Variaatioperiaatteet

Mekaniikan periaatteet ovat alkuasentoja, jotka heijastavat sellaisia mekaanisten ilmiöiden yleisiä lakeja, että niistä voidaan saada seurauksena kaikki mekaanisen järjestelmän liikkeen (tai sen tasapainon ehdot) määräävät yhtälöt. Mekaniikan kehityksen aikana luotiin useita tällaisia periaatteita, joista jokainen voidaan pitää mekaniikan perustana, mikä selittyy mekaanisten ilmiöiden ominaisuuksien ja kuvioiden moninaisilla. Nämä periaatteet on jaettu ei- variatiivisiin ja variaatioihin .

Muuttumattomat periaatteet

Mekaniikan ei-variaatioperiaatteet määrittävät suoraan liikelait, jotka järjestelmä suorittaa siihen kohdistuvien voimien vaikutuksesta. Näitä periaatteita ovat esimerkiksi Newtonin 2. laki , jonka mukaan järjestelmän minkä tahansa pisteen liikkuessa sen massan ja kiihtyvyyden tulo on yhtä suuri kuin kaikkien pisteeseen kohdistuvien voimien summa , sekä d'Alembert. periaate .

Ei-variaatioperiaatteet pätevät kaikkiin mekaanisiin järjestelmiin ja niillä on suhteellisen yksinkertainen matemaattinen lauseke. Niiden soveltamista rajoittaa kuitenkin vain mekaniikan kehys, koska sellainen puhtaasti mekaaninen käsite kuin voima tulee suoraan periaatteiden ilmaisuihin . Myös seuraava on merkittävää. Useimmissa mekaniikan ongelmissa tarkastellaan ei-vapaiden järjestelmien liikettä, eli järjestelmiä, joiden liikkeitä rajoittavat rajoitukset . Esimerkkejä tällaisista järjestelmistä ovat kaikenlaiset koneet ja mekanismit, joissa liitännät ovat laakerit, saranat, kaapelit jne. sekä maakuljetuksia varten tiepohja tai kiskot. Ei-vapaan järjestelmän liikkeen tutkimiseksi ei-variaatioperiaatteiden pohjalta on välttämätöntä korvata sidosten toiminnan vaikutus joillakin voimilla, joita kutsutaan sidosten reaktioksi . Mutta näiden reaktioiden suuruudet eivät ole tiedossa etukäteen, koska ne riippuvat siitä, mitä ne ovat yhtä suuret ja missä järjestelmään vaikuttavat tietyt ( aktiiviset ) voimat kohdistuvat, kuten esimerkiksi painovoima , jousen elastisuus , työntövoima jne. . ja myös siitä, miten järjestelmä liikkuu. Siksi kootetut liikeyhtälöt sisältävät ylimääräisiä tuntemattomia määriä rajoitusreaktioiden muodossa, mikä yleensä vaikeuttaa merkittävästi koko ratkaisuprosessia.

Variaatioperiaatteiden etuna on, että niistä saadaan välittömästi vastaavan mekaanisen järjestelmän liikeyhtälöt, jotka eivät sisällä tuntemattomia rajoitusreaktioita. Tämä saavutetaan sillä, että yhteyksien toiminnan vaikutusta ei oteta huomioon korvaamalla niitä tuntemattomilla voimilla (reaktioilla), vaan ottamalla huomioon ne siirtymät tai liikkeet (tai nopeuden ja kiihtyvyyden lisäykset), jotka tämän järjestelmän pisteet voi olla näiden yhteyksien läsnä ollessa. Esimerkiksi jos piste M liikkuu tiettyä sileää (ideaalista) pintaa pitkin, joka on sille yhteys, niin tämän yhteyden vaikutus voidaan ottaa huomioon.

sidoksen korvaaminen aiemmin tuntemattomalla reaktiolla N , joka on suunnattu milloin tahansa normaalia n :tä pitkin pintaan (koska sidos ei salli pisteen liikkua tähän suuntaan).
todettuaan, että tässä tapauksessa pisteen missä tahansa sen asemassa vain sellaiset alkeissiirtymät ovat mahdollisia, jotka ovat kohtisuorassa normaaliin n nähden . Tällaisia liikkeitä kutsutaan mahdollisiksi ( virtuaalisiksi ) liikkeiksi .
huomata, että tässä tapauksessa pisteen liike jostain paikasta A paikkaan B on mahdollista vain mitä tahansa pinnalla olevaa käyrää AB pitkin , joka on yhteys. Tällaisia liikkeitä kutsutaan kinemaattisesti mahdollisiksi .

