Disyklinen ryhmä

Ryhmäteoriassa disyklinen ryhmä Dic n on ei-kommutatiivinen luokkaa 4n oleva ryhmä (jossa n>=2), joka on kertaluvun 2n syklisen ryhmän jatke . Tätä ryhmää kutsutaan myös yleistetyksi kvaternioniryhmäksi ja sitä merkitään Q 4 n .

Siinä on tarkka järjestys :

mikä tarkoittaa, että Dic n sisältää normaalin alaryhmän H , joka on isomorfinen C 2n :n kanssa . Tekijäryhmä Dic n /H on isomorfinen C2 : lle .

Määritelmä

Disyklinen ryhmä voidaan määritellä ryhmäksi, jonka relaatiot muodostavat elementtien a ja b

• a 2n = 1,
• b 2 \u003d a n ,
• b -1 ab = a -1 .

Näistä suhteista seuraa, että jokainen Dic n :n alkio voidaan kirjoittaa yksiselitteisesti muodossa a k b j , missä 0 ≤ k < 2 n , j = 0 tai 1. Ryhmän järjestys on siis 4n .

Ominaisuudet

Disyklisen ryhmän Z(Dic n ) keskus koostuu kahdesta alkiosta a n ja 1. Sen kommutantti on alkion a 2 generoima alaryhmä , joka on isomorfinen C n :n kanssa .

Disyklinen ryhmä ja kaksitahoinen ryhmä

Disyklisen ryhmän ja dihedraaliryhmän Dih2n välillä on samankaltaisuutta . Näillä ryhmillä on syklinen alaryhmä A = <a>=C 2n ja sisäinen automorfismi , joka vaikuttaa C 2n :ään "heijastuksena": int b (a) = a -1 .

Suhteen b 2 = 1 (dihedraaliselle ryhmälle) korvaaminen b 2 = a n :llä johtaa useisiin eroihin. Kaikilla elementeillä, jotka eivät kuulu alaryhmään <a >, on kertaluku 2 dihedraalisessa ryhmässä ja 4. kertaluokka disyklisessä ryhmässä. Toisin kuin dihedraalinen ryhmä, disyklinen ryhmä Dic n ei ole A:n ja < b >:n puolisuora tulo , koska leikkaus A ∩ < b > ei ole triviaali .

Disyklisellä ryhmällä on täsmälleen yksi kertalukua 2 oleva alkio, nimittäin x = b 2 = a n . Tämä elementti kuuluu ryhmän Dic n keskustaan . Jos relaatio b 2 = 1 lisätään, saadaan dihedraaliryhmä Dih n . Siten tekijäryhmä Dic n /<b 2 > on isomorfinen dihedraalisen ryhmän Dih n kanssa , joka sisältää 2n alkuainetta.

Ryhmän nimi

Matemaattisessa tietosanakirjassa kvaternion ryhmä on erikoistapaus, jossa ryhmän järjestys on potenssi 2. Tässä tapauksessa ryhmä on nilpotentti .

2-ryhmän tapaus

Yleistetyssä kvaternioniryhmässä mikä tahansa Abelin alaryhmä on syklinen [1] . Voidaan osoittaa, että äärellinen p-ryhmä , jolla on tämä ominaisuus (mikä tahansa Abelin alaryhmä on syklinen) on joko syklinen tai yleistetty kvaternioniryhmä [2] . Jos äärellisellä p -ryhmällä on yksi aliryhmä, jonka kertaluku on p , niin se on joko syklinen tai yleistetty kvaternioniryhmä (jossa on potenssi kaksi) [3] . Erityisesti parittoman ominaisuuden äärelliselle kentällä F 2-Sylow-alaryhmä SL 2 ( F ) ei ole Abelin ja sillä on vain yksi luokkaa 2 oleva alaryhmä, joten tämän 2-Sylow-aliryhmän on oltava yleistetty kvaternioniryhmä [4] . Jos p r on F : n kertaluku , missä p on alkuluku, niin 2 -Sylow-alaryhmän SL2 ( F ) kertaluku on 2n , missä n = ord 2 ( p 2 - 1) + ord 2 ( r ).

Katso myös

• Kvaternioniryhmä#Yleistetty kvaternioniryhmä

Muistiinpanot

1. ↑ Brown, 1982 , s. 101, harjoitus 1.
2. ↑ Cartan, Eilenberg, 1999 , s. 262, Lause 11.6.
3. ↑ Brown, 1982 , s. 99, Lause 4.3.
4. ↑ Gorenstein, 1980 , s. 42.

Kirjallisuus

• Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Ryhmäteorian perusteet, Nauka Publishing House, 1972.
• Kenneth S. Brown. Ryhmien kohemologia. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homologinen algebra . - Princeton University Press, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
• D. Gorenstein. Rajalliset ryhmät. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .