Bargmann-Wigner-yhtälöt

Bargmann–Wigner-yhtälöt ovat relativistisesti invariantteja monikomponenttisia spinoriyhtälöitä vapaiden hiukkasten liiketoiminnalle, joiden massa on nollasta poikkeava ja mielivaltainen spin . [yksi]

Sai nimen Valentine Bargmanin ja Eugene Wignerin kunniaksi .

Historia

Paul Dirac julkaisi Diracin yhtälön ensimmäisen kerran vuonna 1928 ja myöhemmin (1936) yleisti sen hiukkasille, joilla oli puolikokonaisluku spin, ennen kuin Fiertz ja Pauli löysivät samat yhtälöt vuonna 1939 ja noin vuosikymmentä ennen Bargmannia ja Wigneriä. [2] Eugene Wigner kirjoitti vuonna 1937 artikkelin epähomogeenisen Lorentz-ryhmän tai Poincarén ryhmän yhtenäisistä esityksistä . [3] Wigner huomauttaa, että Ettore Majorana [4] ja Dirac käyttivät infinitesimaalioperaattoreita ja luokittelevat esitykset redusoitumattomiksi, faktoriaalisiksi ja unitaarisiksi.

Vuonna 1948 Valentin Bargman ja Wigner julkaisivat heidän mukaansa nyt nimetyt yhtälöt artikkelissa ryhmäteoreettisesta keskustelusta relativistisista aaltoyhtälöistä. [5]

Yhtälöiden muotoilu

Vapaalle sähköisesti neutraalille massiiviselle hiukkaselle, jolla on spin , BV-yhtälöt ovat lineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden järjestelmä , joista jokaisella on samanlainen matemaattinen muoto kuin Diracin yhtälö . Yhtälöjärjestelmä on muotoa [2] [6] [7] [8] [9] $j$ $2j$

{\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P))_{\mu }+mc\oikea)_{\alpha _{1}\alpha _{ 1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\ mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{ 2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\ mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha ' _{2j}}=0\\\loppu{tasattu}}

ja noudattaa yleissääntöä;

$\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\oikea)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _ {\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j))=0$

( 1 )

varten . $r=1,2,...2j$

BV:n aaltofunktiossa on komponentteja $\psi =\psi (\mathbf {r} ,t)$

\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j))(\mathbf {r} ,t)

ja on 4-komponenttinen spinorikenttä, jonka arvo on 2j. Jokainen indeksi saa arvot 1, 2, 3 tai 4, eli siinä on koko spinorikentän komponentti , vaikka täysin symmetrinen aaltofunktio pienentää riippumattomien komponenttien lukumäärän arvoon . Seuraavaksi ovat Dirac-matriisit , ja ${\näyttötyyli 4^{2j))$ $\psi$ ${\näyttötyyli 2(2j+1)}$ $\gamma ^{\mu }=(\gamma ^{0},\mathbf {\gamma } )$

{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }

on neliulotteinen liikemäärän operaattori .

Operaattori, joka muodostaa kunkin yhtälön , on dimensiomatriisi , koska matriisit ja ovat skalaarikerroin ulottuvuuden identiteettimatriisilla (yleensä ei kirjoitettu yksinkertaisuuden vuoksi). Nimenomaan Dirac-matriisien Dirac-esityksessä : [2] $(-\gamma ^{\mu }P_{\mu }+mc)=(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)$ $4 kertaa 4$ $\gamma ^{{\mu ))$ $mc''$ $4 kertaa 4$

{\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{ c))-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\ \0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{ 2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\ hattu {p}}_{z}&{\hattu {p}}_{x}-i{\hattu {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c ))+mc&{\hattu {p}}_{x}+i{\hattu {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p} }_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0 \\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E }}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}

missä on vektori, jonka jokainen komponentti on Pauli-matriisi , on energia-operaattori, on kolmiulotteinen liikemäärä-operaattori , tarkoittaa ulottuvuuden identiteettimatriisia , nollat (toisella rivillä) tarkoittavat nollasta koostuvaa ulottuvuuden lohkomatriisia matriisit . $\mathbf {\sigma } =(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ $E$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{x},p_{y},p_{z})$ $I_{2}$ ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$ ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$

BV-yhtälöillä on joitain Dirac-yhtälön ominaisuuksia:

BV-yhtälöt ovat Lorentzin kovariantteja ,
kaikki BV-yhtälöiden ratkaisujen komponentit täyttävät Klein-Gordon-yhtälön ja siten relativistisen energia-momentti -suhteen ,

E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}

BV-yhtälöt sallivat toisen kvantisoinnin .

Toisin kuin Dirac-yhtälö, joka voi ottaa huomioon sähkömagneettisen kentän toiminnan sisällyttämällä siihen sähkömagneettista vuorovaikutusta kuvaavan termin , BV-formalismi, joka yrittää ottaa huomioon sähkömagneettisen vuorovaikutuksen, sisältää sisäisiä ristiriitoja ja vaikeuksia. Toisin sanoen on mahdotonta tehdä muutosta BV-yhtälöissä , missä on hiukkasen sähkövaraus ja sähkömagneettinen potentiaali . [10] [11] Sähkömagneettisia 4-virtoja ja multipolyhiukkasia käytetään sähkömagneettisten vuorovaikutusten tutkimiseen tässä tapauksessa . [12] [13] ${\displaystyle P_{\mu }\rightarrow P_{\mu }-eA_{\mu ))$ $e$ $A_{\mu }=(A_{0},\mathbf {A} )$

Lorentz-ryhmän rakenne

Lorentz-ryhmän esitys BV-yhtälöille: [10]

D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{ (0,1/2)}\oikea]\,.

jossa tarkoittaa redusoitumatonta esitystä. ${\näyttötyyli D_{r))$

Katso myös

Dirac-yhtälöt kahdelle kappaleelle
Pauli-matriisien yleistykset
Wigner D-matriisi
Weil–Brauer-matriisit
Suuremmat dirac-matriisit
Joos–Weinberg-yhtälöt ovat vaihtoehtoisia yhtälöitä, jotka kuvaavat vapaita hiukkasia millä tahansa spinillä.
Korkeampien kierrosten teoria

Lähteet

Muistiinpanot

^ Tämä artikkeli käyttää Einsteinin summaussopimusta tensori / spinori -indekseille ja käyttää ympyräfleksisymbolia edustamaan kvanttioperaattoreita .
↑ 123 E.A. _ _ Jeffery (1978). "Bargman-Wigner-aaltofunktion komponenttien minimointi". Australian Journal of Physics . 31 (2): 137. Bibcode : 1978AuJPh..31..137J . DOI : 10.1071/ph780137 .
↑ E. Wigner (1937). "Epähomogeenisen Lorentz-ryhmän yhtenäisistä edustuksista" (PDF) . Matematiikan lehdet . 40 (1): 149-204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . DOI : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 2015-10-04 . Haettu 12.09.2022 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ E. Majorana Relativistinen teoria hiukkasesta, jolla on mielivaltainen sisäinen kulmamomentti // L. Michel, M. Schaaf Symmetry in quantum physics. - M., Mir , 1974. - s. 239-247
↑ Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). "Ryhmäteoreettinen keskustelu relativistisista aaltoyhtälöistä" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United of America . 34 (5): 211-23. Bibcode : 1948PNAS...34..211B . DOI : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 . Rivinvaihtomerkki |journal=kohdassa #16 ( ohje )
↑ RK Loide; I.Ots; R. Saar (2001). "Dirac-yhtälön yleistykset kovariantti- ja Hamiltonin muodossa". Fysiikan lehti A. 34 (10): 2031-2039. Bibcode : 2001JPhA...34.2031L . DOI : 10.1088/0305-4470/34/10/307 .
↑ H. Shi-Zhong; R. Tu-Nan; W. Ning; Z. Zhi-Peng (2002). "Aaltofunktiot hiukkasille, joilla on mielivaltainen pyöritys" . Teoreettisen fysiikan viestintä . 37 (1): 63. Bibcode : 2002CoTPh..37...63H . DOI : 10.1088/0253-6102/37/1/63 . Arkistoitu alkuperäisestä 27.11.2012 . Haettu 12.09.2022 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov A.A. Symmetriaryhmät ja alkeishiukkaset. - L., Leningradin valtionyliopisto , 1983. - s. 326-327
↑ Novozhilov Yu.V. Johdatus alkuainehiukkasten teoriaan. - M., Nauka , 1972. - s. 150-153
↑ 1 2 T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). "Pyörivien hiukkasten avaruus- ja aika-etenemisen geometria". Annals of Physics . 216 (2): 226-267. Bibcode : 1992AnPhy.216..226J . DOI : 10.1016/0003-4916(92)90176-M .
↑ C.R. Hagen . Bargmann–Wigner-menetelmä Galilean suhteellisuusteoriassa, s. 97–108.
↑ Cedric Lorce (2009), Sähkömagneettiset ominaisuudet mielivaltaisille pyörimishiukkasille: Osa 1 ? Sähkömagneettinen virta ja moninapahajoaminen, arΧiv : 0901.4199 [hep-ph].
↑ Cedric Lorce (2009). "Sähkömagneettiset ominaisuudet mielivaltaisille pyörimishiukkasille: Osa 2 ? Luonnolliset hetket ja poikittaisvarausten tiheydet. Fyysinen arvostelu D. 79 (11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Bibcode : 2009PhRvD..79k3011L . DOI : 10.1103/PhysRevD.79.113011 . S2CID 17801598 .