Variaatioperiaatteet

Variaatioperiaatteiden sisältö on, että ne luovat ominaisuuksia (merkkejä), joiden avulla voidaan erottaa mekaanisen järjestelmän todellinen eli tiettyjen voimien vaikutuksesta todella tapahtuva liike sen tietyistä kinemaattisesti mahdollisista liikkeistä (tai järjestelmän tasapainotila sen muista mahdollisista tiloista). Yleensä nämä ominaisuudet (merkit) koostuvat siitä, että todellisessa liikkeessä jollakin fysikaalisella suurella, joka riippuu järjestelmän ominaisuuksista, on pienin arvo verrattuna sen arvoihin kaikissa harkituissa kinemaattisesti mahdollisissa liikkeissä. Tässä tapauksessa variaatioperiaatteet voivat poiketa toisistaan ilmoitetun fysikaalisen suuren ja harkittujen kinemaattisesti mahdollisten liikkeiden ominaisuuksien sekä itse mekaanisten järjestelmien ominaisuuksien osalta, joihin nämä periaatteet ovat voimassa. Variaatioperiaatteiden käyttö edellyttää variaatiolaskennan menetelmien soveltamista .

Muodossa variaatioperiaatteet jaetaan ns. differentiaaliin, jossa todetaan, kuinka järjestelmän todellinen liike eroaa liikkeistä, jotka ovat kinemaattisesti mahdollisia kulloinkin ajanhetkellä, ja integraaliin, jossa tämä ero todetaan. järjestelmän suorittamille liikkeille rajallisen ajanjakson aikana.

Differentiaalisen variaation periaatteet mekaniikan puitteissa ovat yleisempiä ja pätevät käytännössä kaikkiin mekaanisiin järjestelmiin. Integraalivariaatioperiaatteet yleisimmässä muodossaan pätevät vain ns. konservatiivisissa järjestelmissä, eli järjestelmissä, joissa mekaanisen energian säilymislaki tapahtuu. Toisin kuin differentiaaliset variaatioperiaatteet ja ei-variaatioperiaatteet, ne sisältävät voimien sijaan sellaisen fyysisen suuren kuin energia , mikä mahdollistaa näiden periaatteiden laajentamisen ei-mekaanisiin ilmiöihin, mikä tekee niistä tärkeitä koko teoreettisen fysiikan kannalta .

Differentiaaliperiaatteet

Tärkeimmät differentiaalisen vaihtelun periaatteet ovat:

mahdollisten siirtymien periaate , joka määrittää tasapainotilan mekaaniselle järjestelmälle, jossa on ihanteelliset liitännät; Tämän periaatteen mukaan mekaanisen järjestelmän tasapainoasennot eroavat kaikista muista sille mahdollisista asennoista siten, että vain tasapainoasennossa on kaikkien järjestelmään kohdistuvien (aktiivisten ja reaktiivisten) voimien perustöiden summa järjestelmän mahdollisessa siirtymässä. on yhtä suuri kuin nolla.
d'Alembert-Lagrangen periaate , jonka mukaan ihanteellisten yhteyksien omaavan mekaanisen järjestelmän todellinen liike eroaa kaikista kinemaattisesti mahdollisista liikkeistä siten, että vain todellisen liikkeen osalta kullakin ajanhetkellä on kaikkien aktiivisten, reaktiivisten ja reaktiivisten elementtien töiden summa. järjestelmään kohdistetut inertiavoimat kaikissa mahdollisissa siirtymäjärjestelmissä on nolla. Näissä variaatioperiaatteissa katsottu fyysinen suure on voimien työtä.

Differentiaaliset variaatioperiaatteet sisältävät myös Gaussin periaatteen ( vähimmän rajoituksen periaate ), jossa tarkasteltavana oleva fysikaalinen suure on ns. "pakko", joka ilmaistaan järjestelmän pisteiden annetuilla voimilla ja kiihtyvyyksillä, sekä läheinen Hertz -periaate ( pienimmän kaarevuuden periaate ).

Integraaliperiaatteet

Integraalivariaatioperiaatteet sisältävät pienimmän (stationaarisen) toiminnan periaatteet , joiden mukaan järjestelmän kahden asennon välisten kinemaattisesti mahdollisten liikkeiden joukossa tosi on se, jolle fysikaalisella suurella, jota kutsutaan toiminnaksi, on vähimmäisarvo. . Näiden periaatteiden eri muodot eroavat toisistaan toiminnan suuruuden valinnassa ja järjestelmän kinemaattisesti mahdollisten liikkeiden ominaisuuksissa toisiinsa verrattuna.

Mekaanisten järjestelmien ominaisuuksia ja niiden liikelakeja tutkittaessa vakiinnutettiin sekä ei-variaatio- että variaatioperiaatteet. Koska mekaaniset ilmiöt, kuten muutkin fysikaaliset ilmiöt, ovat monien säännönmukaisuuksien alaisia, useat periaatteet, mukaan lukien variaatio, osoittautuvat päteviksi vastaaville mekaanisille järjestelmille. Jos jompikumpi niistä otetaan alkuun, niin siitä seurauksena ei saada vain tietyn järjestelmän liikeyhtälöt, vaan myös kaikki muut tälle järjestelmälle pätevät periaatteet.

