Flexagons ( englanniksi flex , lat. flectere - taita, taivuta, taivuta ja kreikan ωνος - neliö) - litteät mallit paperinauhoista, jotka voivat taittaa ja taivuttaa tietyllä tavalla. Kun flexagon taitetaan, tulevat näkyviin pinnat, jotka olivat aiemmin piilossa flexagon rakenteessa, ja aiemmin näkyneet pinnat menevät sisään.
Monet joustokulmat ovat neliömäisiä (tetraflexagons) tai kuusikulmioita (heksaflexagons). On kuitenkin olemassa muun muotoisia taipuisia kulmia, mukaan lukien suorakulmaiset ja rengasmaiset.
Tasojen erottamiseksi numerot, kirjaimet, kuvaelementit levitetään joustokulman sektoreihin tai yksinkertaisesti maalataan tietyllä värillä.
Ensimmäisen flexagonin löysi vuonna 1939 englantilainen opiskelija Arthur Stone , joka opiskeli silloin matematiikkaa Princetonin yliopistossa Yhdysvalloissa. Letter - kokoinen paperi oli liian leveä mahtumaan A4 - kokoiseen kansioon . Kivi leikkasi paperin reunat irti ja alkoi taittaa syntyneistä nauhoista erilaisia muotoja, joista yksi osoittautui kolmiheksaflexagoniksi [1] [2] .
Pian perustettiin "Flexagon Committee", johon kuuluivat Stonen lisäksi matematiikan jatko-opiskelija Brian Tuckerman , fysiikan jatko-opiskelija Richard Feynman ja matematiikan professori John W. Tukey [2] .
Vuoteen 1940 mennessä Feynman ja Tukey olivat kehittäneet flexagons-teorian, mikä loi perustan kaikelle myöhemmälle tutkimukselle. Teoriaa ei julkaistu kokonaan, vaikka osa siitä löydettiin myöhemmin uudelleen [2] . Hyökkäys Pearl Harboriin keskeytti Flexagon-komitean työn, ja sota hajotti pian kaikki sen neljä perustajaa eri suuntiin [3] .
Flexagons nousi suosioon sen jälkeen, kun Scientific American ilmestyi joulukuussa 1956 Martin Gardnerin ensimmäiseen sarakkeeseen "Mathematical Games", joka oli omistettu kuusikulmioille [4] [5] .
Flexagonit on toistuvasti patentoitu leluiksi, mutta niitä ei ole kaupallistettu laajasti [6] [7] .
Taivutuskulmion pinnat voivat koostua tasasivuisista tai tasakylkistä kolmioista, neliöistä, viisikulmioista jne. Joustokulmio voi sallia tietyn määrän pintoja ilmaantua; jotkut niistä voivat olla poikkeavia (eli sisältävät sektoreita eri numeroilla). Tietyn muotoinen taipuisa kulmio tietyllä määrällä tasoja voidaan valmistaa erilaisista kehitysmuodoista. Lisäksi jopa sama purkaminen voi mahdollistaa erilaisia taittovaihtoehtoja [3] [8] .
Monien flexagonien nimet muodostetaan periaatteella "etuliite (pintojen lukumäärä) + etuliite (muoto) +" taipuisa kulmio ". Ensimmäinen etuliite ilmaisee siis, kuinka monta pintaa flexagonilla on, jotka voivat avautua ennemmin tai myöhemmin, ja toinen osoittaa, kuinka moneen osaan kukin tällainen pinta on jaettu. Esimerkiksi tetratetraflexagon on joustokulmio, jossa on neljä pintaa, joista jokainen koostuu neljästä neliöstä; hexaheksaflexagon - fleksikulmio, jossa on kuusi pintaa, joista jokainen koostuu kuudesta kolmiosta; dodekahexaflexagon - joustokulmio, jossa on kaksitoista ("dodeka") pintaa, joista jokainen koostuu kuudesta ("hexa") sektorista jne. [9]
Flexagoneille ei kuitenkaan ole yleisesti hyväksyttyä nimeämisjärjestelmää. Martin Gardner käytti termejä "tetraflexagon" ja "hexaflexagon" osoittamaan fleksikulmia, jotka koostuivat neliöistä ja kolmioista, ja tetraflexagonin pinnat saattoivat koostua neljästä tai kuudesta neliöstä [3] . Kirjassa Flexagons Inside Out flexagons on merkitty sektorien muodon mukaan (neliö, viisikulmainen jne.) [10] [11]
Myöhemmin 8 ja 12 kolmiomaista sektoria sisältäviä fleksikulmia alettiin kutsua okta- ja dodekaflexagoneiksi [8] . Jos taivutuspintojen sektorit ovat säännöllisiä tai tasakylkisiä kolmioita, niin kuusikulmioiden lisäksi on kolmion muotoisia tetra-, penta-, hepta-, oktaflexagoneja [11] .
Lehdet "Science and Life" käyttivät pääasiassa IUPAC-etuliitejärjestelmää [12] [13] [14] [15] .
