Laplace-vektorioperaattori

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. lokakuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Vektori Laplace-operaattori ( tai vektori Laplacian ) on toisen asteen vektoridifferentiaalioperaattori , joka on määritelty vektorikentän yli ja merkitty symbolilla [1] , joka on samanlainen kuin skalaari-Laplace-operaattori . Vektori-Laplace-operaattori toimii vektorikentässä ja sillä on vektoriarvo, kun taas skalaari-Laplacian -operaattori toimii skalaarikentässä ja sillä on skalaariarvo. Laskettaessa karteesisia koordinaatteja, tuloksena oleva vektorikenttä vastaa alkuperäisen vektorin yksittäisiin komponentteihin vaikuttavan skalaari-Laplacian vektorikenttää. $\Delta$

Koska vektori ja skalaari laplalaiset on merkitty samalla symbolilla, kreikkalaisella isolla kirjaimella delta , mutta ne ovat erilaisia matemaattisia kokonaisuuksia, tässä artikkelissa vektori Laplacian on merkitty mustalla ja skalaari Laplacian sinisellä.

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} ={\väri {sininen}\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\color {blue}\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{ \väri {sininen}\Delta }A_{z}\mathbf {k}$ [2]

$\Delta \mathbf {A} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)) {\osittais y^{2))}+{\frac {\osittinen ^{2}A_{y)){\osittainen z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Määritelmä

Vektorikentän vektori -Laplace-operaattori määritellään seuraavasti: $\mathbf {A}$

Nabla -operaattorin kautta :

\Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )

[3] .

Liukuvärin , eron ja kiharan kautta :

\Delta \mathbf {A} =\mathrm {grad} (\mathrm {div} \mathbf {A} )-\mathrm {rot} (\mathrm {rot} \mathbf {A} )

Karteesisissa koordinaateissa vektorikentän vektori Laplacian voidaan esittää vektorina, jonka komponentit ovat vektorikenttäkomponenttien skalaariset Laplacianit : $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

\Delta \mathbf {A} =\vasen\({\väri {sininen}\Delta }A_{x},{\väri {sininen}\Delta }A_{y},{\väri {sininen}\ Delta }A_{z}\oikea\}

[1] ,

missä , ovat vektorikentän komponentit . $A_{x}$ $A_{y}$ $A_{z}$ $\mathbf {A}$

Laplace-vektorin operaattorin lausekkeet muissa koordinaattijärjestelmissä löytyvät artikkelista " Nabla-operaattori eri koordinaattijärjestelmissä ".

Yleistys

Minkä tahansa tensorikentän Laplacian (skalaarit ja vektorit ovat tensorien erikoistapauksia) määritellään tensorigradientin divergenssiksi : $\mathbf {T}$

\Delta \mathbf {T} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {T} )

Jos on skalaari (nolla-asteen tensori), Laplace-operaattori ottaa tavallisen muotonsa. $\mathbf {T}$

Jos on vektori (ensimmäisen asteen tensori), niin sen gradientti on :n kovarianttiderivaata , joka on toisen asteen tensori, ja sen divergenssi on jälleen vektori. Vektorin Laplacian kaava voidaan esittää vektorigradientin lausekkeen hajoamisena: $\mathbf {T}$

\nabla \mathbf {T} =\left\{\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}\right\}={\begin{bmatrix}T_{xx} &T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}

jossa (yleinen näkymä tensorikomponenteista) ja voi ottaa arvoja joukosta . $T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{v)){\partial u))$ $u$ $v$ ${\näyttötyyli \{x,y,z\}}$

Vastaavasti vektorin skalaarituloa ja toisen vektorin gradienttia (toisen asteen tensori), jonka arvo on vektori, voidaan ajatella matriisien tulona:

\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} = {\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{ bmatrix}}

Tämä lauseke riippuu koordinaattijärjestelmästä.

Käyttö fysiikassa

Esimerkki Laplace-vektorioperaattorin käytöstä on Navier-Stokes-yhtälöt viskoosille kokoonpuristumattomalle nesteelle [4] :

\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \ mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)

jossa termi nopeuskentän Laplace-vektorioperaattorilla on nesteen viskositeetti . $\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)$

Tasosähkömagneettisen aallon yhtälöt:

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [5]

$\Delta \mathbf {H} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2))$

Kirjallisuus

Khmelnik S.I. Navier-Stokesin yhtälöt, olemassaolo ja menetelmä globaalin ratkaisun löytämiseksi. - Israel: MiC, 2010. - 106 s. - ISBN 978-0-557-48083-8 .
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Korkeakoulun matemaattinen sanakirja". Kustantaja MPI 1984.
I.V. Saveljev "Yleisen fysiikan kurssi" Osa II

Muistiinpanot

↑ 1 2 Khmilnik, 2010 , liite 1.
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Ylemmän koulun matemaattinen sanakirja". MPI Publishing House 1984. Artikkeli "Laplace-operaattori" ja "Vektorikenttäroottori".
↑ Weisstein, Eric W. Vector Laplacian Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Khmilnik, 2010 , luku 2.
↑ I.V. Saveljev "Yleisen fysiikan kurssi" Osan II kappale "Aaltoyhtälö" s. 398

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet