Z-muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Z-muunnos ( Laurent -muunnos ) on alkuperäisen signaalin konvoluutio, joka saadaan aika-alueen reaalilukujen sarjasta, kompleksisen taajuuden analyyttiseksi funktioksi . Jos signaali edustaa lineaarisen järjestelmän impulssivastetta , niin Z-muunnoskertoimet osoittavat järjestelmän vasteen kompleksisiin eksponentiaaleihin eli harmonisiin värähtelyihin eri taajuuksilla ja nousu-/vaimennusnopeuksilla. $E(n)=z^{{-n}}=r^{{-n}}e^{{-i\omega n}}$

Määritelmä

Z-muunnos, kuten monet integraalimuunnokset, voidaan määrittää yksipuoliseksi ja kaksipuoliseksi .

Kaksisuuntainen Z-muunnos

Diskreetin aikasignaalin kaksipuolinen Z-muunnos saadaan seuraavasti: $X(z)$ $x[n]$

X(z)=Z\{x[n]\}=\summa _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

missä on kokonaisluku ja on kompleksiluku. $n$ $z$

z=Ae^{{j\varphi }},

missä on amplitudi ja kulmataajuus ( radiaaneina näytettä kohti) $A$ $\varphi$

Yksisuuntainen Z-muunnos

Tapauksissa, joissa se on määritetty vain arvolle , yksipuolinen Z-muunnos saadaan seuraavasti: $x[n]$ $n\geqslant 0$

X(z)=Z\{x[n]\}=\summa _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

Käänteinen Z-muunnos

Käänteinen Z-muunnos määritellään esimerkiksi seuraavasti:

x[n]=Z^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{{C}}X(z)z ^{{n-1}}\,dz,

missä on ääriviiva, joka sulkee sisäänsä lähentymisalueen . Ääriviivan tulee sisältää kaikki jäännökset . $C$ $X(z)$ $X(z)$

Kun edellinen kaava kirjoitetaan , saadaan vastaava määritelmä: $z=re^{{j\varphi }}$ $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{\pi }X(re^{{j\varphi }}) e^{{jn\varphi }}\,d\varphi .$

Lähentymisalue

Konvergenssialue on tietty joukko pisteitä kompleksitasolla, jossa sarjalla on äärellinen raja : $D$

D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const <\infty\right\}.

Esimerkki 1 (ei konvergenssialuetta)

Anna . Laajentamalla väliä saamme $x[n]=0{,}5^{n}$ $x[n]$ $(-\infty ,\;\infty )$

x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1 };\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ; \;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,} 5^{3};\;\ldots\}.

Katsotaanpa summaa:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .

Siksi ei ole olemassa sellaisia arvoja , jotka täyttäisivät konvergenssiehdon. $z$

Suhde Laplace-muunnoksen kanssa

Bilineaarista muunnosta voidaan käyttää jatkuvan ajan muuntamiseen esimerkiksi kuvattaessa analyyttisesti Laplace-muunnoksen edustamia lineaarisia suodattimia diskreeteiksi aikanäytteiksi, joiden jakso on esitetty z-alueella ja päinvastoin. Tämä muunnos käyttää muuttujan substituutiota: $T,$

s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1))).

Käänteinen siirtyminen z-muunnoksesta Laplace-muunnokseen suoritetaan samanlaisella muuttujan muutoksella:

z={\frac {2+sT}{2-sT)).

Bilineaarinen muunnos kuvaa Laplace-muunnoksen kompleksisen s-tason z-muunnoksen kompleksiseen z-tasoon. Tämä kuvaus on epälineaarinen ja sille on tunnusomaista, että se kuvaa s-tason akselin yksikköympyrään z-tasossa. $s=\sigma +j\omega$ $j\omega$

Siten Fourier-muunnos , joka on muuttujan Laplace-muunnos , menee diskreettiaikaiseen Fourier-muunnokseen. Oletetaan, että Fourier-muunnos on olemassa, eli akseli on Laplace-muunnoksen konvergenssialueella. $j\omega$ $j\omega$

Joidenkin Z-muunnosten taulukko

Nimitykset:

$\theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\oikea.$ on Heaviside-toiminto .
$\delta[n]=1$ for , ja kaikille muille n on delta-sekvenssi (ei pidä sekoittaa Kronecker-deltasymboliin ja Dirac-delta-funktioon). $n = 0$ $\delta[n]=0$

	signaali, $x[n]$	Z-muunnos, $X(z)$	Lähentymisalue
yksi	$\delta[n]$	$yksi$	$\forall z$
2	$\delta[n-n_{0}]$	${\frac {1}{z^{{n_{0))))}$	$z\neq 0$
3	$\theta[n]$	${\frac {z}{z-1}}$	$\|z\|>1$
neljä	$a^{n}\theta[n]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|>\|a\|$
5	$na^{n}\theta[n]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|>\|a\|$
6	$-a^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|<\|a\|$
7	$-na^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|<\|a\|$
kahdeksan	$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{ {-2}}}}$	$\|z\|>1$
9	$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{- 2}}}}$	$\|z\|>1$
kymmenen	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{ 2}z^{{-2}}}}$	$\|z\|>\|a\|$
yksitoista	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z ^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|$

Katso myös

Linkit

Weisstein, Eric W. Z-Transform (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Döch G. Opas Laplace-muunnoksen ja Z-muunnoksen käytännön soveltamiseen. R. Herschelin kokoamien taulukoiden avulla: Per. saksasta. Sarja: Insinöörin fysikaalis-matemaattinen kirjasto. 1971. 288 s.

Digitaalinen signaalinkäsittely
Teoria	Signaali diskreetti signaali Kotelnikovin lause Tilastollisten arvioiden teoria Signaalin havaitsemisen teoria
alajaksot	Digitaalinen äänisignaalin käsittely Automaattisen ohjauksen teoria Digitaalinen kuvankäsittely Puheenkäsittely Tilastollinen signaalinkäsittely
Tekniikat	Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Aikadiskreetti Fourier-muunnos (DTFT) Impulssivasteen Bilineaarinen muunnos Johdonmukainen Z-muunnos Muokattu Z-muunnos
Näytteenotto	Supersampling osanäytteenotto Tarkkuuden vähentäminen Resoluution lisäys Aliasing suodatin Näytteenottotaajuus Nyquist-taajuus