Feit-Thompsonin lause

Feit-Thompsonin lause tai parittoman kertaluvun lause sanoo, että mikä tahansa äärellinen parittoman kertaluvun ryhmä on ratkaistavissa . Lauseen todistivat Walter Veit ja John Griggs Thompson [1] [2] .

Historia

Tämän tuloksen osoittama ero parittoman ja parillisen järjestyksen välillä viittaa siihen, että yksinkertaisia ​​parittoman järjestyksen ryhmiä ei ole olemassa.

—  ( William Burnside , s. 503 Huomautus M)

William Burnside [3] oletti, että millä tahansa ei-abelilaisella äärellisellä yksinkertaisella ryhmällä on parillinen järjestys. Richard Brouwer [4] arveli käyttäessään yksinkertaisten ryhmien involuutioiden keskittäjiä perustana äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelulle, kuten Brouwer-Fowler-lauseessa , että äärellisiä yksinkertaisia ​​ryhmiä, joilla on tietty keskus , on olemassa vain äärellinen määrä . involuutio . Parittoman järjestyksen ryhmällä ei ole involuutioita, joten Brouwerin suunnitelman toteuttamiseksi on ensin osoitettava, että ei-syklisillä äärellisillä yksinkertaisilla ryhmillä ei ole koskaan paritonta järjestystä. Tämä vastaa sen todistamista, että parittoman kertaluvun ryhmät ovat ratkaistavissa, minkä Thompson ja Feit osoittivat.

Hyökkäyksen Burnsiden arvelua vastaan ​​aloitti Suzuki [5] , joka tutki CA - ryhmiä [6] . Nämä ovat ryhmiä, joissa minkä tahansa ei-triviaalin elementin keskittäjä on Abelin . Työssään hän osoitti, että kaikki parittoman järjestyksen CA-ryhmät ovat ratkaistavissa. (Myöhemmin hän luokitteli kaikki yksinkertaiset CA-ryhmät ja kaikki yksinkertaiset ryhmät, joissa minkä tahansa involuution keskittäjällä on normaali 2-Sylow-alaryhmä, löytäen luokittelun aikana pois jääneen Lie-tyyppisten yksinkertaisten ryhmien perheen , jota nykyään kutsutaan nimellä Suzuki-ryhmä .)

Feit, Hall ja Thompson [7] laajensivat Suzukin työn CN - ryhmien perheeseen . Nämä ovat ryhmiä, joissa minkä tahansa ei-triviaalin elementin keskittäjä on nilpotentti [8] . He osoittivat, että mikä tahansa pariton CN-ryhmä on ratkaistavissa. Heidän todisteensa on samanlainen kuin Suzukin. Todistus kesti noin 17 sivua, mikä oli tuolloin ryhmäteorialle hyvin pitkä aika.

Feit-Thompsonin lausetta voidaan pitää seuraavana askeleena tässä prosessissa - ne osoittivat, että ei ole olemassa ei-syklistä yksinkertaista parittoman järjestyksen ryhmää, jossa mikä tahansa oikea aliryhmä olisi ratkaistavissa . Tämä todistaa, että mikä tahansa äärellinen pariton ryhmä on ratkaistavissa, koska minimivastaesimerkin on oltava yksinkertainen ryhmä, jossa jokainen oikea aliryhmä on ratkaistavissa. Vaikka todistuksen kaava on lähellä CA- ja CN-ryhmien lauseiden todisteiden kaavaa, yksityiskohdat ovat paljon monimutkaisempia, joten lopullisessa artikkelissa oli 255 sivua tekstiä.

Todistuksen merkitys

Feit-Thompsonin lause osoitti, että äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu involuutiokeskittimien avulla on mahdollista, koska kaikilla ei-Abelin yksinkertaisilla ryhmillä on involuutio. Monet lauseen todistuksessa käytetyt tekniikat ja erityisesti ajatus paikallisesta analyysistä kehitettiin myöhemmin luokittelussa käytetyiksi menetelmiksi. Todistuksen ehkä vallankumouksellisin puoli oli sen pituus – ennen Feithin ja Thompsonin artikkelia ryhmäteorian harvinaiset artikkelit olivat yli muutaman sivun pituisia ja niitä voitiin yleensä tutkia päivässä. Kun ryhmäteoriatutkijat ymmärsivät, että pitkät näyttelyt voisivat toimia, satoja sivuja pitkiä papereita alkoi ilmestyä. Jotkut jopa ylittävät Feitin ja Thompsonin paperin, esimerkiksi Michael Aschbacherin ja Stephen D. Smithin lähes ohuita ryhmiä käsittelevässä paperissa s on 1 221 sivua.

