Brahmagupta-Fibonacci-identiteetti

Brahmagupta-Fibonacci- identiteetti , jota kutsutaan myös Brahmagupta -identiteetiksi tai diofantiniseksi identiteetiksi [1] [2] [3] [4] on algebrallinen identiteetti, joka näyttää kuinka kahden neliösumman tulo voidaan esittää neliösummana ( ja kahdella tavalla):

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left( ac-bd\oikea)^{2}+\vasen(mainos+bc\oikea)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\oikea)^{2}+\vasen (ad-bc\oikea)^{2}.&&(2)\end{aligned}}

Yleisalgebran kannalta tämä identiteetti tarkoittaa, että kahden neliön kaikkien summien joukko on suljettu kertolaskussa .

Esimerkki: $(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.$

Historia

Tämä identiteetti julkaistiin ensimmäisen kerran 300-luvulla jKr. e. Diophantus Aleksandrialainen tutkielmassa "Aritmetiikka" (kirja III, lause 19). Intialainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Brahmagupta 6. vuosisadalla luultavasti löysi itsenäisesti ja jonkin verran yleisti identiteetin lisäämällä mielivaltaisen parametrin : $n$

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left( ac-nbd\oikea)^{2}+n\left(mainos+bc\oikea)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\oikea)^{2}+n \left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}

Brahmagupta kuvaili identiteettiä tutkielmassa "Brahma-sphuta-siddhanta" ("Brahman parannetut opetukset", 628) ja käytti Pellin yhtälön ratkaisemiseen ( alla )

Euroopassa identiteetti esiintyi ensimmäisen kerran Fibonaccin neliöiden kirjassa ( Liber quadratorum ) (1225).

Monimutkainen esitys

Antaa olla kompleksilukuja . Sitten Brahmagupta-Fibonacci-identiteetti vastaa kompleksisen moduulin kertovan ominaisuutta : $a+bi,c+di$

|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.

Todellakin, neliöimällä molemmat puolet, saamme:

|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},

tai moduulin määritelmän mukaan:

(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2 }.

Sovellukset

Pellin yhtälön ratkaisu

Kuten edellä mainittiin , Brahmagupta käytti identiteettiään (3), (4) ratkaiseessaan Pell-yhtälön [5] :

x^{2}-ny^{2}=1,

missä on luonnollinen luku , joka ei ole neliö. Brahmagupta valitsi ensin yhtälön alkuratkaisun ja kirjoitti sitten identiteetin seuraavassa muodossa [5] : $n$

(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

Tämä osoittaa, että jos kolmiot ja muodostavat ratkaisun yhtälöön x 2 − Ay 2 = k , niin yksi kolmois lisää löytyy ${\displaystyle x_{1},y_{1},k_{1))$ ${\displaystyle x_{2},y_{2},k_{2))$

(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{ 1}k_{2})

ja niin edelleen, saamalla äärettömän määrän ratkaisuja.

Yleinen menetelmä Pellin yhtälön ratkaisemiseksi, jonka Bhaskara II julkaisi vuonna 1150 ( "chakravala" -menetelmä ), perustuu myös Brahmaguptan identiteettiin.

Kokonaisluvun hajottaminen kahden neliön summaksi

Yhdessä Fermat–Euler-lauseen kanssa Brahmagupta–Fibonacci-identtisyys osoittaa, että kokonaisluvun neliön ja minkä tahansa muodon alkulukujen tulo voidaan esittää neliöiden summana. $4m+1$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Identiteettiä sovellettiin alun perin kokonaislukuihin , mutta se pätee missä tahansa kommutatiivisessa renkaassa tai kentässä , kuten polynomirenkaassa tai kompleksilukujen kentässä .

Brahmagupta-Fibonacci-identiteetti on Eulerin neljän neliön identiteetin tai Lagrangen identiteetin (lukuteoria) erikoistapaus . Neljän neliön identiteetti pätee myös kvaternioneihin ja analoginen kahdeksan neliön identiteetti oktonioihin .

Muistiinpanot

↑ Brahmagupta-Fibonaccin identiteetti . Haettu 11. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 31. joulukuuta 2020. (määrätön)
↑ Marc Chamberland: Yksinumeroiset: Pienten numeroiden ylistyksenä . Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697 , s. 60
↑ Stillwell, 2002 , s. 76
↑ Shanks, Daniel , Ratkaistut ja ratkaisemattomat ongelmat lukuteoriassa, s. 209, American Mathematical Society, neljäs painos 1993.
↑ 1 2 Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 195.

Kirjallisuus

Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Joseph, George G. (2000), [ [1] Google Booksissa The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics] (2. painos), Princeton University Press , s. 306, ISBN 978-0-691-00659-8 , < [2] Google-kirjoissa " >
Stillwell, John (2002), [ [3] julkaisussa Google Books Mathematics and its history] (2. painos), Springer , s. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 , < [4] Google-kirjoissa " >

Linkit

Brahmaguptan identiteetti PlanetMathissa
Brahmaguptan identiteetti MathWorldissä _
Kokoelma algebrallisia identiteettejä