Hypoelliptinen operaattori

Hypoelliptinen operaattori on osittaisdifferentiaalioperaattori, jonka perusratkaisu kuuluu luokkaan kaikissa avaruuden pisteissä origoa lukuun ottamatta. ${\displaystyle C^{\infty ))$

Määritelmä

Antaa olla todellinen polynomi muuttujissa $P(\xi )$ $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):$

P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\ alfa }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n)),

missä ja . ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n))$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n))$

Määrittelemme vastaavan differentiaalioperaattorin:

P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha } {\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},

missä

D=(D_{1},\ldots ,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j))},\quad j=1, \ldots ,n.

Yleistettyä funktiota kutsutaan differentiaalioperaattorin perusratkaisuksi , jos se on ratkaisu yhtälöön jossa on Diracin deltafunktio . Operaattoria kutsutaan hypoellipsiksi , jos se kuuluu kaikkien luokkaan . [1] [2] ${\mathcal {E}}(x)$ $P(D)$ $P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$ $\delta(x)$ $P(D)$ ${\mathcal {E}}(x)$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $x\neq 0$

Ominaisuudet

Seuraavaa hypoellipsisyyden kriteeriä käytetään usein hypoelliptisen operaattorin määritelmänä: [1]

Lause 1. Operaattori on hypoelliptinen silloin ja vain jos millä tahansa avoimella alueella on yhtälön ratkaisu (yleistetty funktio) $P(D)$ $U\alajoukko {\mathbb {R}}^{n}$ $u(x)$

P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,

millä tahansa oikealla puolella kuuluu myös luokkaan $f\in C^{\infty }(U)$ $u\in C^{\infty }(U).$

Seuraava Hörmanderin laatima hypoellipsisyyden algebrallinen kriteeri pätee myös : [1]

Lause 2. Operaattori on hypoelliptinen silloin ja vain silloin $P(D)$

{\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,

kaikille missä on kuvitteellinen yksikkö . $k=(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$ $i$

Esimerkkejä

Mikä tahansa elliptinen operaattori on hypoelliptinen, kuten Laplace-operaattori [2] .
Lämmönoperaattori on hypoelliptinen, mutta ei elliptinen [2] .
D'Alembert-operaattori ei ole hypoelliptinen [2] .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Hörmander L. Lineaaristen osittaisdifferentiaalioperaattoreiden analyysi. - Moskova: Mir, 1986-1988.
↑ 1 2 3 4 Vladimirov V.S. Matemaattisen fysiikan yleistetyt funktiot. - Moskova: Nauka, 1979.

Kirjallisuus

Hormander L. Lineaaristen differentiaalioperaattoreiden analyysi osittaisilla derivaatoilla. - Moskova: Mir, 1986-1988.
Vladimirov V.S. Matemaattisen fysiikan yleistetyt funktiot. - Moskova: Nauka, 1979.
Yu.V. Egorov , M.A. Shubin. Lineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt. Klassisen teorian perusteet . — Tieteen ja tekniikan tulokset. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. ohjeita. - Moskova: VINITI, 1988. - T. 30. - S. 5-255.
J. Trev. Luentoja lineaarisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä vakiokertoimilla. - Moskova, 1965.

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet