Kertominen muinaisessa Egyptissä
Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. tammikuuta 2022 tarkistetusta
versiosta . tarkastukset vaativat
10 muokkausta .
Muinainen egyptiläinen kertolasku (tunnetaan myös nimellä egyptiläinen kertolasku , etiopialainen kertolasku , venäläinen kertolasku tai talonpojan kertolasku ) on yksi kahdesta menetelmästä kertoa kaksi lukua, joka ei vaadi kertotaulukon tuntemusta , vaan ainoastaan kykyä kertoa ja jakaa kahdella ja kyky lisätä . Menetelmä hajottaa yhden tekijöistä (useimmiten pienimmän) kahden potenssien summaksi ja luo tuplaustaulukon toiselle tekijälle. Tätä menetelmää voidaan kutsua menetelmäksi löytää keskikohta ja kaksinkertaistaa , jossa keskikohdan löytäminen tarkoittaa yhden luvun jakamista puoliksi ja tuplaus tarkoittaa toisen luvun tuplaamista. Menetelmää käytetään edelleen joillakin alueilla [1] .
Toinen egyptiläinen kerto- ja jakotekniikka tunnetaan hieraattisista matemaattisista papyruksista, Moskovan papyruksesta ja Rhinda-papyruksesta, jotka kirjuri Ahmes kirjoitti 1600-luvulla [2] .
Vaikka muinaisessa Egyptissä ei ollut käsitystä binäärijärjestelmästä , algoritmi on pohjimmiltaan sarakkeiden kertolaskualgoritmi jossa tekijät muunnetaan ensin binääriluvuiksi . Jos siis menetelmällä ymmärretään lukujen kertolasku binäärimuodossa, sitä käytetään nykyään laajalti prosessorien laskentayksiköissä [1] .
Menetelmä
Muinaiset egyptiläiset tekivät taulukoita, joissa oli suuria tehoja, laskematta niitä joka kerta. Luvun laajentaminen koostui niiden tehojen löytämisestä, jotka muodostavat luvun. Egyptiläiset tiesivät empiirisesti, että annettu kahden potenssi esiintyy vain kerran luvun laajentuessa summaksi. Luvun hajottamiseen käytettiin systemaattista lähestymistapaa: ensin löydettiin kahdesta suurin potenssi, joka ei ylittänyt lukua, ja sitten löydetty teho vähennettiin luvusta ja prosessia toistettiin, kunnes luku oli käytetty. Egyptiläiset eivät käyttäneet numeroa nolla .
Ensimmäisen tekijän hajotuksen jälkeen muodostettiin taulukko kahden potenssien kertomiseksi toisella kertoimella (yleensä pienemmällä) yhdestä hajoamisprosessissa havaittuun maksimiasteeseen.
Tulos saadaan laskemalla yhteen ne luvut toisesta sarakkeesta, joiden vastaava kahden potenssi on läsnä ensimmäisen kertoimen laajennuksessa [1] .
Esimerkki
25 × 7 = ?
Luvun 25 hajoaminen:
| Kahden suurin teho ei ylitä 25 |
on yhtä kuin 16: |
25-16 |
= 9 .
|
| Kahden suurin teho ei ylitä 9 |
on yhtä kuin 8: |
9-8 |
= 1 .
|
| Kahden suurin potenssi on enintään 1 |
on yhtä kuin 1: |
1-1 |
= 0 .
|
| 25 on lukujen 16, 8 ja 1 summa.
|
Teemme kertotaulukon 7:stä kahden potenssiin:
| yksi |
7
|
| 2 |
neljätoista
|
| neljä |
28
|
| kahdeksan |
56
|
| 16 |
112
|
Koska 25 = 16 + 8 + 1, vastaava kertominen 7:llä ja yhteenlasku antaa 25 × 7 = 112 + 56 + 7 = 175.
Venäjän talonpoikien lisääntyminen
Venäläisten talonpoikien kertolaskumenetelmässä kahden voimat yhden tekijän laajentamisessa löydetään kirjoittamalla se vasemmalle ja jakamalla seuraava luku peräkkäin puoliksi vasemmassa sarakkeessa. Loppuosa hylätään ja prosessia jatketaan, kunnes arvo on 1 (tai −1, jolloin summa vähennetään lopussa). Tässä tapauksessa oikea sarake kaksinkertaistetaan peräkkäin, kuten edellisessä menetelmässä. Rivit, joissa on parilliset numerot vasemmassa sarakkeessa, yliviivataan ja loput oikeasta sarakkeesta lisätään [3] .
Esimerkki
238 × 13 = ?
| 13 |
|
238 |
|
| 6 |
(loput hylätty) |
476 |
|
| 3 |
|
952 |
|
| yksi |
(loput hylätty) |
1904 |
|
|
|
|
|
| 13 |
238
|
| 6 |
476
|
| 3 |
952
|
| yksi |
+ 1904
|
|
|
|
3094
|
|
|
|
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ 1 2 3 Neugebauer, 1969 .
- ↑ Gunn, 1926 , s. 123-137.
- ↑ Leikkaa solmu - talonpojan kertolasku . Haettu 12. joulukuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 4. elokuuta 2017. (määrätön)
Kirjallisuus
Muut lähteet
- Carl B. Boyer. Matematiikan historia . - New York: John Wiley, 1968.
- Kevin S Brown Egyptin yksikköfraktiot. // Akhminin papyrus. – 1995.
- Maxim Bruckheimer, Y. Salomon. Kommentteja RJ Gillingsin 2/n-taulukon analyysistä Rhind Papyruksessa // Historia Mathematica. - 1977. - Numero. 4 . — S. 445–52 .
- Evert M. Bruins. Fontes matheseos: hoofdpunten van het prae-Griekse en Griekse wiskundig denken.. - Leiden: EJ Brill., 1953.
- Platon et la table égyptienne 2/n, // Janus. - 1957. - Numero. 46 . — S. 253–63 .
- Evert M Bruins. Egyptin aritmetiikka // Janus. - 1981. - Numero. 68 . — s. 33–52 .
- Yksinkertaistettavat ja triviaalit hajotukset Egyptin aritmetiikasta // Janus. - 1981. - Numero. 68 . — S. 281–97 .
- David M Burton. Matematiikan historia: Johdanto.. - Boston: Wm. C. Brown, 2003.
- Arnold Buffum Chace et ai. Rhindin matemaattinen papyrus. - Oberlin: Mathematical Association of America, 1927.
- Roger Cooke. Matematiikan historia. Lyhyt kurssi. . - New York: John Wiley & Sons, 1997.
- Sylvia Couchoud. Mathématiques égyptiennes // Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Egypte pharaonique.. - Paris,: Le Léopard d'Or, 1993.
- Georges Daressy. Akhmim Wood Tablets // Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale. - 1901. - S. 95-96.
- Howard Eves. Johdatus matematiikan historiaan. - New York: Holt, Rinehard & Winston, 1961.
- David H Fowler. Platonin akatemian matematiikka: uusi rekonstruktio. – Oxfordin yliopisto. Lehdistö, 1999.
- Alan H. Gardiner. Egyptin kielioppi on johdatus hieroglyfien tutkimukseen. – Oxford University Press, 1957.
- Milo Gardner. Egyptiläinen matemaattinen nahkarulla, todistettu lyhyt ja pitkäaikainen // in History of the Mathematical Sciences / Ivor Grattan-Guinness, BC Yadav (toim.). - New Delhi: Hindustan Book Agency, 2002. - P. 119-34.
- Egyptin matemaattinen rulla // Tieteen, tekniikan ja lääketieteen historian tietosanakirja ei-länsisissä kulttuureissa. - Springer, 2005.
- Richard J. Gillings. Egyptiläinen matemaattinen nahkarulla // Australian Journal of Science. - 1962. - S. 339-44 . Uusintapainos hänen (1972) Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. Uusintapainos Dover Publications, 1982.
- Rhindin matemaattisen papyruksen rekto: Kuinka muinainen egyptiläinen kirjanoppinut valmisti sen? // Tarkkojen tieteiden historian arkisto. - 1974. - Numero. 12 . — S. 291–98 .
- RMP:n ja EMLR:n rekto // Historia Mathematica. - Toronto, 1979. - Numero. 6 . — S. 442–447 .
- Egyptiläinen matemaattinen nahkarooli – rivi 8. Kuinka kirjanoppinut teki sen? // Historia Mathematica. - 1981. - S. 456-57 .
- Glanville SRK Matemaattinen nahkarulla British Museumissa // Journal of Egyptian Archaeology. - Lontoo, 1927. - Numero. 13 . - S. 232-8 .
- Francis Llewelyn Griffith. Petrie Papyrus. Hieraattiset papyrukset Kahunilta ja Gurobilta (pääasiassa Keski-Britanniasta). - Lontoo: Bernard Quaritch, 1898. - Osa 1, 2.
- Battiscombe George Gunn. TE Peetin katsaus Rhindin matemaattiseen papyrukseen // The Journal of Egyptian Archaeology. - Lontoo, 1926. - Numero. 12 . — S. 123–137 .
- Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun // Übersicht über die Lehre von den Zerlegangen. - 1895. - Numero. 8 . - S. 167-71 .
- Annette Imhausen. Egyptiläiset matemaattiset tekstit ja niiden kontekstit // Tiede kontekstissa. - Cambridge (Yhdistynyt kuningaskunta), 2003. - Numero. 16 . — S. 367–389 .
- George Gheverghese Joseph. Peacockin harja / matematiikan ei-eurooppalaiset juuret. - Princeton: Princeton University Press, 2000.
- Victor Klee , Stan Wagon. Vanhat ja uudet ratkaisemattomat ongelmat tasogeometriassa ja lukuteoriassa. - Mathematical Association of America, 1991.
- Wilbur R. Knorr. Murtolukutekniikat muinaisessa Egyptissä ja Kreikassa // Historia Mathematica. - Berliini, 1982. - Numero. 9 . - S. 133-171 .
- John A. R. Legon. Kahunin matemaattinen fragmentti // Egyptologian keskusteluja. - Oxford, 1992. - Numero. 24 .
- Lüneburg H. Zerlgung von Bruchen in Stammbruche // Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. - Mannheim: Wissenschaftsverlag, 1993. - S. 81=85.
- Otto E. Neugebauer. Tarkat tieteet antiikin aikana . - 2. - Dover Publications , 1969. - ISBN 978-0-486-22332-2 .
- Gay Robins, Charles Shute. Rhindin matemaattinen papyrus: muinainen egyptiläinen teksti . – Lontoo: British Museum Press, 1987.
- Roero CS Egyptin matematiikka // Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences / I. Grattan-Guinness (toim.). - Lontoo, 1994. - S. 30-45.
- George Sarton. Johdatus tieteen historiaan. - New York: Williams & Son, 1927. - T. I.
- Scott A., Hall HR Laboratory Notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC // British Museum Quarterly. - Lontoo, 1927. - Vol. 2 , no. 56 .
- Sylvester JJ Kohta vulgaaristen murtolukujen teoriassa // American Journal of Mathematics. - Baltimore, 1880. - Numero. 3 .
- Kurt Vogel. Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss ägyptischer Mathematik Archiv für Geschichte der Mathematik. - Berliini: Julius Schuster, 1929. - T. 2. - S. 386-407.
- van der Waerden, Bartel Leendert. Tieteen herääminen. – New York, 1963.
- Hana Vymazalova. Puiset tabletit Kairosta: Viljayksikön HK3T käyttö muinaisessa Egyptissä // Archiv Orientalai. - Praha: Charles U, 2002.
Linkit