Koko elementti

Kokonaislukuelementti on tietyn kommutatiivisen renkaan elementti, jolla on yksikkö suhteessa alirenkaaseen , joka on pelkistetyn polynomin juuri, jonka kertoimet ovat in , eli sellainen , jolle on olemassa sellaisia kertoimia , että: $B$ $A\alajoukko B$ $A$ $b$ $a_j \in A$

b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0

Jos jokainen elementti on kokonaisluku yli , rengasta kutsutaan laajennuskokonaisluvuksi (tai vain renkaaksi, kokonaisluku yli ). $B$ $A$ $B$ $B$ $A$

Jos ja ovat kenttiä , termit "integraali yli ..." ja "integraalilaajennus" vastaavat termejä "algebrallinen yli ..." ja " algebrallinen laajennus ". Erikoistapaus, joka on erityisen tärkeä lukuteoriassa , ovat kompleksiluvut , jotka ovat kokonaislukuja yli , joita kutsutaan algebrallisiksi kokonaisluvuiksi . $A$ $B$ $\mathbb {Z}$

Joukko kaikki elementit kokonaisluku yli , muodostaa renkaan; sitä kutsutaan kokonaisluvun sulkemiseksi . Rationaalisten lukujen kokonaislukusulkemista jossain äärellisen kentän laajennuksessa kutsutaan kokonaislukukenttien renkaaksi , tämä objekti on algebrallisen lukuteorian perusta . $B$ $A$ $A$ $B$ $k$ $\mathbb {Q}$ $k$

Kokonaisluvut ovat ainoat elementit , jotka ovat kokonaislukuja yli (mikä voi selittää termin "kokonaisluku" käytön). Gaussin kokonaisluvut , koska osat alalla kompleksiluvut, ovat kokonaislukuja yli . Kokonaisluvun sulkeminen pyöreässä kentässä on . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} (\zeta )$ $\mathbb {Z} [\zeta ]$

Jos on kentän algebrallinen sulkeminen , niin on integraali yli . Jos äärellinen ryhmä vaikuttaa renkaaseen rengashomomorfismeilla, niin se on kokonaisluku niiden elementtien joukosta, jotka ovat ryhmän toiminnan kiinteitä pisteitä. $\overline{k}$ $k$ $\overline{k}[x_1, \dots, x_n]$ $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $G$ $A$ $A$

Ominaisuudet

Eheys on transitiivinen relaatio: jos rengas on integraali yli ja integraali yli , niin se on integraali yli . $C$ $B$ $B$ $A$ $C$ $A$

On olemassa useita lauseita, jotka vastaavat sanomista, että renkaan elementti on integraalinen : $b$ $B$ $A$

renkaan alirengas on äärellisesti generoitu -moduuli; $A[b]$ $B$ $A$
on olemassa renkaan alirengas , joka sisältää ja ja joka on äärellisesti generoitu -moduuli; $C$ $B$ $A$ $b$ $A$
on olemassa äärellisesti generoitu renkaan -moduuli siten, että ja siitä seuraa, että . $A$ $M$ $B$ $bM\subset M$ $b'M=0$ $b = 0$

Kolmannesta ominaisuudesta on helppo päätellä, että kaikkien elementtien joukko integer over on alirengas (suljettu yhteen- ja kertolaskussa), sitä kutsutaan kokonaisluvun sulkemiseksi in . Jos kokonaisluku sulkeutuu renkaan itsensä kanssa , sitä kutsutaan integraalisesti suljetuksi . Se merkitsee myös sitä, että jos kokonaisluku on ohi , niin se on niiden alirenkaiden liitto (tai vastaavasti suora raja ), jotka ovat äärellisesti generoituja -moduuleja. $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$

Cohen-Seidenbergin nostolause : jos on renkaan kokonaislukulaajennus , niin jokaiselle prime-ideaalille on olemassa prime-ideaali , joka . $S$ $R$ $minä$ $S$ $J$ $R$ $J\cap S=I$

Kiinteästi suljettu rengas

Integraalisuljettu rengas on integraalirengas , joka on kiinteästi suljettu osamääräkenttään .

