R-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. toukokuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

R-funktio ( Rvachev -funktio ) - todellisten muuttujien numeerinen funktio , jonka etumerkin määräävät täysin sen argumenttien merkit vastaavalla numeerisen akselin jakovälillä ja . R-funktiot esiteltiin ensimmäisen kerran V. L. Rvachevin [1] [2] [3] teoksissa . Toisin kuin klassinen analyyttinen geometria, R-funktioiden teoria käsittelee ongelmien ja yhtälöiden synteesiä, joilla on tunnetut ominaisuudet. [neljä]

R-funktioiden tutkiminen edellyttää klassisen analyyttisen geometrian lisäksi myös joukkoteoriaa.

Määritelmä

Numeerista funktiota kutsutaan R-funktioksi, jos mukana on Boolen funktio , jolla on sama määrä argumentteja kuin

R-funktion käsite otetaan käyttöön samalla tavalla argumenttien lukumäärälle

Jokaisella R-funktiolla on ainutlaatuinen mukana tuleva Boolen funktio. Päinvastoin ei pidä paikkaansa: sama Boolen funktio vastaa ääretöntä määrää (haaraa) R-funktioita.

R-funktioiden joukko on suljettu R- funktioiden superpositiossa . R - funktiojärjestelmää kutsutaan riittävän täydelliseksi , jos kaikkien elementtien superpositioiden joukolla ( toteutuvien funktioiden joukolla) on ei-tyhjä leikkauspiste R-funktiojoukon kunkin haaran kanssa. Riittävä ehto täydellisyydelle on vastaavien Boolen funktioiden järjestelmän täydellisyys .

Täydelliset R-funktiojärjestelmät

Yleisimmin käytetty täydellinen R-funktioiden järjestelmä on järjestelmä (for ):

Kun meillä on järjestelmä :

Kun meillä on järjestelmä :

Jälkimmäisessä tapauksessa konjunktion ja disjunktion R-funktiot osuvat yhteen sumean logiikan vastaavien t-normien ja t-konormien kanssa :

Sovellukset

R-funktioiden avulla on mahdollista muodostaa implisiittisessä muodossa tunnetuista yksinkertaisten alueiden yhtälöistä komposiittialueiden rajojen yhtälöt. Monimutkaisen alueen rajan kuvaus yksittäisen analyyttisen lausekkeen muodossa mahdollistaa matemaattisen fysiikan raja-arvoongelmien ratkaisemiseksi rakenteita, jotka riippuvat määrittelemättömistä komponenteista ja täyttävät tarkasti rajaehdot . Tällaisten rakenteiden epävarmat komponentit voidaan sitten löytää jollakin variaatio- tai projektiomenetelmällä raja-arvoongelmien ratkaisemiseksi (kollokaatio, Rayleigh-Ritz , Bubnov-Galyorkin-Petrov , pienimmän neliösumman ). R-funktioiden teoriaan perustuvaa menetelmää osittaisdifferentiaaliyhtälöiden raja-arvoongelmien ratkaisemiseksi kutsutaan R-funktioiden rakennemenetelmäksi tai ulkomaisessa kirjallisuudessa RFM :ksi (R-Functions Method).

R-funktioita voidaan pitää äärettömän arvoisen logiikan tai sumean logiikan työkaluna .

R-funktioita käyttävät (lähinnä tieteellisen Harkovin koulukunnan oppilaat) ratkaistakseen laajan luokan matemaattisen fysiikan ongelmia ( kimmoteoria [5] [6] [7] [8] [9] , sähködynamiikka [10] [ 11] [12] , teorian lämmönjohtavuus [13] [14] [15] [16] ), sekä moniulotteisessa digitaalisessa signaali- ja kuvankäsittelyssä [17] , tietokonegrafiikassa ja muilla aloilla.

R-funktioiden ja wavelettien teorian soveltaminen matemaattisen fysiikan raja-arvoongelmien ratkaisuun

Professori V.F. Kravchenko ja hänen oppilaansa A.V. Jurin [12] ehdotti ja perusti uuden menetelmän, joka perustuu R-funktioiden ja WA-funktioiden teoriaan [18] [19] [20] (atomifunktioiden perusteella rakennetut aallot), käyttämällä Galerkin-Petrov-variaatiota. periaate.

