Quaternions ja avaruuskierto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 10 muokkausta .

Kvaternionit tarjoavat kätevän matemaattisen merkinnän tilan suunnalle ja objektien pyörimiselle siinä. Euler-kulmiin verrattuna kvaternionit helpottavat kiertojen yhdistämistä ja välttävät ongelman, että ei pysty pyörimään akselin ympäri riippumatta muiden akseleiden kierrosta (kuvassa). Rotaatiomatriiseihin verrattuna ne ovat laskennallisesti vakaampia ja voivat olla tehokkaampia. Quaternionit ovat löytäneet sovelluksensa tietokonegrafiikassa , robotiikassa , navigoinnissa ja molekyylidynamiikassa .

Kiertotoiminnot [1]

Vallankumouksen tilan esitys

Yksikkönormin kvaternionit , joita kutsutaan myös versoreiksi Hamiltonin mukaan , tarjoavat algebrallisen tavan esittää rotaatio kolmiulotteisesti. Rotaatioiden ja kvaternionien välinen vastaavuus voidaan ensinnäkin toteuttaa itse kiertoavaruuden, ryhmän SO(3) kautta .

Mikä tahansa kierto kolmiulotteisessa avaruudessa on kiertoa tietyn kulman läpi tietyn akselin ympäri. Jos kulma on nolla, akselin valinnalla ei ole merkitystä; näin ollen kierrokset 0°:n kulman läpi ovat piste kiertoavaruudessa ( identtinen kierto). Pienellä (mutta ei-nolla-) kulmalla jokainen mahdollinen kierto tämän kulman läpi on pieni pallo , joka ympäröi identtistä kiertoa, jossa jokainen tämän pallon piste edustaa akselia, joka osoittaa tiettyyn suuntaan (verrattavissa taivaanpalloon ). Mitä suurempi kiertokulma, sitä kauempana kierto on samasta kierrosta; tällaisia kiertoja voidaan pitää samankeskisinä palloina, joiden säde kasvaa. Siten identiteettikiertoa lähellä oleva abstrakti kiertoavaruus näyttää tavalliselta kolmiulotteiselta avaruudesta (joka voidaan esittää myös samankeskisten pallojen ympäröimänä keskipisteenä). Kun kulma kasvaa 360°:een, eri akselien ympärillä olevat kierrokset lakkaavat eroamasta ja alkavat tulla samanlaisiksi toistensa kanssa, jolloin ne ovat yhtä suuret kuin identtinen kierto kulman saavuttaessa 360°.

Voimme nähdä samanlaista käyttäytymistä pallon pinnalla. Jos asetamme itsemme pohjoisnavalle ja alamme piirtää siitä eri suuntiin säteileviä suoria viivoja (eli pituuspiiriviivoja ), ne ensin hajaantuvat, mutta sitten yhtyvät jälleen etelänavalle. Pohjoisnavan ( leveysaste ) ympärille muodostuneet samankeskiset ympyrät kutistuvat yhteen pisteeseen etelänavalla - kun pallon säde on yhtä suuri kuin napojen välinen etäisyys. Jos ajattelemme eri suuntia napasta (eli eri pituusasteet) eri pyörimisakseleiksi ja eri etäisyydet napasta (eli leveysasteet) eri kiertokulmina, niin meillä on tilaa pyörimisille. Tuloksena oleva pallo edustaa kiertoa kolmiulotteisessa avaruudessa, vaikka se on kaksiulotteinen pinta, mikä ei salli hyperpallon mallintamista . Pallon kaksiulotteinen pinta voidaan kuitenkin esittää osana hyperpalloa (kuten ympyrä on osa palloa). Voimme ottaa osan esimerkiksi esittämään kiertoa akselien ympäri x- ja y -tasoissa . On tärkeää huomata, että kiertokulma päiväntasaajaan nähden on 180° (ei 90°); etelänavalle (pohjoisesta) 360° (ei 180°).

Pohjois- ja etelänavat edustavat samaa kiertokulkua. Tämä pätee mihin tahansa kahdelle diametraalisesti vastakkaiselle pisteelle: jos yksi piste on kierto akselin v ympäri kulman läpi , niin piste, joka pyörii kulman läpi akselin − v ympäri, on diametraalisesti vastakkainen . Pyörimisavaruus ei siis ole itse 3-pallo , vaan 3 - puolipallo ( säteinen pallo sen päällä ), jonka pisteet on identifioitu diametraalisesti vastakkaisilla pisteillä ja joka on diffeomorfinen projektiivisen avaruuden kanssa . Useimmissa tarkoituksissa voidaan kuitenkin ajatella, että pyöritykset ovat pallon pisteitä, vaikka niillä on kaksinkertainen redundanssi. $\alpha$ $\scriptstyle 360^{\circ }-\alpha$ $\pi$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

Vallankumousavaruuden määritelmä

Pallon pinnalla olevan pisteen koordinaatit voidaan antaa kahdella numerolla, kuten leveysaste ja pituusaste. Tällainen koordinaatti, kuten pituusaste pohjois- ja etelänavalla, alkaa kuitenkin käyttäytyä loputtomasti (osoittaa degeneraatiota ), vaikka pohjois- ja etelänavat eivät pohjimmiltaan eroa mistään muusta pallon pinnan pisteestä. Tämä osoittaa, että mikään koordinaattijärjestelmä ei voi karakterisoida sijaintia avaruudessa kahdella koordinaatilla. Tämä voidaan välttää sijoittamalla pallo kolmiulotteiseen avaruuteen, karakterisoimalla sitä karteesisilla koordinaateilla ( w , x , y ), sijoittamalla pohjoisnapa ( w , x , y ) = (1, 0, 0), etelään. napa ( w , x , y ) = (−1, 0, 0) ja päiväntasaaja kohdassa w = 0, x ² + y ² = 1. Pallon pisteet täyttävät suhteen w ² + x ² + y ² = 1. Tuloksena saadaan kaksi vapausastetta , vaikka koordinaatteja on kolme. Piste ( w , x , y ) edustaa kiertoa kulman verran akselin ( x , y , 0) ympäri . $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2))}$

Samalla tavalla kolmiulotteisten kiertojen avaruutta voidaan luonnehtia kolmella kulmalla ( Euler-kulmat ), mutta mikä tahansa tällainen esitys alkaa rappeutua joissakin hyperpallon kohdissa. Tämä ongelma voidaan välttää käyttämällä euklidisia koordinaatteja w , x , y , z , missä w ² + x ² + y ² + z ² = 1. Piste ( w , x , y , z ) edustaa kiertoa akseleiden ympäri x , y , z ) kulman mukaan $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Lyhyesti quaternionsista

Kompleksiluku voidaan määritellä ottamalla käyttöön abstrakti symboli i , joka täyttää tavanomaiset algebran säännöt, sekä sääntö . Tämä riittää toistamaan kaikki kompleksilukuaritmeettiset säännöt. Esimerkiksi: $i^{2}=-1$

(a+b{\mathbf {i}})(c+d{\mathbf {i}})=ac+mainos{\mathbf {i}}+b{\mathbf {i}}c+b{\mathbf {i}}d{\mathbf {i}}=ac+mainos{\mathbf {i}}+bc{\mathbf {i}}+bd{\mathbf {i}}^{2}=(ac-bd )+(bc+ad){\mathbf {i}}

Samalla tavalla kvaternionit voidaan määritellä ottamalla käyttöön abstrakteja symboleja i , j , k , joiden kertolasku on annettu säännöllä

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i} \mathbf {j} \mathbf {k} =- yksi

{\mathbf {i}}{\mathbf {j}}=-{\mathbf {j}}{\mathbf {i}}={\mathbf {k}}

{\mathbf {j}}{\mathbf {k}}=-{\mathbf {k}}{\mathbf {j}}={\mathbf {i}}

{\mathbf {k}}{\mathbf {i}}=-{\mathbf {i}}{\mathbf {k}}={\mathbf {j}}

ja kertominen reaaliluvuilla määritellään tavalliseen tapaan, ja kertomisen oletetaan olevan assosiatiivista , mutta ei kommutatiivista (esimerkki ei-kommutatiivisesta kertolaskusta on myös matriisikerto ). Tästä seuraavat esimerkiksi kaikki kvaternionaritmeettiset säännöt

(a+b{\mathbf {i}})(e+h{\mathbf {k}})=ae+be{\mathbf {i}}-bh{\mathbf {j}}+ah{\mathbf { k}}