Lue lisää

Kirjat

Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, osa II
Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, osa III
R. Penrose. Tie todellisuuteen. - Vintage-kirjoja, 2007. - ISBN 978-0-679-77631-4 .

Valitut artikkelit

FI Lorenz (1941). "Dirac-yhtälöiden yleistys" . PNAS . 27 (6): 317-322. Bibcode : 1941PNAS...27..317L . DOI : 10.1073/pnas.27.6.317 . PMC 1078329 . PMID 16588466 .
VV Dvoeglazov . Modifioitu Bargmann-Wigner-formalismi korkeampiin spinkenttiin ja relativistiseen kvanttimekaniikkaan.
D. N. Williams (1965). "Dirac-algebra mihin tahansa pyöritykseen" (PDF) . Teoreettisen fysiikan luennot . 7A . University Press of Colorado. s. 139-172.
H. Shi-Zhong; Z. Peng-Fei; R. Tu-Nan; Z. Yu-Can; Z. Zhi-Peng (2004). "Projektiooperaattori ja Feynman-propagator vapaaseen massiiviseen mielivaltaisen pyörityksen hiukkaseen" . Teoreettisen fysiikan viestintä . 41 (3): 405-418. Bibcode : 2004CoTPh..41..405H . DOI : 10.1088/0253-6102/41/3/405 .
V. V. Neznamov (2006). "Vuorovaikutteisten kenttien teoriasta Foldy-Wouthuysenin esityksessä". Phys. Osa. Nucl . 37 (2006): 86-103. arXiv : hep-th/0411050 . Bibcode : 2004hep.th...11050N . DOI : 10.1134/S1063779606010023 . S2CID 16681061 .
H. Stumpf . Yleistetyt de Broglie-Bargmann-Wigner-yhtälöt, de Broglien fuusioteorian moderni muotoilu , s. 785.
DGC McKeon & TN Sherry (2004), The Bargmann–Wigner Equations in Spherical Space, arΧiv : hep-th/0411090 .
Quantum Field Theory , s. 61–69. Haettu 27. lokakuuta 2016.
H. Stumpf . Yleisten de Broglie–Bargmann–Wigner-yhtälöiden ominaistilat fotoneille, joissa on partoninen alirakenne , s. 726–736.
B. Schroer (1997). "Poincare-ryhmän Wigner-esitysteoria, lokalisointi, tilastot ja S-matriisi". Ydinfysiikka B . 499 (3): 519-546. arXiv : hep-th/9608092 . Bibcode : 1997NuPhB.499..519S . DOI : 10.1016/S0550-3213(97)00358-1 . S2CID 18003852 .
Galilean invariantista relativistisiin aaltoyhtälöihin , s. 884.
DV Ahluwalia (1997). ”Kirja-arvostelu: The Quantum Theory of Fields, osa. S. Weinbergin I ja II”. Löytyi. Phys . 10 (3): 301-304. arXiv : physics/9704002 . Bibcode : 1997FoPhL..10..301A . doi : 10.1007/ bf02764211 . S2CID 189940978 .
JA Morgan (2005). Pariteetti ja spin-tilastoyhteys. Pramana . 65 (3): 513-516. arXiv : physics/0410037 . Bibcode : 2005Prama..65..513M . DOI : 10.1007/BF02704208 . S2CID 119416196 .

Ulkoiset linkit

Relativistiset aaltoyhtälöt:

Lorentzin ryhmät relativistisessa kvanttifysiikassa: