Viiden elementin kaava (pallogeometria)

Viiden alkion kaava pallomaisessa trigonometriassa ilmaisee pallomaisen kolmion viiden alkion välisen suhteen [1] .

Kuvaus

Koko peruskaavasarja viidelle elementille kolmion eri kulmille ja sivuille voidaan jakaa kahteen ryhmään:

Kolmea sivua ja kahta kulmaa koskevat kaavat, jotka tunnetaan myös kaavoina sivun sinille ja kulman kosinille . Tässä on yksi niistä [2] :

\sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A,

Kolmea kulmaa ja kahta sivua koskevat kaavat, jotka tunnetaan myös kaavoina kulman sinistä sivun kosiniin . Yksi niistä näyttää tältä:

\sin A\cos b=\sin C\cos B+\cos C\sin B\cos a,

Sivun sinin kaavassa kulman kosiniin sivu ja sen vieressä oleva kulma ilmaistaan kahdella muulla sivulla ja niiden välisellä kulmalla. Jokaiselle sivulle voidaan ottaa yksi kahdesta vierekkäisestä kulmasta, joten tällaisia kaavoja on yhteensä kuusi.

Kulman sinin kaavassa sivun kosinin kanssa sivu ja sen vieressä oleva kulma ilmaistaan kahdella muulla kulmalla ja niiden viereisellä sivulla. Tällaisia kaavoja on myös kuusi.

Kukin kulman sinin kaava sivun kosinin kanssa on kaksoiskappale yhden sivun sinin kaavan kanssa kulman kosinin kanssa, koska minkä tahansa pallomaisen kolmion kulmia ja sivuja täydennetään kehitettyyn kulmaan vastaavan napakolmion sivut ja kulmat . Siksi riittää, kun todistetaan vain sivun sinin ja kulman kosinin kaavat. Lisäksi kaksi kaavaa sivun sinille yhden sisällytetyn kulman kosinin kanssa ja saman sivun sinille toisen sisällytetyn kulman kosinin kanssa saadaan täsmälleen samalla tavalla. Ja näistä kahdesta kaavasta saadaan loput neljä kaavaa sivun sinistä kulman kosiniin käyttämällä kirjainten pyöreää permutaatiota:

$a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$

Siten riittää, kun todistetaan yksi sivun sinin kaavoista kulman kosiniksi.

Todiste

Todistus suoritetaan projektioiden avulla [1] . Kuvassa on pallomainen kolmio ABC pallolla, jonka säde on R ja jonka keskipiste on O. BP on kohtisuorassa sivun b kautta kulkevan suurympyrän tasoon nähden , BM on kohtisuorassa OC :hen nähden , BN on kohtisuorassa OA :ta vastaan . Kolmen kohtisuoran lauseen käänteisenä PM on kohtisuora OC :hen nähden, PN on kohtisuora OA :han nähden . Huomaa, että kulma MPN on b, lisäksi BM = R sin a, BN = R sin c ja OM = R cos a. Seuraavaksi projisoimme katkoviivan NOMP riville, joka sisältää NP .

{\mbox{pr }}NP={\mbox{pr }}NO+{\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP

{\mbox{pr }}NP=NP=BN\cos A=R\sin c\cos A

NO\perp NP\Rightarrow {\mbox{pr }}NO=0

{\mbox{pr }}OM=OM\cos({\frac {\pi }{2}}-\angle MON)=R\cos a\sin b

{\mbox{pr }}MP=MP\cos \angle MPN=MP\cos b=BM\cos(\pi -C)\cos b=-R\sin a\cos b\cos C

Korvaamme neljä viimeistä lauseketta ensimmäisellä ja saamme:

$\sin c\cos A=\cos a\sin b-\sin a\cos b\cos C$

Sovellus

Käyttämällä viiden elementin kaavaa yhdessä joidenkin muiden pallomaisen trigonometrian kaavojen kanssa voidaan saada esimerkiksi kaavoja taivaankoordinaattijärjestelmien muuntamiseen : vaaka- , ekvatoriaalinen, ekliptinen ja galaktinen [3] .

Historia

Viiden alkuaineen kaavan johti Leonhard Euler 1700-luvulla [4] .

Muistiinpanot

↑ 1 2 Stepanov N.N. Viiden elementin kaavat // Pallotrigonometria . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 32 -35. — 154 s.
↑ Spherical Trigonometry arkistoitu 28. helmikuuta 2021 Wayback Machinessa MathWorld- verkkosivustolla
↑ Tsevich V.P. Mitä ja miten tarkkailla taivaalla. - 6. painos - M .: Nauka , 1984. - S. 68-74. — 304 s.
↑ Pallomainen trigonometria // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 osana] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.

Pallomainen trigonometria
Peruskonseptit	pallomainen kolmio napakolmio Ylimääräinen Bigon
Kaavat ja suhteet	Kosinilauseet Sinilause Viiden elementin kaava Puolipuolen kaava Napierin muistisääntö Pallomainen Pythagoraan lause Delambren kaavat Napierin analogiakaavat Legendren lause Kolmioiden ratkaiseminen
liittyvät aiheet	Pallomainen koordinaattijärjestelmä pallomainen geometria kolmikulmainen kulma