Kun tarkastellaan laajaa luokkaa erilaisia ​​fysikaalisia raja-arvoongelmia, tulee välttämättömäksi ratkaista osittaisdifferentiaaliyhtälöt, joissa tutkittavalla alueella on monimutkainen konfiguraatio. Tällaisissa tapauksissa käytetään pääsääntöisesti numeerisia menetelmiä: grid (äärellisten erojen menetelmä, äärelliset elementit, rajaelementit), variaatio- ja projektiomenetelmät (Ritzin menetelmä, Bubnov-Galerkin-Petrov, kollokaatiot, Treftts, pienimmän neliösumman menetelmä, fiktiivisten alueiden menetelmä , R -funktiot). Jokaisella niistä on kuitenkin omat hyvät ja huonot puolensa. Siten ruudukkomenetelmillä on algoritmin korkea hyötysuhde (jonka vuoksi niitä käytetään laajalti), mutta ne eivät ota tarkasti huomioon tutkittavan kohteen geometriaa. Variaatiomenetelmien tapauksessa ei aina ole mahdollista rakentaa kantafunktioita, jotka täyttäisivät kaikki vaaditut ehdot. Siksi niiden käyttö on rajoitettua. Erityisesti on korostettava R-funktioiden menetelmää [11] , jolla on geometristä joustavuutta ja universaalisuutta valitun funktionaalisen minimoimistavan suhteen . Tämän lähestymistavan soveltaminen vaatii huomattavia laskentakustannuksia. Tämä johtuu rakennekaavojen käytöstä, jotka perustuvat R-operaatioiden avulla muodostetun alueen funktioihin. Tällaisilla funktioilla voi olla monimutkainen rakenne, ja niiden integraalien laskemiseksi epästandardin muodon alueella on käytettävä kvadratuurikaavoja suurella tarkkuudella. Wavelet-kannan avulla voidaan ohittaa yllä mainitut haitat niiden ainutlaatuisten ominaisuuksien vuoksi [21] [22] ja kehittää adaptiivinen laskentamalli ilman integrointioperaatiota. Tämä lähestymistapa on mahdollista johtuen erityisten kertoimien käyttöönotosta, jotka heijastavat kantan differentiaali- ja integraaliominaisuuksia, samoin kuin toimialueen funktioiden, rajaehtojen ja yhtälön oikean puolen aallokelaajennuksen kertoimia. Päätyökalu uuden R-funktioihin ja aallotteisiin perustuvan menetelmän toteuttamiseksi on Galerkin-Petrov-kaavio [23] [24] osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Teoksissa [12] [20] elliptisten raja-arvoongelmien ratkaisun esimerkillä on esitetty R-funktioiden menetelmän (V.L. Rvachevin funktiot) tehokkuus yhdessä WA-funktiojärjestelmien [18] kanssa, mikä poistaa kaikki alla mainitut haitat.