Sovellus

Variaatioperiaatteita käytetään sekä mekaanisten järjestelmien liikeyhtälöiden laatimiseen yksinkertaisimmassa muodossa että näiden liikkeiden yleisten ominaisuuksien tutkimiseen. Käsitteiden tarkoituksenmukaisella yleistyksellä niitä käytetään myös jatkumomekaniikassa , termodynamiikassa , sähködynamiikassa , kvanttimekaniikassa , suhteellisuusteoriassa jne. Variaatioperiaatteiden, erityisesti Lagrange-periaatteen, toteuttamisen kannalta erotetaan erilaisia menetelmiä. Yleisessä tapauksessa Lagrangian stationaarisuuden vaatimus antaa osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmän ja vastaavan alkuraja-arvoongelmien spektrin ( Euler-yhtälöt ). Jos yleinen muotoilu on kolmiulotteinen, Vlasovin menetelmä mahdollistaa ongelman ulottuvuuden pienentämisen, pelkistäen sen kaksiulotteiseksi (esimerkki - kuoriteoria ), tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmäksi (esimerkki - sauvateoria ) tai äärelliseen / äärettömään algebralliseen yhtälöjärjestelmään ( Rayleigh-Ritz - menetelmä , elementtimenetelmä ).

Historia

Jopa muinaiset luonnonfilosofit (esimerkiksi Aristoteles ) olettivat, että "luonto ei tee mitään turhaan ja valitsee kaikissa ilmenemismuodoissaan lyhimmän tai helpoimman polun" [1] . Termien "lyhyin" tai "kevyin" erityistä merkitystä ei kuitenkaan määritelty [2] . Claudius Ptolemaios osoitti, että kun valonsäde heijastuu, sen kokonaispolku on lyhin, kun tulokulma on yhtä suuri kuin käytännössä havaittavissa oleva heijastuskulma. Hän kuitenkin varoitti, että valon taittumisen tapauksessa polku (katkoviiva) ei olisi enää lyhin [3] .

Tieteen historian ensimmäisen variaatioperiaatteen muotoili Pierre de Fermat vuonna 1662 ja hän viittasi erityisesti valon taittumiseen. Fermat osoitti, että tässä tapauksessa kriteerinä ei ole polku, vaan aika - säde taittuu sellaisessa kulmassa, että kokonaismatka-aika on minimaalinen [4] . Nykyaikaisessa merkinnässä Fermatin periaate voidaan kirjoittaa seuraavasti:

T=\int _{{{\mathbf {A}}}}^{{{\mathbf {B}}}}{\frac {ds}{v}}=\int _{({\mathbf {A} ))^^{({\mathbf {B))))\mu ds=min

Tässä on väliaineen taitekerroin [3] . $\mu$

Fermatin periaatteen matemaattista tutkimusta ja kehittämistä suoritti Christian Huygens [5] , minkä jälkeen aiheesta keskustelivat aktiivisesti 1600-luvun suurimmat tiedemiehet. Leibniz esitteli toiminnan peruskäsitteen fysiikkaan vuonna 1669 : "Liikkeen muodolliset toiminnot ovat verrannollisia ... aineen määrän, niiden kulkemien etäisyyksien ja nopeuden tuloon."

Rinnakkain mekaniikan perusteiden analysoinnin kanssa kehitettiin menetelmiä variaatioongelmien ratkaisemiseksi. Isaac Newton teoksessa " Mathematical Principles of Natural Philosophy " (1687) asetti ja ratkaisi ensimmäisen variaatioongelman: löytää sellainen muoto kiertokulkukappaleesta, joka liikkuu vastustavassa väliaineessa akseliaan pitkin, jolle koettu vastus olisi pienin. . Melkein samanaikaisesti ilmaantui muita variaatioongelmia: brachistochrone (1696), ajojohdon muoto jne.

Ratkaisevat tapahtumat tapahtuivat vuonna 1744. Leonhard Euler julkaisi ensimmäisen yleisen teoksen variaatioiden laskemisesta ("Menetelmä käyrien löytämiseksi, joilla on maksimin tai minimin ominaisuudet") ja Pierre-Louis de Maupertuis tutkielmassaan "Sopimus erilaisista luonnonlaeista, jotka tähän asti vaikutti yhteensopimattomalta" antoi vähimmän toiminnan periaatteen ensimmäisen muotoilun : "Valon seuraama polku on polku, jolla toiminnan määrä on pienin." Hän osoitti tämän lain täyttyvän sekä valon heijastuksen että taittumisen osalta. Vastauksena Maupertuisin artikkeliin Euler julkaisi (samana vuonna 1744) teoksen "Heitettyjen kappaleiden liikkeen määrittämisestä vastustamattomassa väliaineessa maksimien ja minimien menetelmällä", ja tässä työssä hän antoi Maupertuisin periaate on yleinen mekaaninen luonne: "Koska kaikki luonnonilmiöt noudattavat jotakin maksimin tai minimin lakia, ei ole epäilystäkään siitä, että kaarevilla viivoilla, jotka kuvaavat heitettyjä kappaleita, kun niihin vaikuttavat voimat, jokin maksimi- tai minimiominaisuus Lisäksi Euler muotoili tämän lain: kehon liikerata suorittaa hän sitten soveltaa sitä, johtaen liikkeen lait yhtenäisessä gravitaatiokentässä ja useissa muissa tapauksissa. $\int mv\ds$

Vuonna 1746 Maupertuis yhtyi uudessa teoksessaan Eulerin näkemykseen ja julisti hänen periaatteensa yleisimmän version: ”Kun luonnossa tapahtuu tietty muutos, tämän muutoksen edellyttämä toiminnan määrä on pienin mahdollinen. Toiminnan määrä on kappaleiden massan, niiden nopeuden ja niiden kulkeman matkan tulos. Tätä seuranneessa laajassa keskustelussa Euler kannatti Maupertuisin prioriteettia ja puolusti uuden lain universaalia luonnetta: "koko dynamiikka ja hydrodynamiikka voidaan paljastaa yllättävän helposti pelkkien maksimien ja minimien menetelmän avulla" [3] .

Uusi vaihe alkoi vuosina 1760-1761, jolloin Joseph Louis Lagrange esitteli funktion variaation tiukan käsitteen, antoi variaatiolaskelmille nykyaikaisen ilmeen ja laajensi pienimmän toiminnan periaatteen mielivaltaiseen mekaaniseen järjestelmään (eli ei vain ilmaiset materiaalipisteet). Tämä merkitsi analyyttisen mekaniikan alkua. Periaatteen lisäyleistyksen suoritti Carl Gustav Jacob Jacobi vuonna 1837 - hän käsitteli ongelmaa geometrisesti variaatioongelman ääriarvojen löytämisenä konfiguraatioavaruudessa ei-euklidisella metriikalla. Erityisesti Jacobi huomautti, että ulkoisten voimien puuttuessa järjestelmän liikerata on geodeettinen viiva konfiguraatioavaruudessa [3] .

Vuosina 1834-1835 William Rowan Hamilton julkaisi vielä yleisemmän variaatioperiaatteen, josta kaikki aikaisemmat seurasivat erikoistapauksina:

\delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L({\mathbf {q}}(t),{\mathbf {{ \piste {q}}}}(t),t)\ dt=0

Tässä on dynaamisen järjestelmän Lagrangian ja ovat yleistetyt koordinaatit . Hamilton asetti tämän periaatteen " Hamiltonin mekaniikkansa " perustaksi ja antoi variaatioongelman ratkaisun " kanonisten yhtälöiden " muodossa. $L$ $q$

Hamiltonin lähestymistapa osoittautui monipuoliseksi ja erittäin tehokkaaksi fysiikan matemaattisissa malleissa, erityisesti kvanttimekaniikassa . Sen heuristinen vahvuus vahvistettiin yleisen suhteellisuusteorian luomisessa , kun David Hilbert sovelsi Hamiltonin periaatetta johtamaan painovoimakentän lopulliset yhtälöt (1915).

Katso myös

Variaatiosarja

Kirjallisuus

Mekaniikan variaatioperiaatteet. Moskova: Fizmatgiz, 1959.
Rumyantsev VV Leonhard Euler ja mekaniikan variaatioperiaatteet // Leonard Euler 1707-1783. Kokoelma artikkeleita ja aineistoa 150-vuotispäivän kunniaksi .. - M. - L . : Neuvostoliiton Tiedeakatemian kustanta, 1935. - S. 180-207. .

Muistiinpanot

↑ Euler L. Väitös vähimmän toiminnan periaatteesta, jossa analysoidaan tunnetuimman prof. Koenig, esitti tätä periaatetta vastaan // Mekaniikan variaatioperiaatteet. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96-108.
↑ Rumjantsev V.V., 1935 , s. 181..
↑ 1 2 3 4 Spassky B. I. Fysiikan historia, kahdessa osassa . - Toim. 2. - M . : Higher School, 1977. - T. I. - S. 198-205.
↑ Fermat P. Taittumisen synteesi // Mekaniikan variaatioperiaatteet. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96-108.
↑ Huygens X. Trakaatti valosta. M.-L.: Gostekhnzdat, 1935. 172 s.