Todistuksen tarkistus

Monet matemaatikot ovat yksinkertaistaneet osia Feithin ja Thompsonin alkuperäisestä todistuksesta. Kaikki nämä parannukset ovat kuitenkin jossain mielessä paikallisia, esityksen päärakenne pysyy samana, mutta joitain todisteen yksityiskohtia on yksinkertaistettu.

Yksinkertaistettu todiste julkaistiin kahdessa kirjassa, Benderin ja Glaubermanin [9] kirjassa , joka kattaa kaiken paitsi hahmoteorian, ja Peterfalvin kirjassa [10] , joka kattaa hahmoteorian. Tämä tarkistettu todistus on edelleen hyvin monimutkainen ja pidempi kuin alkuperäinen todistus, mutta se on kirjoitettu kevyemmällä tyylillä.

Lopullisen muodollisen todisteen, joka vahvistettiin automaattisella lauseiden todistamisjärjestelmällä Coq , julkisti syyskuussa 2012 Georges Gontier, joka työskenteli Microsoft Researchin ja INRIA :n työntekijöiden kanssa [11] .

Todistuskaavio

Feit-Thompsonin lauseen suoran kuvauksen sijaan on helpompi kuvata Suzukin CA-lausetta ja sitten selittää joitain lisäyksiä, joita tarvitaan CN-lauseeseen ja parittoman kertaluvun lauseeseen. Todistus voidaan jakaa kolmeen vaiheeseen. Olkoon G ei-Abelin (minimaalinen) yksinkertainen pariton ryhmä, joka täyttää CA-lauseen ehdot. Paritonta järjestystä käsittelevän artikkelin yksityiskohtaisempi esittely löytyy Thompsonin [12] , Gorensteinin [13] tai Glaubermanin [14] artikkelista .

Vaihe 1. Paikallinen analyysi ryhmän G rakenteesta

CA:n tapauksessa analyysi on yksinkertainen, koska relaatio " a kommutoi b :n kanssa " on ekvivalenssirelaatio ei-identiteettielementeillä. Siten elementit on jaettu ekvivalenssiluokkiin, ja jokainen ekvivalenssiluokka on joukko ei-triviaalisia elementtejä maksimaalisesta Abelin alaryhmästä. Näiden maksimaalisten Abelin alaryhmien normalisoijat osoittautuvat täsmälleen ryhmän G maksimaalisiksi varsinaisiksi alaryhmiksi. Nämä normalisoijat ovat Frobenius-ryhmiä , joiden merkkiteoria on varsin läpinäkyvä ja soveltuu manipuloitavaksi induktiivisen merkin avulla . Myös joukko alkujakajia| G |hajoaa niiden alkulukujen mukaan, jotka jakavat Abelin maksimaalisten aliryhmien eri kosettien järjestyksen. Lähestymistapa, joka jakaa alkujakajia | G | joidenkin Hall-alaryhmien yhteisesiintymisluokkien mukaisesti (Hall-alaryhmä on alaryhmä, jonka järjestys ja indeksi ovat koprime), jotka vastaavat ryhmän G maksimaalisia alaryhmiä (samaansaistumiseen asti), toistetaan todistus Feit-Hall-Thompsonin CN-lauseena, samoin ovat Feit-Thompsonin parittoman kertaluvun lauseet. Jokaisella maksimaalisella alaryhmällä M on jokin nilpotentti Hall-aliryhmä M σ , jonka normalisoija sisältyy M :iin, jonka järjestys on jaollinen joillakin joukon muodostavilla alkuluvuilla . Kaksi maksimaalista alaryhmää ovat vierekkäisiä, jos ja vain jos joukot ovat samat, ja jos ne eivät ole vierekkäisiä, joukot ovat disjunktioituja. Mikä tahansa ryhmän G järjestyksen jakava alkuluku esiintyy jossain joukossa . Siten ryhmän G suuruusluokkaa olevat alkujakajat jaetaan maksimaalisten alaryhmien koseteihin vastaaviin koseteihin. CN-tapauksen todistaminen on jo paljon monimutkaisempi kuin CA-tapauksen - suurin lisäongelma on todiste, että kaksi eri Sylow-alaryhmää leikkaavat identiteettielementissä. Tämä parittoman järjestyksen lauseen osa kestää yli 100 päiväkirjasivua. Keskeinen vaihe on Thompsonin ainutlaatuisuuslauseen todiste , jossa todetaan, että Abelin aliryhmät, joiden normaaliarvo on vähintään 3, sisältyvät ainutlaatuiseen maksimaaliseen alaryhmään, mikä tarkoittaa, että alkulukujen p , joiden Sylow p -alaryhmien normaaliarvo on enintään 2, tulee olla harkita erikseen. Myöhemmin Bender yksinkertaisti ainutlaatuisuuslauseen todistetta käyttämällä Benderin menetelmää . Vaikka CN:n tapauksessa tuloksena saadut M :n maksimialaryhmät jäävät Frobenius-ryhmiksi, parittoman kertaluvun lauseen todistuksessa esiintyvillä maksimialaryhmillä ei välttämättä ole tällaista rakennetta, ja niiden rakenteen ja suhteiden analyysi antaa 5 mahdollista maksimialaryhmää. , jotka on merkitty tyypeiksi I, II , III, IV, V. Tyypin I alaryhmät ovat "Frobenius-tyyppisiä" alaryhmiä, Frobenius-ryhmän lievä yleistys, ja itse asiassa osoitetaan myöhemmin todistuksessa Frobenius-ryhmiksi. Niillä on rakenne , jossa on suurin normaali nilpotentti Hall-alaryhmä ja U :lla on aliryhmä , jolla on sama eksponentti, samoin on Frobenius-ryhmä, jossa on ydin . Tyypit II, III, IV, V ovat kaikki 3-vaiheisia ryhmiä , joiden rakenne on , jossa on generoitu ryhmän M alaryhmä . Jako tyyppeihin II, III, IV ja V riippuu alaryhmän U rakenteesta ja upottamisesta seuraavasti:

Kaikki maksimialaryhmien luokkaa kahta lukuun ottamatta ovat tyyppiä I, mutta maksimialaryhmiä voi olla vielä kaksi, toinen tyyppiä II ja toinen tyyppiä II, III, IV tai V.

Vaihe 2. Ryhmän G luonneteoria

Jos X on CA-ryhmän G maksimaalisen Abelin alaryhmän A normalisaattorin H pelkistymätön merkki, joka ei sisällä A :ta ytimeessään, voimme saada X:stä G :n merkin Y, joka ei välttämättä ole redusoitumaton. Ryhmän G tunnetusta rakenteesta on helppo löytää Y-merkin arvot kaikille ryhmän G elementeille paitsi yhtä. Tästä seuraa, että kun X 1 ja X 2 ovat normalisaattorin H kaksi pelkistymätöntä merkkiä ja Y 1 ja Y 2 ovat vastaavia indusoituja merkkejä, niin Y 1 − Y 2 on täysin määritelty ja sen normin laskeminen osoittaa, että tämä on ryhmän G kahden redusoitumattoman merkin ero (niitä kutsutaan joskus ryhmän G poikkeusmerkeiksi normalisoijalle H ). Laskelma osoittaa, että jokainen ryhmän G ei-triviaali redusoitumaton merkki esiintyy täsmälleen kerran poikkeuksellisena hahmona, joka liittyy ryhmän G jonkin maksimaalisen Abelin alaryhmän normalisoijaan . Samanlainen argumentti (korvaamalla Abelin Hall-alaryhmät nilpotenteilla Hall-alaryhmillä) toimii CN-lauseen todistuksessa. Parittoman kertaluvun lauseen todistuksessa argumentti ryhmän G merkkien rakentamiselle alaryhmien merkeistä on kuitenkin hienovaraisempi ja käyttää merkkirenkaiden välillä - isometriaa indusoitujen merkkien sijaan, koska maksimaalisilla alaryhmillä on monimutkaisempi rakenne. ja ne on upotettu vähemmän läpinäkyvällä tavalla. Poikkeuksellisten merkkien teoria korvataan koherenttien merkkijoukkojen teorialla laajentamaan Deid-isometriaa. Karkeasti ottaen tämä teoria sanoo, että Dade-isometriaa voidaan laajentaa, jos ryhmässä ei ole tiettyä rakennetta. Peterfalvy [15] kuvaa yksinkertaistetun version hahmoteoriasta (perustuu Isoisän, Sibleyn ja Peterfalvyn artikkeleihin).

Vaihe 3. Lopullinen ristiriita

Vaiheessa 2 meillä on täydellinen ja tarkka kuvaus CA-ryhmän G merkkitaulukosta . Siten käyttämällä sitä tosiasiaa, että G :llä on pariton järjestys, tarvittavat tiedot ovat saatavilla arvion | saamiseksi G | ja saavutetaan oletus, että G on alkuluku. Tämä todisteen osa toimii samalla tavalla CN-ryhmien tapauksessa.

