Superadditiivisuus

Matematiikassa sekvenssiä { a n }, n ≥ 1, kutsutaan superadditiiviseksi , jos se täyttää epäyhtälön

{\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m))

mille tahansa m :lle ja n :lle . Pääsyy superadditiivisten sekvenssien käyttöön seuraa seuraavasta Michael Feketen [1] lemmasta .

Lemma: (Fekete) Jokaiselle superadditiiviselle sekvenssille { a n }, n ≥1 on olemassa raja lim a n / n ja se on yhtä suuri kuin sup a n / n . (Raja voi olla positiivinen ääretön esimerkiksi sekvenssille a n =log n !).

Vastaavasti funktio f on superadditiivinen jos

f(x+y)\geq f(x)+f(y)

mille tahansa x :lle ja y : lle f :n alueelta .

Esimerkiksi on superadditiivinen funktio ei-negatiivisille reaaliluvuille, koska neliö on aina suurempi tai yhtä suuri kuin neliöiden summa ja kaikille ei-negatiivisille reaaliluvuille ja . $f(x)=x^{2}$ $x+y$ $x$ $y$ $x$ $y$

Feketen lemman analogi pätee myös subditiivisille funktioille. Feketen lemmassa on laajennuksia, jotka eivät vaadi superadditiivisuuden määritelmää pysyäkseen kaikissa m :n ja n :n kohdalla . On myös tuloksia, joiden avulla voidaan johtaa konvergenssin nopeus rajaan, jonka olemassaolo on todettu Feketen lemassa, jos siinä on superadditiivisuutta tai subadditiivisuutta. Hyvä keskustelu tästä aiheesta löytyy julkaisusta Steele (1997) [2] [3] .

Termiä "superadditiivi" käytetään myös logiikan algebran funktioihin , joissa . $P(X\tai Y)\geq P(X)+P(Y)$

Jos f on superadditiivinen funktio ja 0 on sen alueella, niin f (0) ≤ 0. Varmista tämä ottamalla epäyhtälö: . Näin ollen $f(x)\leq f(x+y)-f(y)$ $f(0)\leq f(0+y)-f(y)=0.$

Esimerkkejä superadditiivisista funktioista

Determinantti on superadditiivinen ei-negatiiviselle Hermitian matriisille , eli jos ovat ei-negatiivisia hermiittisiä matriiseja, niin . Tämä seuraa determinanttilauseesta $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ $\det(A+B)\geq \det(A)+\det(B)$ [ Selvennä ] Minkowski , joka yleensä väittää, että se on superadditiivinen (eli kovera ) [4] ei-negatiivisille hermiittisille matriiseille, joiden koko on n : Jos ovat ei-negatiivisia hermiittisiä matriiseja, niin . ${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n))$ $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n))$

keskinäistä tietoa
Horst Alzer osoitti [5] , että Hadamardin gammafunktio H ( x ) on superadditiivinen kaikille reaaliluvuille x , y , kun x , y ≥ 1,5031.

Katso myös

Choquet integraali
puoliadditiivisuus

Muistiinpanot

↑ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228-249. DOI : 10.1007/BF01504345 .
↑ Todennäköisyysteoria ja kombinatorinen optimointi . - ISBN 0-89871-380-3 .
↑ CBMS-luennot todennäköisyysteoriasta ja kombinatorisesta optimoinnista .
↑ M. Marcus, H. Minc (1992). Tutkimus matriisiteoriasta ja matriisiepäyhtälöistä . Dover. Lause 4.1.8, sivu 115.
↑ Horst Alzer. Hadamardin gammafunktion superadditiivinen ominaisuus. - Springer, 2009. - doi : 10.1007/s12188-008-0009-5 .

Linkit

György Polya ja Gábor Szego. Analyysin ongelmat ja lauseet, osa 1. - Springer-Verlag, New York, 1976. - ISBN 0-387-05672-6 .
Tämä artikkeli sisältää tekstiä PlanetMathista , joka on julkaistu Creative Commons Attribution/Share-Alike -lisenssillä .