Muistiinpanot

  1. ↑ Rvachev V. L. Logiikkaalgebran geometriset sovellukset. - Kiova: Teknika, 1967.
  2. ↑ Rvachev V. L. Logiikan algebran menetelmät matemaattisessa fysiikassa. - Kiova: Nauk. ajatus, 1974.
  3. ↑ Rvachev V. L. R-funktioiden teoria ja jotkin sen sovellukset. - Kiova: Nauk. ajatus 1982.
  4. ↑ Kaledin, Valeri Olegovitš. R-funktioiden teoria: oppikirja sovelletun matematiikan ja informatiikan suunnan korkeakouluille: rec. Venäjän federaation UMO-yliopistot / V. O. Kaledin, E. V. Reshetnikova, V. B. Gridchina; Kemerovon osavaltio. un-t, Novokuznetsk in-t (fil.). - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - Novokuznetsk: NFI KemSU, 2017. - 119 s.
  5. ↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V., Sklepus N. G., Uchishvili L. A. R-funktioiden menetelmä monimutkaisten levyjen taivutus- ja tärinäongelmissa. - Kiova: Naukova Dumka, 1973.
  6. ↑ Rvachev V. L., Protsenko V. S. Elastisuusteorian kontaktiongelmat ei-klassisilla alueilla. - Kiova: Naukova Dumka, 1977.
  7. ↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V. R-funktiot levyteorian ongelmissa. - Kiova: Naukova Dumka 1987.
  8. ↑ Rvachev V. L., Sinekop N. S. R-funktioiden menetelmä elastisuus- ja plastisuusteorian ongelmissa. - Kiova: Naukova Dumka 1990.
  9. ↑ Pobedrya B. E. Numeeriset menetelmät elastisuuden ja plastisuuden teoriassa. - M .: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1995.
  10. ↑ Kravchenko V. F., Basarab M. A. Boolen algebra ja approksimaatiomenetelmät elektrodynamiikan raja-arvoongelmissa. - M.: Fizmatlit, 2004.
  11. ↑ 1 2 Kravchenko VF, Rvachev VL Logiikkaalgebra, atomifunktiot ja aallot fysikaalisissa sovelluksissa. - M.: Fizmatlit, 2006.
  12. ↑ 1 2 3 V.F. Kravchenko, A.V. Jurin. R-funktioiden ja wavelettien teorian soveltaminen elliptisten raja-arvoongelmien ratkaisuun. Sähkömagneettiset aallot ja elektroniset järjestelmät. 2009. V.14. Numero 3. s. 4-39.
  13. ↑ Rvachev V. L., Slesarenko A. P. Algebrologiset ja projektiomenetelmät lämmönsiirtoongelmissa. - Kiova: Nauk. ajatus, 1978.
  14. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Fysikaalisten prosessien matemaattinen mallintaminen gyroskoopissa. - M .: Radiotekniikka, 2005.
  15. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Mallintamisen ja digitaalisen signaalinkäsittelyn menetelmät gyroskoopiassa. - M.: Fizmatlit, 2008.
  16. ↑ Matveev V. A., Lunin B. S., Basarab M. A. Navigointijärjestelmät, jotka perustuvat aalto-solidstate gyroskooppeihin. - M.: Fizmatlit, 2008.
  17. ↑ Digitaalinen signaali- ja kuvankäsittely radiofysikaalisissa sovelluksissa / Ed. V. F. Kravchenko. - M.: Fizmatlit, 2007.
  18. ↑ 1 2 V.F. Kravchenko, O.S. Labunko, A.M. Lehrer, G.P. Sinyavsky. Luku 3, 4 // Laskennalliset menetelmät modernissa radiofysiikassa. Alla. toim. V.F. Kravchenko. - Moskova: Fizmatlit, 2009.
  19. ↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Jurin A.V. Atomien, WA-järjestelmien ja R-funktioiden perheiden soveltaminen radiofysiikan moderneihin ongelmiin. Osa II // Radiotekniikka ja elektroniikka: Katsaus. - 2015. - Nro T. 60. Nro 2 . - S. 109-148 .
  20. ↑ 1 2 Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Jurin A.V. Atomien, WA-järjestelmien ja R-funktioiden perheiden soveltaminen radiofysiikan moderneihin ongelmiin. Osa IV // Radiotekniikka ja elektroniikka. - 2015. - T. 60 , nro 11 . - S. 1113-1152 .
  21. ↑ Dobeshi I. Kymmenen luentoa aalloista. Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2001.
  22. ↑ Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Roisketeoria. Moskova: Fizmatlit, 2006.
  23. ↑ Aubin J.P. Elliptisten raja-arvoongelmien likimääräinen ratkaisu. M.: Mir, 1972.
  24. ↑ Krasnoselski M.A., Vainenko G.M., Zabreiko P.P., Rutitsky Ya.B., Stetsenko V.Ya. Operaattoriyhtälöiden likimääräinen ratkaisu. Moskova: Nauka, 1969.

Katso myös

Linkit