Kuusikulmio on tavallisen kuusikulmion muotoinen taipuisa kulmio. Jokainen joustokulmapinta koostuu kuudesta kolmiomaisesta sektorista.
Heksaflexagoneja on monia, jotka vaihtelevat pintojen lukumäärän suhteen. Tunnetut kuusikulmiot, joissa on kolme, neljä, viisi, kuusi, seitsemän, yhdeksän, kaksitoista, viisitoista, neljäkymmentäkahdeksan pintaa; tasojen määrää rajoittaa vain se, että paperin paksuus ei ole nolla [9] [1] [3] [16] [17] .
Heksaheksaflexagonien tyyppien määrä kasvaa nopeasti pintojen lisääntyessä: kuusiokselijoja on 3 tyyppiä, heksaheksaflexagoneja 4 tyyppiä, 12 oktaheksaflexagonaalityyppiä, 27 ennaheksafleksion tyyppiä ja 82 tyyppiä dekaheksaflexagoneja [3] [18] .
TrihexaflexagonNimensä mukaisesti trihexaflexagon on kuusikulmainen joustokulmio, jossa on kolme pintaa. Se on yksinkertaisin kaikista hexaflexagoneista (ei sisällä unaheksaflexagonia ja duohexaflexagonia ). Se on litistetty Möbius-kaistale [1] [3] . Kymmenen tasasivuiseen kolmioon jaetusta paperinauhasta voidaan rullata kolmiheksaflexagon [16] [1] . Trihexaflexagon taitetaan pinch flex -menetelmällä [16] [1] [19] 60 ° käännyksellä jokaisen taitoksen jälkeen.
HexaheksaflexagonHexaheksafleksagon on joustokulma, jossa on kuusi kuusikulmainen pinta. Hexaheksaflexagon voidaan tehdä 19 kolmion pituisesta nauhasta [9] [19] [17] .
Yksinkertaisin tetraflexagon (flexagon neliömäinen pinta) on tritetraflexagon, jossa on kolme pintaa. Vain kaksi kolmesta pinnasta on näkyvissä kullakin hetkellä.
Monimutkaisempi heksatetraflexagon ja dekatetraflexagon kootaan ristinmuotoisesta kalvimesta ilman liimaa [12] . Neliömäisistä kehyksistä voidaan valmistaa myös tetraflexagoneja, joissa on 4 n + 2 tasoa [3] .
Paperin siksakkaistaleista voidaan valmistaa tetratetraflexagoneja ja muita tetraflexagoneja, joissa on 4:llä jaollinen määrä tasoja [21] .
Rengasmainen jousto on taipuisa kulmio, jonka pinta on monikulmioiden "rengas". Etuliitettä "circo" voidaan käyttää nimeämään rengasjoustokulmia, esimerkiksi pentacircodecaflexagon on rengasjoustokulmio, jossa on viisi tasoa, joista jokainen koostuu kymmenestä monikulmiosta (pentagonista) [22] ; trigemicircohexaflexagon - joustokulmio, jossa on kolme pintaa, joista jokainen on rengas ( circo ) säännöllisten kuusikulmioiden ( hexa ) puoliskoista ( hemi ) [14] .
Helppo tapa löytää kaikki kuusikulmion pinnat - Tuckerman-kävely - on pitää joustokulmaa yhdestä kulmasta ja avata mallia, kunnes se lakkaa avautumasta, sitten kiertää joustokulmaa 60° myötäpäivään, ottaa kiinni viereisestä kulmasta ja toistaa, että sama [19] [17] .
Tuckermanin ympärillä kävellessä heksaheksaflexagonin tasot avautuvat järjestyksessä: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (tai päinvastaisessa järjestyksessä), jonka jälkeen järjestys toistetaan. Tätä sekvenssiä kutsutaan Tuckermanin poluksi [19] [17] .
Yllä kuvattua kuusikulmion taittomenetelmää, jota käytetään ohittamaan kaikki tasot (Tuckermanin polut), kutsutaan pinch flexiksi [20] . On olemassa seuraavat menetelmät kuusioflexagonien taittamiseen:
ja muut [26]
Flexagon tasoa (joukko sektoreita), jolla on eri numerot, kutsutaan poikkeavaksi tasoksi ja fleksikulmiota, jolla on näkyvä poikkeava taso (poikkeavassa asennossa), kutsutaan poikkeavaksi taivutuskulmaksi [19] [17] [27] . Epänormaalien tasojen ilmaantuminen on mahdollista riittävän korkealuokkaisissa joustokulmissa, esimerkiksi heksaheksaflexagonissa [19] , dodekaheksaflexagonissa [27] . Yksinkertaisin heksaflexagoni, joka mahdollistaa poikkeavuuksien ilmaantumisen, on tetraheksaflexagon [22] . Poikkeavien tasojen saavuttamiseksi käytetään muita taittomenetelmiä kuin "standardi" pinch flex [19] .
![]() |
---|