Jos on integraalisesti suljettu rengas, jolla on osamääräkenttä ja on äärellinen jatke , niin elementti on integraali jos ja vain jos sen minimipolynomin kertoimet kuuluvat : tämä on vahvempi ehto kuin pelkkä integraali, jolle mielivaltaisen polynomin olemassaolo tällä ominaisuudella riittää. Mikä tahansa tekijärengas on kiinteästi suljettu. $A$ $K$ $L$ $K$ $L$ $A$ $A$

Jos on Noetherin integraalirengas, niin se on integraalisesti suljettu silloin ja vain, jos (1) osuu yhteen kaikkien lokalisaatioiden leikkauspisteen kanssa ensisijaisen ideaalin suhteen ja (2) lokalisoinnin kanssa korkeuden 1 alkuideaalin suhteen (eli joka ei sisällä muita nollasta poikkeavia alkuideaaleja) on Dedekind-rengas . Noetherian rengas on myös kiinteästi suljettu, jos ja vain jos se on Krull-rengas . $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

Normaali rengas

Serre ja Grothendieck määrittelevät normaalin renkaan renkaaksi, jonka lokalisointi minkä tahansa alkuideaalin mukaan on kiinteästi suljettu. Tällaisessa renkaassa ei ole nollasta poikkeavia nilpotentteja [1] . Jos on Noetherin rengas, jonka lokalisaatiot suhteessa maksimaalisiin ihanteisiin ovat integraalit, niin se on integraalirenkaiden äärellinen tulo. Tässä tapauksessa, jos on Noetherin normaalirengas, niin tuotteen domeenit ovat kiinteästi suljettuja [2] . Sitä vastoin kiinteästi suljettujen renkaiden suora tulo on normaali. $A$ $A$ $A$

Täysin kiinteästi suljettu rengas

Integraalirenkaan osamääräkentän elementtiä kutsutaan melkein kokonaisluvuksi , jos on olemassa sellainen, että mille tahansa luonnolliselle . Renkaan sanotaan olevan täysin kiinteästi suljettu , jos mikä tahansa melkein kiinteä elementti sen päällä on . Täysin kiinteästi suljetut renkaat ovat kiinteästi suljettuja. Sitä vastoin Noetherin kiinteästi suljetut renkaat ovat täysin kiinteästi suljettuja. $x$ $K$ $A$ $A$ $d\in A$ $dx^n\in A$ $n$ $A$ $A$

Täysin kiinteästi suljetun renkaan muodollisen potenssisarjan rengas on täysin kiinteästi suljettu, kun taas tämä ei pidä paikkaansa mielivaltaisten kiinteästi suljettujen renkaiden kohdalla.

Kiinteästi suljetun ominaisuuden sijainti

Seuraavat kiinteän renkaan ehdot ovat vastaavat: $A$

$A$ kokonaan suljettu;
lokalisointi suhteessa mihin tahansa pääideaaliin on kiinteästi suljettu; $A$
lokalisointi minkä tahansa maksimaalisen ihanteen suhteen on kiinteästi suljettu. $A$

Tällaisia rengasominaisuuksia kutsutaan paikallisiksi ominaisuuksiksi . $A$

Muistiinpanot

↑ Jos kommutatiivisen renkaan lokalisoinnit yli kaikkien maksimiideaalien eivät sisällä nilpotentteja (ne ovat esimerkiksi integraaleja), ne eivät myöskään sisällä niitä. Todellakin, jos on nollasta poikkeava alkio ja n =0, niin ) (alkiot, joiden kertolasku nollaa ) sisältyy johonkin maksimiideaaliin . Lokalisoinnin w kuva on nollasta poikkeava, koska muuten joillekin , ristiriita. Siksi lokalisointi suhteessa kohtaan sisältää nollasta poikkeavan nilpotentin. $R$ $R$ $x$ $R$ $x$ $\mathrm {Ann} (x)$ $x$ $\mathfrak{m}$ $x$ $\mathfrak{m}$ $xs = 0$ $s \not\in \mathfrak{m}$ $R$ $\mathfrak{m}$
↑ Matsumura 1989, s. 64

Kirjallisuus

Bourbaki, Kommutatiivinen algebra.
Kaplansky, Irving. Kommutatiiviset renkaat (neopr.) . - University of Chicago Press , 1974. - (Matematiikan luentoja). — ISBN 0-226-42454-5 .
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. painos), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 .