Flexagon

Flexagons ( englanniksi  flex , lat.  flectere - taita, taivuta, taivuta ja kreikan ωνος - neliö) - litteät mallit paperinauhoista, jotka voivat taittaa ja taivuttaa tietyllä tavalla. Kun flexagon taitetaan, tulevat näkyviin pinnat, jotka olivat aiemmin piilossa flexagon rakenteessa, ja aiemmin näkyneet pinnat menevät sisään.

Monet joustokulmat ovat neliömäisiä (tetraflexagons) tai kuusikulmioita (heksaflexagons). On kuitenkin olemassa muun muotoisia taipuisia kulmia, mukaan lukien suorakulmaiset ja rengasmaiset.

Tasojen erottamiseksi numerot, kirjaimet, kuvaelementit levitetään joustokulman sektoreihin tai yksinkertaisesti maalataan tietyllä värillä.

Historia

Ensimmäisen flexagonin löysi vuonna 1939 englantilainen opiskelija Arthur Stone , joka opiskeli silloin matematiikkaa Princetonin yliopistossa Yhdysvalloissa. Letter - kokoinen paperi oli liian leveä mahtumaan A4 - kokoiseen kansioon . Kivi leikkasi paperin reunat irti ja alkoi taittaa syntyneistä nauhoista erilaisia ​​muotoja, joista yksi osoittautui kolmiheksaflexagoniksi [1] [2] .

Pian perustettiin "Flexagon Committee", johon kuuluivat Stonen lisäksi matematiikan jatko-opiskelija Brian Tuckerman , fysiikan jatko-opiskelija Richard Feynman ja matematiikan professori John W. Tukey [2] .

Vuoteen 1940 mennessä Feynman ja Tukey olivat kehittäneet flexagons-teorian, mikä loi perustan kaikelle myöhemmälle tutkimukselle. Teoriaa ei julkaistu kokonaan, vaikka osa siitä löydettiin myöhemmin uudelleen [2] . Hyökkäys Pearl Harboriin keskeytti Flexagon-komitean työn, ja sota hajotti pian kaikki sen neljä perustajaa eri suuntiin [3] .

Flexagons nousi suosioon sen jälkeen, kun Scientific American ilmestyi joulukuussa 1956 Martin Gardnerin ensimmäiseen sarakkeeseen "Mathematical Games", joka oli omistettu kuusikulmioille [4] [5] .

Flexagonit on toistuvasti patentoitu leluiksi, mutta niitä ei ole kaupallistettu laajasti [6] [7] .

Flexagons tyypit

Taivutuskulmion pinnat voivat koostua tasasivuisista tai tasakylkistä kolmioista, neliöistä, viisikulmioista jne. Joustokulmio voi sallia tietyn määrän pintoja ilmaantua; jotkut niistä voivat olla poikkeavia (eli sisältävät sektoreita eri numeroilla). Tietyn muotoinen taipuisa kulmio tietyllä määrällä tasoja voidaan valmistaa erilaisista kehitysmuodoista. Lisäksi jopa sama purkaminen voi mahdollistaa erilaisia ​​taittovaihtoehtoja [3] [8] .

Joustokulmien nimet

Monien flexagonien nimet muodostetaan periaatteella "etuliite (pintojen lukumäärä) + etuliite (muoto) +" taipuisa kulmio ". Ensimmäinen etuliite ilmaisee siis, kuinka monta pintaa flexagonilla on, jotka voivat avautua ennemmin tai myöhemmin, ja toinen osoittaa, kuinka moneen osaan kukin tällainen pinta on jaettu. Esimerkiksi tetratetraflexagon on joustokulmio, jossa on neljä pintaa, joista jokainen koostuu neljästä neliöstä; hexaheksaflexagon - fleksikulmio, jossa on kuusi pintaa, joista jokainen koostuu kuudesta kolmiosta; dodekahexaflexagon - joustokulmio, jossa on kaksitoista ("dodeka") pintaa, joista jokainen koostuu kuudesta ("hexa") sektorista jne. [9]

Flexagoneille ei kuitenkaan ole yleisesti hyväksyttyä nimeämisjärjestelmää. Martin Gardner käytti termejä "tetraflexagon" ja "hexaflexagon" osoittamaan fleksikulmia, jotka koostuivat neliöistä ja kolmioista, ja tetraflexagonin pinnat saattoivat koostua neljästä tai kuudesta neliöstä [3] . Kirjassa Flexagons Inside Out flexagons on merkitty sektorien muodon mukaan (neliö, viisikulmainen jne.) [10] [11]

Myöhemmin 8 ja 12 kolmiomaista sektoria sisältäviä fleksikulmia alettiin kutsua okta- ja dodekaflexagoneiksi [8] . Jos taivutuspintojen sektorit ovat säännöllisiä tai tasakylkisiä kolmioita, niin kuusikulmioiden lisäksi on kolmion muotoisia tetra-, penta-, hepta-, oktaflexagoneja [11] .

Lehdet "Science and Life" käyttivät pääasiassa IUPAC-etuliitejärjestelmää [12] [13] [14] [15] .

Hexaflexagons

Kuusikulmio on tavallisen kuusikulmion muotoinen taipuisa kulmio. Jokainen joustokulmapinta koostuu kuudesta kolmiomaisesta sektorista.

Heksaflexagoneja on monia, jotka vaihtelevat pintojen lukumäärän suhteen. Tunnetut kuusikulmiot, joissa on kolme, neljä, viisi, kuusi, seitsemän, yhdeksän, kaksitoista, viisitoista, neljäkymmentäkahdeksan pintaa; tasojen määrää rajoittaa vain se, että paperin paksuus ei ole nolla [9] [1] [3] [16] [17] .

Heksaheksaflexagonien tyyppien määrä kasvaa nopeasti pintojen lisääntyessä: kuusiokselijoja on 3 tyyppiä, heksaheksaflexagoneja 4 tyyppiä, 12 oktaheksaflexagonaalityyppiä, 27 ennaheksafleksion tyyppiä ja 82 tyyppiä dekaheksaflexagoneja [3] [18] .

Trihexaflexagon

Nimensä mukaisesti trihexaflexagon on kuusikulmainen joustokulmio, jossa on kolme pintaa. Se on yksinkertaisin kaikista hexaflexagoneista (ei sisällä unaheksaflexagonia ja duohexaflexagonia ). Se on litistetty Möbius-kaistale [1] [3] . Kymmenen tasasivuiseen kolmioon jaetusta paperinauhasta voidaan rullata kolmiheksaflexagon [16] [1] . Trihexaflexagon taitetaan pinch flex -menetelmällä [16] [1] [19] 60 ° käännyksellä jokaisen taitoksen jälkeen.

Hexaheksaflexagon

Hexaheksafleksagon on joustokulma, jossa on kuusi kuusikulmainen pinta. Hexaheksaflexagon voidaan tehdä 19 kolmion pituisesta nauhasta [9] [19] [17] .

Tetraflexagons

Yksinkertaisin tetraflexagon (flexagon neliömäinen pinta) on tritetraflexagon, jossa on kolme pintaa. Vain kaksi kolmesta pinnasta on näkyvissä kullakin hetkellä.

Monimutkaisempi heksatetraflexagon ja dekatetraflexagon kootaan ristinmuotoisesta kalvimesta ilman liimaa [12] .  Neliömäisistä kehyksistä voidaan valmistaa myös tetraflexagoneja, joissa on 4 n + 2 tasoa [3] .

Paperin siksakkaistaleista voidaan valmistaa tetratetraflexagoneja ja muita tetraflexagoneja, joissa on 4:llä jaollinen määrä tasoja [21] .

Ring flexagons

Rengasmainen jousto on taipuisa kulmio, jonka pinta on monikulmioiden "rengas". Etuliitettä "circo" voidaan käyttää nimeämään rengasjoustokulmia, esimerkiksi pentacircodecaflexagon on rengasjoustokulmio, jossa on viisi tasoa, joista jokainen koostuu kymmenestä monikulmiosta (pentagonista) [22] ; trigemicircohexaflexagon - joustokulmio, jossa on kolme pintaa, joista jokainen on rengas ( circo ) säännöllisten kuusikulmioiden ( hexa ) puoliskoista ( hemi ) [14] .

Tuckerman Way

Helppo tapa löytää kaikki kuusikulmion pinnat - Tuckerman-kävely - on pitää joustokulmaa yhdestä kulmasta ja avata mallia, kunnes se lakkaa avautumasta, sitten kiertää joustokulmaa 60° myötäpäivään, ottaa kiinni viereisestä kulmasta ja toistaa, että sama [19] [17] .

Tuckermanin ympärillä kävellessä heksaheksaflexagonin tasot avautuvat järjestyksessä: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (tai päinvastaisessa järjestyksessä), jonka jälkeen järjestys toistetaan. Tätä sekvenssiä kutsutaan Tuckermanin poluksi [19] [17] .

Taittomenetelmät ("flexes")

Hexaflexagons

Yllä kuvattua kuusikulmion taittomenetelmää, jota käytetään ohittamaan kaikki tasot (Tuckermanin polut), kutsutaan pinch flexiksi [20] . On olemassa seuraavat menetelmät kuusioflexagonien taittamiseen:

  • puristusjousto [20] (suorita kuusioflexagonsilla, joissa on kolme tai useampia tasoja)
  • v-flex [23] [24] (suorittaa kuusioflexagonsilla, joissa on neljä tai useampia tasoja)
  • tuck flex [25] , "boat-hexahedron" [19] (suorittaa kuusikulmioissa, joissa on neljä tasoa tai enemmän)

ja muut [26]

Anomaliat

Flexagon tasoa (joukko sektoreita), jolla on eri numerot, kutsutaan poikkeavaksi tasoksi ja fleksikulmiota, jolla on näkyvä poikkeava taso (poikkeavassa asennossa), kutsutaan poikkeavaksi taivutuskulmaksi [19] [17] [27] . Epänormaalien tasojen ilmaantuminen on mahdollista riittävän korkealuokkaisissa joustokulmissa, esimerkiksi heksaheksaflexagonissa [19] , dodekaheksaflexagonissa [27] . Yksinkertaisin heksaflexagoni, joka mahdollistaa poikkeavuuksien ilmaantumisen, on tetraheksaflexagon [22] . Poikkeavien tasojen saavuttamiseksi käytetään muita taittomenetelmiä kuin "standardi" pinch flex [19] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. 1 2 3 4 5 Tiede ja elämä, 1970, nro 1
  2. 1 2 3 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline Flexagonin tarina Arkistoitu 26. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa
  3. 1 2 3 4 5 6 7 Martin Gardner, Math pulmia ja hauskaa
  4. Martin Gardnerin "Mathematical Games" -sarakkeiden kokoelmat arkistoitu 29. elokuuta 2014 Wayback Machinessa . Muppetlabs
  5. Gardner, Martin. Flexagons  // Scientific American  . - Springer Nature , 1956. - Joulukuu ( nide 195 , nro 6 ). - s. 162-168 . - doi : 10.1038/scientificamerican1256-162 .
  6. Rogers, Russell E.; Andrea, Leonard DL Vaihdettavat huvilaitteet ja vastaavat . Freepatentsonline.com (21. huhtikuuta 1959). Haettu 30. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2013.
  7. Patentit . Haettu 31. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 18. heinäkuuta 2012.
  8. 12 Scott Sherman . Flexagon nimeäminen ja terminologia . Arkistoitu alkuperäisestä 5. tammikuuta 2009.
  9. 1 2 3 Tiede ja elämä, 1970, nro 3
  10. Les Pook, Flexagons Inside Out
  11. 12 Scott Sherman . Kolmio Flexagon Bestiary . Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2008.
  12. 1 2 Tiede ja elämä, 1975, nro 9
  13. Tiede ja elämä, 1992, nro 4
  14. 1 2 Tiede ja elämä, 1993, nro 11
  15. Tiede ja elämä, 1993, nro 12
  16. 123 Flexagons _ _ _ Matemaattinen Basteleien. Arkistoitu alkuperäisestä 9. maaliskuuta 2017.
  17. 1 2 3 4 5 Tiede ja elämä, 1970, nro 2
  18. OEIS - sekvenssi A000207 n+2:n luokkaa olevien heksaflexagonien lukumäärä
  19. 1 2 3 4 5 6 7 8 Tiede ja elämä, 1977, nro 2
  20. 1 2 3 Scott Sherman. Pinch Flex . Arkistoitu alkuperäisestä 5. tammikuuta 2009.
  21. Tiede ja elämä, 1972, nro 3
  22. 1 2 Tiede ja elämä, 1977, nro 8
  23. Flexagon Portal v-flex video Arkistoitu 6. syyskuuta 2013 Wayback Machinessa
  24. Scott Sherman. V flex . Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2016.
  25. Scott Sherman. Tuck Flex . Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2016.
  26. Scott Sherman. Kolmion Flexagon Flexit . Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2016.
  27. 1 2 Kvant, 1992, nro 10

Kirjallisuus

Kirjat

  • Martin Gardner . Matemaattiset palapelit ja viihde = Mathematical Puzzles and Diversions / Per. Yu. A. Danilova , toim. Ja. A. Smorodinsky . - 2. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  • Les pook. Flexagons Inside Out  . - Cambridge University Press. – 182 s. — ISBN 0-521-81970-9 .
  • Les pook. Vakavaa hauskaa Flexagonsin kanssa : kokoelma ja opas  . - Vuoden 2009 painos (17. elokuuta 2009). - Springer. — 346 s. — ISBN 978-90-481-2502-9 .

Artikkelit

  • A. A. Panov. Flexagons, flexors, flexmans  // Kvant . - 1988. - Nro 7 . - S. 10-14 .
  • I. Kan. Epänormaalit joustokulmat  // Kvant. - 1992. - Nro 10 . - S. 57-59 .
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1970. - Nro 1 . - S. 124-125 . Trihexaflexagon
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1970. - Nro 2 . - S. 68-69 . Hexaheksaflexagon, Tuckermanin polku
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1970. - Nro 3 . - S. 154-155 . Muut hexaflexagons
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1970. - Nro 8 . - S. 149 . Kirjeenvaihto lukijoiden kanssa
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1972. - Nro 3 . - S. 142-143 . Tetraflexagonit
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1972. - Nro 4 . - S. 107 . Stonen fleksoputki
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1975. - Nro 7 . - S. 154-155 . Stonen fleksoputki (jatkuu)
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1975. - Nro 9 . - S. 121-123 . Hexatetraflexagon, decatetraflexagon, IUPAC-etuliitteet
  • I. Konstantinov. Flexagon trails  // Tiede ja elämä . - 1977. - Nro 2 . - S. 92-96 , V. Tunnelin siirto
  • Flexagons  // Tiede ja elämä . - 1977. - Nro 8 . - S. 98-99 . Käännöskaavioiden tilamallit. Pentacircodecaflexagon
  • I. Kan. Hemitetraflexagonit  // Tiede ja elämä . - 1992. - Nro 4 . - S. 126-127 . Hemitetraflexagonit
  • I. Kan. Hemitetra- ja hemiheksaflexagonit  // Tiede ja elämä . - 1993. - Nro 11 . - S. 150-152 .
  • I. Kan. Kolmion joustokulmat  // Tiede ja elämä . - 1993. - Nro 12 . - S. 42-43 .

Linkit

  • Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline. Flexagons  (englanniksi) (1962, 2000, 2003). — Joustokulmia käsitteleviä artikkeleita PDF-muodossa. Haettu 30. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2013.
  • Harold V. McIntosh. Flexagon- kokemukseni  . — Sisältää arvokasta historiallista tietoa ja teoriaa; kirjoittajan sivustolla on useita flexagoniin liittyviä papereita, jotka on lueteltu kohdassa [1] . Haettu 30. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2013.