Riemannin-Rochin lause pinnoille

Riemannin–Rochin teoreema pinnoille kuvaa lineaaristen järjestelmien ulottuvuutta algebrallisella pinnalla . Klassisessa muodossa lauseen muotoili ensimmäisenä Castelnuovo [1] Max Noetherin [2] ja Enriquesin [3] alustavien versioiden jälkeen . Lyhteiden versio johtuu Hirzebruchista.

Lauseen lause

Eräs Riemann-Rochin lauseen muoto sanoo, että jos D on ei-singulaarisen projektiivipinnan jakaja, niin

\chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,

missä χ on holomorfinen Euler-ominaisuus , pistesymboli on pisteen leikkausindeksi ja K on kanoninen jakaja. Vakio χ(0) on triviaalinipun holomorfinen Euler-ominaisuus ja on yhtä suuri kuin 1 + p a , missä p a on pinnan aritmeettinen suku Vertailun vuoksi käyrän Riemannin-Rochin lauseessa sanotaan, että . ${\näyttötyyli \chi (D)=\chi (0)+deg(D)}$

Noetherin kaava

Ei kummankaan kaava väitä sitä

\chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}

missä χ=χ(0) on holomorfinen Eulerin ominaisuus, on Chernin luku ja kanonisen luokan K itseleikkausten lukumäärä ja topologinen Euler-ominaisuus. Kaavaa voidaan käyttää korvaamaan termi χ(0) Riemannin-Rochin lauseessa topologisesti. Tämä antaa Hirzebruch-Riemann-Rochin lauseen pinnoille. $c_{1}^{2}=(KK)$ $e=c_{2}$

Yhteys Hirzebruch-Riemann-Roch-lauseeseen

Pinnoille Hirzebruch-Riemann-Roch-lause on pohjimmiltaan Riemann-Roch-lause pinnoille yhdistettynä Noetherin kaavoihin. Tämän näkemiseksi muista, että jokaiselle pinnalla olevalle jakajalle D on olemassa käännettävä nippu L = O( D ) siten, että jakajan D lineaarinen järjestelmä on enemmän tai vähemmän L :n osien tila . Pinnoille Todd-luokka on , ja lyhteen L Chern-merkki on yksinkertaisesti . Siten Hirzebruch-Riemann-Roch-lause sanoo sen $1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12$ $1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2$

{\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(P)\\&={\frac { 1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1 }{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}

Onneksi kaava voidaan kirjoittaa selvempään muotoon seuraavasti. Ensinnäkin, asettamalla D = 0, saamme sen

\chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\oikea)

(Ei kummankaan kaava)

Käännettävien pyöreiden (linjanippujen) toinen Chern-luokka on nolla. Toisen kohomologialuokan tulot voidaan tunnistaa Picard-ryhmän leikkausnumeroilla ja saadaan klassisempi versio Riemannin-Rochin lauseesta pinnoille:

\chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2))(DD-DK)

Haluttaessa voimme käyttää Serren kaksinaisuutta ilmaisemaan muotoa , mutta toisin kuin käyrien tapauksessa, termiä ei yleensä ole helppo kirjoittaa muotoon, jossa ei käytetä nippukohomologiaa (vaikka käytännössä se usein katoaa) . $h^{2}(\mathrm {O} (D))$ $h^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $h^{1}(\mathrm {O} (D))$

Varhaiset versiot

Pintoja koskevan Riemannin-Rochin lauseen varhaisimmat muodot muotoiltiin usein pikemminkin epäyhtälöiksi kuin yhtälöiksi, koska ensimmäisistä kohemologiaryhmistä ei ollut suoraa geometrista kuvausta. Tyypillisen esimerkin formulaatiosta antoi Zariski [4] , jossa todetaan

r\geqslant n-\pi +p_{a}+1-i

missä

r on koko lineaarisen järjestelmän mitta | D | jakaja D (niin ) $r=h^{0}(\mathrm {O} (D))-1$
n on jakajan D virtuaalinen aste itseleikkausten lukumäärällä ( D . D )
π on jakajan D virtuaalinen suku , yhtä kuin 1 + (DD + KD)/2
p a — pinnan aritmeettinen suku $\chi (\mathrm {O} _{F})-1$
i on jakajan D spesifisyysindeksi , on yhtä suuri (joka Serran kaksinaisuuden mukaan on yhtä suuri kuin ). $dimH^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $dimH^{2}(\mathrm {O} (D))$

Tämän epäyhtälön kahden osan eroa kutsutaan jakajan D redundanssiksi s . Vertaamalla tätä epäyhtälöä Riemannin-Rochin lauseen kiertoradalla olevaan versioon osoittaa, että jakajan D redundanssi saadaan yhtälöstä . Jakajaa D kutsuttiin säännölliseksi if (tai toisin sanoen, jos kaikki korkean kohemologian ryhmät O( D ) katoavat) ja redundantiksi jos . $s=dimH^{1}(\mathrm {O} (D))$ $i=s=0$ $s>0$

Muistiinpanot

↑ Castelnuovo, 1896 .
↑ Noether, 1875 .
↑ Enriques (1894)
↑ Zariski, 1995 , s. 78.

Kirjallisuus

Friedrich Hirzebruch. Topologiset menetelmät algebrallisessa geometriassa. - Springer, 1978. - ISBN 3-540-03525-7 . - ISBN 0-387-03525-7 . — ISBN 3-540-58663-6 .
Oscar Zariski . Algebralliset pinnat. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Matematiikan klassikot). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
Castelnuovo G. Sulle superficie di genere zero // Mem. soc. Se delle Scienze. - 1896. - Vol. 3 , no. 10 .
Max Noether. Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde // Math. Ann .. - 1875. - T. 8 , no. 4 . — S. 495–533 . - doi : 10.1007/BF02106598 .