5:n neliöjuuri

Irrationaaliset luvut ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α, δ - e - e π ja π
Merkintä	Arvioitu luku √ 5
Desimaali	2,23606797749978969…
Binääri	10.0011110001101111…
kahdessa desimaalissa	2.29BB1325405891918…
Heksadesimaali	2.3C6EF372FE94F82C…
Sexagesimaali	2;14 09 50 40 59 18 …
Rationaaliset likiarvot	7/3 ; _ _ 9/4 ; _ _ 20/9 ; _ _ 29/13 ; _ _ 38/17 ; _ _ 123/55 ; _ _ 161/72 ; _ _ 360/161 ; _ _ 521/233 ; _ _ 682/305 ; _ _ 2207/987 ; _ _ 2889 / 1292 (listattu tarkkuuden kasvaessa)
Jatkuva murto-osa	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots ))))))))))$

2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 2563780489 9414414408 3787822749 6950817615 0773783504 2532677244 4707386358 6360121533 4527088667 7817319187 9165811276 6453226398 5658053576 1350417533 7850034233 9241406444 2086432539 0972525926 2722887629 9517402440 6816117759 0890949849 2371390729 7288984820 8864154268 9894099131 6935770197 4867888442 5089754132 9561831769 2149997742 4801530434 1150359576 6833251249 8815178139 4080005624 2085524354 2235556106 3063428202 3409333198 2933959746 3522712013 4174961420 2635904737 8855043896 8706113566 0045757139 9565955669 5691756457 8221952500 0605392312 3400500928 6764875529 7220567662 5366607448 5853505262 3306784946 3342224231 7637277026 6324076801 0444331582 5733505893 0981362263 4319868647 1946989970 1808189524 2644596203 4522141192 2329125981 9632581110 4170495807 0481204034 5599494350 6855551855 5725123886 4165501026 2436312571 0244496187 8942468290 3404474716 1154557232 0173767659 0460918529 57560357 79 8439805415 5380779064 3936397230 2875606299 9482213852 1773485924 5351512104 6345555040 7024278

Arvon ensimmäiset 1000 merkkiä ovat √ 5 [1] .

5:n neliöjuuri on positiivinen reaaliluku, joka kerrottuna itsellään antaa 5 :n . Se on irrationaalinen ja algebrallinen luku [2] .

Pyöristetty arvo 2,236 on oikea 0,01 prosentin tarkkuudella. Tietokoneen laskennallinen tarkkuus on vähintään 1 000 000 merkkiä [3] .

Voidaan ilmaista jatkuvana murto -osana [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...], peräkkäin nämä ovat murtolukuja:

{\väri {Oliivinvihreä}{\frac {2}{1))},{\frac {7}{3)),{\väri {Oliivivihreä}{\frac {9}{4))},{\frac {20}{9)),{\frac {29}{13)),{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17))},{\frac {123}{55)),{\ väri {Oliivinvihreä}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682} {305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\pisteet

Äärettömän sisäkkäisen radikaalin kautta: $\sqrt{5}={\sqrt{\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...)))}}}\pisteet$

Babylonian menetelmä

Lasketaan juuren , alkaen , jossa : $5$ $r_{0}=2$ $r_{n+1}={\frac {r_{n}+{\tfrac {5}{r_{n)))){2))$

{\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2,2360679779\ldots

Kultainen suhde

Kultainen suhde on luvun 1 aritmeettinen keskiarvo ja 5:n neliöjuuri [4] . ( ) voidaan ilmaista algebrallisesti seuraavasti: $\Phi$ $\varphi =1/\Phi$

{\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi +1=2\Phi -1

\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}.

Fibonacci-luvut voidaan ilmaista 5:n neliöjuurena seuraavasti:

F\left(n\right)={{\Phi ^{n}-(1-\Phi )^{n)) \over {\sqrt {5))}.

Suhde √5 ja päinvastoin antaa mielenkiintoisia riippuvuuksia jatkuvista murtoluvuista Fibonacci- ja Lucas-luvuilla [5] : $\Phi$

{\frac {\sqrt {5}}{\Phi }}=\varphi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}= 1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\pisteet ]

{\frac {\Phi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\varphi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt { 5}}}{10}}=0,72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\pisteet ].

{1,{\frac {3}{2)),{\frac {4}{3)),{\frac {7}{5)),{\frac {11}{8)),{\frac {18}{13)),{\frac {29}{21)),{\frac {47}{34)),{\frac {76}{55)),{\frac {123}{89} }},\pisteet \pisteet [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\pisteet ]

{1,{\frac {2}{3)),{\frac {3}{4)),{\frac {5}{7)),{\frac {8}{11)),{\frac {13}{18)),{\frac {21}{29)),{\frac {34}{47)),{\frac {55}{76)),{\frac {89}{123} }},\pisteet \pisteet [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\pisteet ].

Algebra

Rengas sisältää numeroita muotoa , jossa a ja b ovat kokonaislukuja ja on imaginaariluku . Tämä rengas on esimerkki eheysalueesta , joka ei ole tekijärengas . $\mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]$ $a\,+\,b{\sqrt {-5}}$ ${\sqrt {-5}}=i{\sqrt {5}}$

Numero 6 esitetään tässä renkaassa kahdella tavalla:

6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5)))(1+{\sqrt {-5))).

Kenttä on rationaalisten lukujen Abelin laajennus. $\mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]$

Kronecker-Weberin lauseessa sanotaan, että luvun 5 juuri voidaan ilmaista ykseyden juurien lineaarisena yhdistelmänä :

{\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.

Ramanujanin identiteetit

5:n juuri esiintyy Ramanujan -identiteettien joukossa jatkuvilla murtoluvuilla [6] [7] .

Esimerkiksi Rogers-Ramanujanin tapaus jatkoi murto-osia:

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{{-2\pi }}}{1+{\cfrac {e^{{-4\pi }}}{1+{\cfrac {e ^{{-6\pi }}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {{\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}} }-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi /5}}=e^{{2\pi /5}}\left({ \sqrt {\varphi {\sqrt {5))))-\varphi \right).

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{{-2\pi {\sqrt {5))))}{1+{\cfrac {e^{{-4\pi {\sqrt { 5}}}}}{1+{\cfrac {e^{{-6\pi {\sqrt {5}}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{ \sqrt {5}} \over 1+\left[5^{{3/4}}(\varphi -1)^{{5/2}}-1\right]^{{1/5}}} -\varphi \right)e^{{2\pi /{\sqrt {5))))

4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{{-x{\sqrt {5}}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1 +{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}} {1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}))))))))))))))))))

Todiste irrationaalisuudesta

Osoittakaamme, että luku on irrationaalinen luku. Todistamme ristiriidalla. Oletetaan, että luku voidaan esittää pelkistämättömänä murtolukuna , jossa on kokonaisluku ja luonnollinen luku: ${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {5}}$ ${\frac {n}{m))$ $m$ $n$

{\sqrt {5}}={\frac {n}{m}}\Rightarrow 5={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\Rightarrow 5m^{2} =n^{2}

$n^{2}$ on jaollinen , mikä tarkoittaa, että se on myös jaollinen ; siksi on jaollinen , ja siten myös jaollinen . Toisin sanoen murto-osaa voidaan pienentää, ja tämä on ristiriidassa alkuperäisen väitteen kanssa. Tästä syystä alkuperäinen väite oli väärä, ja se on irrationaalinen luku. $5$ $n$ $5$ $n^{2}$ $25$ $m$ $m^{2}$ $5$ ${\sqrt {5}}$

Katso myös

2:n neliöjuuri
3:n neliöjuuri

Muistiinpanot

↑ Viiden neliöjuuri . Käyttöpäivä: 15. helmikuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 11. syyskuuta 2015. (määrätön)
↑ Dauben, Joseph W. (kesäkuu 1983) Scientific American Georg Cantor ja transfiniittisen joukkoteorian alkuperä. osa 248; Sivu 122.
↑ R. Nemiroff ja J. Bonnell: 5: n neliöjuuren miljoona ensimmäistä numeroa Arkistoitu 5. tammikuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ Browne, Malcolm W. (30. heinäkuuta 1985) New York Timesin hämmentävät kristallit syöksyvät tutkijat epävarmuuteen. Osa: C; Sivu 1. (Huomaa - tämä on laajalti lainattu artikkeli).
↑ Richard K. Guy : "Pienten lukujen vahva laki". American Mathematical Monthly , voi. 95, 1988, s. 675-712
↑ Ramanathan, KG (1984), Rogers-Ramanujanin jatko-osa , Intian tiedeakatemia. Proceedings. Mathematical Sciences T. 93 (2): 67-77 , MR : 813071 , ISSN 0253-4142
↑ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions , < http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html > Arkistoitu 24. tammikuuta 2011 MathWorldin Wayback Machinessa

Linkit

Todiste siitä, että 5:n neliöjuuri on irrationaalinen ( downlink )
Theodorus' Constant arkistoitu 18. maaliskuuta 2020 Wayback Machinessa MathWorldissä

Irrationaalisia lukuja
Apéry-vakio ( ζ(3) ) Erdős-Borweinin vakio ( E ) Feigenbaumin vakiot sofomorian unelma Alkulukuvakio (ρ) Muovinumero (ρ) Kahden logaritmi (ln 2) 12. juuri 2:sta ( 12 √ 2 ) 2:n neliöjuuri ( √ 2 ) 3:n neliöjuuri ( √ 3 ) 5 :n neliöjuuri ( √5 ) Kultainen suhde (φ) Superkultainen suhde (ψ) Hopeaosa ( δS ) e π Gelfond-vakio ( e π ) Gelfond-Schneiderin vakio ( 2 √ 2 ) Käänteinen Fibonaccin vakio (ψ)
transsendenttinen Trigonometrinen