseen eksplisiittisen esityksen, sen sijaan, että määrittäisivät sen olemassaolon [4] .

Tapausta , jonka esittämistä kuutioiden summana ei tiedetty pitkään aikaan, Bjorn Punen käyttää johdanto-esimerkkinä lukuteorian ratkaisemattomien ongelmien tutkimuksessa , josta Hilbertin kymmenes ongelma on tunnetuin esimerkki [5] . $n=33$

Pienet numerot

Sillä on olemassa vain triviaaleja ratkaisuja $n = 0$

a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.

Ei- triviaali 0:n esitys kolmen kuution summana antaisi vastaesimerkin Fermatin viimeiselle lauseelle asteelle 3 [6] , jonka Leonhard Euler todisti : koska yhdellä kolmesta kuutiosta on päinvastainen etumerkki kahdelle muulle luvulle, sen negaatio on yhtä suuri kuin näiden kahden summa.

Sillä ja ratkaisuperheitä on ääretön määrä, esimerkiksi (1 - Mahler, 1936, 2 - Verebryusov, 1908): $n = 1$ $n = 2$

(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,

(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.

1:lle on olemassa muita esityksiä ja muita parametroituja esitysperheitä [7] . Kaksi muuta tunnettua esitystä ovat [7] [8]

1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,

37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,

373\ 783\ 0626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.

Näitä yhtäläisyyksiä voidaan käyttää minkä tahansa kuution tai tuplaantuneen kuution jakamiseen kolmen kuution summaksi [1] [9] .

Kuitenkin 1 ja 2 ovat ainoita lukuja, joilla on esitykset, jotka voidaan parametroida neljännen asteen polynomeilla [10] . Louis J. Mordell kirjoitti jopa edustajien tapauksessa vuonna 1953: "En tiedä mitään" muuta kuin pieniä päätöksiä $n = 3$

4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,

1^{3}+1^{3}+1^{3}=3,

ja myös, että kaikkien kolmen kuution on oltava yhtä suuria kuin 1 modulo 9 [11] [12] . Syyskuun 17. päivänä 2019 Andrew Booker ja Andrew Sutherland, jotka löysivät edustuksen vaikeisiin tapauksiin 33 ja 42 (katso alla), julkaisivat toisen esityksen 3, jonka löytäminen Charity Engine -verkostosta kesti 4 miljoonaa tuntia [13] [14] :

569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\4\ 715) 453\ 327\ 032)^{3}=3,

Muut numerot

Vuodesta 1955 lähtien Mordellin jälkeen monet tutkijat ovat etsineet ratkaisuja tietokoneella [15] [16] [8] [17] [18] [19] [20] [2] [21] [22] .

Vuonna 1954 Miller ja Woollett löytävät esitykset 69 numerolle 1-100. Vuonna 1963 Gardiner, Lazarus, Stein tutkivat väliä 1 - 999, he löytävät esityksiä monille numeroille, paitsi 70 numerolle, joista 8 arvoa Vuonna 1992 Heath-Brown ym. löysivät ratkaisun numeroon 39. Vuonna 1994 Koyama löytää nykyaikaisten tietokoneiden avulla ratkaisut 16 muulle numerolle välillä 100 - 1000. Vuonna 1994 Conn ja Waserstein - 84 ja 960. Vuonna 1995 Bremner - 75 ja 600, Lux - 110, 435, 478. Vuonna 1997 Koyama ym. - 5 uutta numeroa 100:sta 1000:een. Vuonna 1999 Elkis - 30 ja 10 uutta numeroa 10000:een Vuonna 2007 Beck et ai. - 52, 195, 588 [2] . Vuonna 2016 Huisman - 74, 606, 830, 966 [22] .

Elsenhans ja Jahnel vuonna 2009 [21] käyttivät Elkis-menetelmää [20] , joka käyttää hilakantapelkistystä löytääkseen kaikki Diofantiiniyhtälön ratkaisut positiivisille korkeintaan 1000 ja [21] , sitten Huisman vuonna 2016 [22] laajensi hae kohteeseen . $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ $n$ ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{14))$ ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{15))$

Keväällä 2019 Andrew Booker (University of Bristol) kehitti erilaisen hakustrategian, jossa laskenta-aika oli pikemminkin verrannollinen kuin niiden maksimi, ja löysi esityksen 33 ja 795 [23] [24] [25] : ${\displaystyle \min {\big (}|x|,|y|,|z|{\iso )))$

33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3},

795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\3 923^{3}.

Syyskuussa 2019 Booker ja Andrew Sutherland sulkivat intervallin 100:aan löytämällä 42:n esityksen, jota varten Charity Enginessä käytettiin 1,3 miljoonaa tuntia laskelmia [26] :

42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\3 631^{3}.

Myöhemmin, samassa kuussa, he löysivät luvun 906 hajautuksen [27] :

906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\35 503^{3}.

Ja sitten 165 [28] :

165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^{3}+383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^{3}+98\ 422\ 560\6 42 814^{3}.

Vuodelle 2019 löydettiin esitykset kaikista numeroista 100 asti, jotka eivät ole yhtä suuria kuin 4 tai 5 modulo 9. Esitykset 7 numerolle 100 - 1000 jäävät tuntemattomiksi: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975 [26] .

Pienin ratkaisematon tapaus on [26] . $n=114$

Vaihtoehdot

Ongelmasta on muunnelma, jossa luku on esitettävä kolmen ei-negatiivisten kokonaislukujen kuution summana, tämä ongelma liittyy Waringin ongelmaan . 1800-luvulla Carl Gustav Jacob Jacobi ja hänen kollegansa laativat taulukoita ratkaisuista tähän ongelmaan [29] . Oletetaan, mutta ei todistettu, että edustavilla luvuilla on positiivinen asymptoottinen tiheys [30] [31] , vaikka Trevor Wooley on osoittanut, että on mahdollista esittää numeroita välillä [32] [33] [34] tällä tavalla . Tiheys enintään [3] . $\Omega (n^{0{,}917})$ $yksi$ $n$ $\Gamma (4/3)^{3}/6\noin 0{,}119$