Feith-Thompsonin lauseen todistuksessa tämä vaihe on kuitenkin (tavalliseen tapaan) paljon vaikeampi. Hahmoteoria sulkee pois vain joitain mahdollisia vaiheen 1 jälkeen jäljellä olevia konfiguraatioita. Ensin Feith ja Thompson osoittivat, että tyypin I suurimmat alaryhmät ovat kaikki Frobenius-ryhmiä. Jos kaikki suurimmat alaryhmät ovat tyyppiä I, CN-tapauksen kaltaiset argumentit osoittavat, että G :llä ei voi olla yksinkertaista parittoman järjestyksen ryhmää, joten tyypin II, III, IV tai V maksimialaryhmiä on tasan kaksi tapausta. loput todistus keskittyy näihin kahteen tyyppiin maksimialaryhmiin S ja T ja niiden väliseen yhteyteen. Jotkut muut merkkiteoriaargumentit osoittavat, että ne eivät voi olla tyyppiä IV tai V. Näillä kahdella alaryhmällä on määrätty rakenne - aliryhmällä S on järjestys ja se koostuu kaikista muodon p q järjestyksessä olevan äärellisen kentän automorfismista , missä a sillä on normi 1 ja se on äärellisen kentän automorfismi, jossa p ja q ovat eri alkulukuja. Maksimialaryhmällä T on samanlainen rakenne, jossa p ja q vaihdetaan . Alaryhmät S ja T liittyvät läheisesti toisiinsa. Jos hyväksymme, että p > q , voidaan osoittaa, että syklinen aliryhmä S on konjugoitu järjestyksen syklisen aliryhmän T aliryhmään . (Erityisesti ensimmäinen luku jakaa toisen, joten jos Feit-Thompsonin olettamus on totta , niin tästä seuraa, että näin ei voi tapahtua, ja todistus voidaan lopettaa tässä vaiheessa. Oletus jää kuitenkin todistamatta.)

Kun luonneteoriaa on sovellettu ryhmään G , päättelemme, että G :llä on seuraava rakenne: on alkulukuja p > q siten, että p −1:n koprime ja G : llä on puolisuoralla tulolla PU antama aliryhmä , jossa P on luvun additiivinen ryhmä. äärellinen järjestyksen kenttä ja U ovat sen elementtejä normin 1 kanssa. Ryhmällä G on kuitenkin Abelin aliryhmä Q , jonka kertaluku on koprime p :lle, joka sisältää alkion y siten, että P 0 normalisoi Q :n ja normalisoi U :n , missä on aditiivinen ryhmä äärellinen järjestyskenttä p . (Kun p =2, samanlainen konfiguraatio syntyy ryhmässä , jossa PU on ylempien kolmimaisten matriisien Borel-aliryhmä ja Q on y =(01
11).) Sulkeakseen pois tämän viimeisen tapauksen Thompson käyttää kauhistuttavia monimutkaisia ​​manipulaatioita generaattoreiden ja suhteiden kanssa , joita myöhemmin yksinkertaisti Peterfalvi [16] , jonka perustelut ovat esittäneet Benderin ja Glaubermanin artikkelissa [9] . Todistus tarkistaa alkiojoukon a äärellisessä kentässä p q siten, että a: lla ja 2– a: lla on normi 1. Ensin tarkistetaan, että tässä joukossa on ainakin yksi muu alkio kuin 1. Sitten on olemassa melko monimutkaisia ​​argumentteja, joissa käytetään generaattorit ja kytkennät ryhmässä G , osoittavat, että joukko on suljettu ottamalla käänteisarvo. Jos a on joukossa eikä ole yhtä suuri kuin 1, niin polynomilla N((1– a ) x +1)–1 on aste q ja sillä on vähintään p erillistä juurta, jotka antavat elementit x F p : stä , käyttäen tosiasiaa joka kuvaa joukon itseensä, joten p ≤ q , mikä on ristiriidassa oletuksen p > q kanssa .

Parittoman

Sitä tosiasiaa, että G :n järjestys on pariton, käytetään todistuksessa useissa kohdissa seuraavasti [12] .

Muistiinpanot

  1. ↑ Feit, Thompson, 1962 .
  2. ↑ Feit, Thompson, 1963 .
  3. ↑ Burnside, 1911 , s. 503 Huomautus M.
  4. ↑ Brauer, 1957 .
  5. ↑ Suzuki, 1957 .
  6. ↑ CA = C entralizer (keskittäjä) ja Abelian (Abelian).
  7. ↑ Feit, Hall, Thompson, 1960 .
  8. ↑ CN = C entralizer (keskittäjä) ja N ilpotent (nilpotent).
  9. ↑ 1 2 Bender, Glauberman, 1994 .
  10. ↑ Peterfalvi, 2000 , s. osa I.
  11. ↑ Herra Inria, 2012 .
  12. ↑ 12 Thompson , 1963 .
  13. ↑ Gorenstein, 1980 .
  14. ↑ Glauberman, 1999 .
  15. ↑ Peterfalvi, 2000 .
  16. ↑ Peterfalvi, 1984 .

Kirjallisuus