Toinen vaihtoehto on rationaaliset luvut. Tiedetään, että mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää kolmen rationaalisten lukujen kuution summana [35] [36] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 A. S. Verebryusov (1908), Yhtälöstä x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3 , Matemaattinen kokoelma T. 26 (4): 622–624 , < http://mi.mathnet.ru /msb6615 >
↑ 1 2 3 Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne & Yarbrough Jensen, Kim (2007), Uudet kokonaislukuesitykset kolmen kuution summana , Mathematics of Computation osa 76 (259): 1683–1690 , DOI 10.1090/S0025-5718-07-319
↑ 1 2 Davenport, H. (1939), Waringin ongelma kuutioille , Acta Mathematica T. 71: 123–143 , DOI 10.1007/BF02547752
↑ 1 2 Heath-Brown, DR (1992), Niiden muotojen nollien tiheys, joille heikko approksimaatio epäonnistuu , Mathematics of Computation osa 59 (200): 613–623 , DOI 10.2307/2153078
↑ Poonen, Bjorn (2008), Undecidability in number theory , Notices of the American Mathematical Society , vol. 55 (3): 344–350 , < https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf >
↑ Machis, Yu. Yu. (2007), Eulerin hypoteettisesta todisteesta , Mathematical Notes , osa 82 (3): 352–356 , DOI 10.1134/S0001434607090088
↑ 1 2 Avagyan, Armen & Dallakyan, Gurgen (2018), Uusi menetelmä kolmen kuution ongelmassa , DOI 10.13189/ujcmj.2017.050301
↑ 1 2 Heath-Brown, D. R. ; Lioen, WM & te Riele, HJJ (1993), Diofantiiniyhtälön ratkaisemisesta vektoritietokoneella $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ , Mathematics of Computation osa 61 (203): 235–244, doi : 10.2307/2152950 , < https://ir.cwi .nl/pub/5502 >
↑ Mahler, Kurt (1936), Note on hypothesis K of Hardy and Littlewood , Journal of the London Mathematical Society , osa 11(2): 136–138 , DOI 10.1112/jlms/s1-11.2.136
↑ Mordell, LJ (1942), Kolmen kuution summista , Journal of the London Mathematical Society , toinen sarja, osa 17 (3): 139–144, DOI 10.1112/jlms/s1-17.3.139
↑ Mordell, LJ (1953), Yhtälön kokonaislukuratkaisuista $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n$ , Journal of the London Mathematical Society , Second Series, osa 28: 500–510 , DOI 10.1112/jlms/s1-28.4.500
↑ Lukujen, joiden kuutioiden summa on 3, yhtäläisyysmodi 9, Mordell (1953) hyvitti JWS Casselsille , mutta sen todiste julkaistiin vasta Cassels, JWS (1985), A Note on the Diophantine Equation , Mathematics of Computation Vol . 44 (169): 265–266 , DOI 10.2307/2007811 . $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$
↑ Lu, Donna Matemaatikot löytävät täysin uuden tavan kirjoittaa numero 3 . New Scientist (18.9.2019). Haettu: 11.10.2019. (määrätön)
↑ markmcan. Järjettömän suuri summa kolmesta kuutiosta kolmelle löydettiin – 66 vuoden etsinnän jälkeen . [twiitti] . Twitter (17.9.2019 ) (määrätön)
↑ Miller, JCP & Woollett, MFC (1955), Diofantiiniyhtälön ratkaisut $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ , Journal of the London Mathematical Society , Second Series, osa 30: 101–110 , DOI 10.1112/jlms/s1-30.1.101
↑ Gardiner, VL; Lazarus, R. B. & Stein, P. R. (1964), Diofantiiniyhtälön ratkaisut $x^{3}+y^{3}=z^{3}-d$ , Mathematics of Computation osa 18 (87): 408–413 , DOI 10.2307/2003763
↑ Conn, W. & Vaserstein, LN (1994), Kolmen kiinteän kuution summista , Rademacherin perintö matematiikassa (University Park, PA, 1992) , voi. 166, Contemporary Mathematics, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 285–294 , DOI 10.1090/conm/166/01628
↑ Bremner, Andrew (1995), Kolmen kuution summista, Lukuteoria (Halifax, NS, 1994) , voi. 15, CMS Conference Proceedings, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 87–91
↑ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio & Sekigawa, Hiroshi (1997), Diofantiiniyhtälön ratkaisujen etsimisestä $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ , Mathematics of Computation osa 66 (218): 841–851 , DOI 10.1090/S0025-5718-97-208300
↑ 1 2 Elkies, Noam D. (2000), Rationaaliset pisteet lähellä käyriä ja pienet nollasta poikkeavat hilavähennys $|x^{3}-y^{2}|$ , Algoritminen lukuteoria (Leiden, 2000) , voi. 1838, Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin, s. 33–63 , DOI 10.1007/10722028_2
↑ 1 2 3 Elsenhans, Andreas-Stephan & Jahnel, Jörg (2009), Kolmen kuution uudet summat , Mathematics of Computation vol .
↑ 1 2 3 Huisman, Sander G. (2016), Kolmen kuution uudemmat summat
↑ Kalai, Gil (9. maaliskuuta 2019), Combinatorics ja paljon muuta , >
↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , University of Bristol , < https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf >
↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , Research in Number Theory , voi. 5:26, Springer , DOI 10.1007/s40993-019-0162-1
↑ 1 2 3 Houston, Robin 42 on vastaus kysymykseen 'mikä on (-80538738812075974) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 ? . Aikakauslehti ( 6.9.2019 ). Käyttöönottopäivä: 4.1.2021. (määrätön)
↑ Andrew V. Sutherlandin henkilökohtainen verkkosivu . Haettu: 20.9.2019. (määrätön)
↑ Andrew V. Sutherlandin henkilökohtainen verkkosivu . Haettu: 30.9.2019. (määrätön)
↑ Dickson, Leonard Eugene (1920), Historia of the Theory of Numbers, Voi. II: Diophantine Analysis , Carnegie Institution of Washington, s. 717 , < https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716 >
↑ Balog, Antal & Brüdern, Jörg (1995), Kolmen kuution summat kolmessa linkitetyssä kolmivaiheessa , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 1995 (466): 45–85 , DOI 10.1515/crll.66945.46945.
↑ Deshouillers, Jean-Marc ; Hennecart, François & Landreau, Bernard (2006), Kolmen kuution summien tiheydestä , Hess, Florian; Pauli, Sebastian & Pohst, Michael, Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berliini, Saksa, 23.-28.7.2006, Proceedings , voi. 4076, Lecture Notes in Computer Science, Berlin: Springer, s. 141–155 , DOI 10.1007/11792086_11
↑ Wooley, Trevor D. (1995), Klassisen konveksisuuden rikkominen Waringin ongelmassa: kuutioiden summat ja kvasi-diagonaalinen käyttäytyminen , Inventiones Mathematicae T. 122 (3): 421–451 , DOI 10.1007/BF0121
↑ Wooley, Trevor D. (2000), Kolmen kuution summat , Mathematika T. 47 (1–2): 53–61 (2002) , DOI 10.1112/S0025579300015710
↑ Wooley, Trevor D. (2015), Kolmen kuution summat, II , Acta Arithmetica osa 170 (1): 73–100 , DOI 10.4064/aa170-1-6
↑ Richmond, H.W. (1923), Waringin rationaalilukujen ongelman analogeista , Proceedings of the London Mathematical Society , Second Series, osa 21: 401–409, DOI 10.1112/plms/s2-21.1.401
↑ Davenport, H. & Landau, E. (1969), Positiivisten kokonaislukujen esittämisestä kolmen positiivisten rationaalilukujen kuution summina, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau) , New York: Plenum, s. 49–53

Linkit

n = x 3 + y 3 + z 3 ratkaisut 0 ≤ n ≤ 99 , Hisanori Mishima
Threecubes , Daniel J. Bernstein
Kolmen kuution summat , Mathpages
The Uncracked Problem with 33 , Timothy Browning on Numberphile
42 on uusi 33 , Andrew Booker Numberphilessä