Kvaternionin kuvitteellinen osa käyttäytyy samalla tavalla kuin vektori , ja reaaliosa a käyttäytyy samalla tavalla kuin skalaari in . Kvaternioneja käytettäessä Hamiltonin mukaan niitä voidaan kuvata skalaarin ja vektorin summana ja käyttää vektori- ja skalaarituloja ja (jonka ideaa kvaternionit ehdottivat). Lisäksi ne liittyvät tavanomaiseen kvaternionin kertomiseen seuraavalla kaavalla: $b{\mathbf {i}}+c{\mathbf {j}}+d{\mathbf {k}}$ $(b,c,d)\in \mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb {R}$ $\ajat$ $\cdot$

{\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}}={\mathbf {vw}}+{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}}

Ristitulo on ei-kommutatiivinen, kun taas skalaari-skalaari- ja skalaarivektoritulot ovat kommutatiivisia. Nämä säännöt seuraavat:

(s+{\mathbf {v}})(t+{\mathbf {w}})=(st-{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}})+(s{\mathbf {w} }+t{\mathbf {v}}+{\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}})

Nollasta poikkeavan kvaternionin käänteisarvo (vasen ja oikea) on $s+{\mathbf {v}}$

(s+{\mathbf {v}})^{{-1}}={\frac {s-{\mathbf {v}}}{s^{2}+|{\mathbf {v}}|^{ 2}}}

joka voidaan todentaa suoralla laskennalla.

Kierrosavaruuden määritelmä kvaternioneilla

Oletetaan, että ( w , x , y , z ) ovat kiertokoordinaatit edellisen kuvauksen mukaisesti. Sitten kvaternion q voidaan määritellä muodossa

q=w+x{\mathbf {i}}+y{\mathbf {j}}+z{\mathbf {k}}=w+(x,y,z)=\cos(\alpha /2)+{ \mathbf {u}}\sin(\alpha /2)

missä on yksikkövektori. Työ siis $\mathbf {u}$

q{\mathbf {v}}q^{{-1}}

kiertää vektoria kulman verran vektorin antaman akselin ympäri . Kierto on myötäpäivään , jos huomioidaan pyöriminen vektorin suunnassa ; eli vektorin suunta on sama kuin oikean potkurin siirtymissuunta, kun sitä kierretään positiivisen kulman läpi . $\mathbf{v}$ $\alpha$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\alpha$

Voit ottaa kiertojen koostumuksen kvaternioneilla kertomalla ne (kiertojärjestys riippuu kertolaskujärjestyksestä). Joten rotaatiot kvaternioneista ja yhtäläisistä $s$ $q$

pq{\mathbf {v}}(pq)^{{-1}}=pq{\mathbf {v}}q^{{-1}}p^{{-1}}

mikä on sama kuin pyörittäminen päälle ja sitten päälle . $q$ $s$

Kvaternionin kääntäminen on sama kuin kääntäminen vastakkaiseen suuntaan, eli . Kvaternionin neliö on kiertoa kaksoiskulman läpi saman akselin ympäri. Yleisesti ottaen tämä on kiertoa akselin ympäri kulman verran, joka on kertaa suurempi kuin alkuperäinen. Voi olla mikä tahansa reaaliluku sen sijaan $q^{{-1))(q{\mathbf {v}}q^{{-1}})q={\mathbf {v}}$ $q^{n}$ $q$ $n$ $n$ , mikä mahdollistaa kvaternionien käytön sulavasti interpoloimaan kahden paikan välillä avaruudessa.

Yksikkökvaternion kierto

Olkoon u yksikkövektori (kiertoakseli) ja kvaternion. Tavoitteemme on näyttää se $q=\cos {\frac {\alpha }{2))+{\mathbf {u))\sin {\frac {\alpha }{2))$

{\mathbf {v}}'=q{\mathbf {v}}q^{{-1}}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\mathbf {u}} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\mathbf {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\mathbf {u} }\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)

kiertää vektoria v kulman α verran u - akselin ympäri . Avaamalla sulut, saamme:

{\begin{array}{lll}{\mathbf {v}}'&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+({\mathbf { uv))-{\mathbf {vu)))\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\alpha }{2))-{\mathbf {uvu))\sin ^{ 2}{\frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2({\mathbf {u }}\times {\mathbf {v}})\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-({\mathbf {v}}({\) mathbf {u}}\cdot {\mathbf {u}})-2{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}))\sin ^{2}{ \frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)))+({\mathbf {u))\times {\mathbf {v)))(2\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\ alfa }{2)))+{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2 }})\\&=&{\mathbf {v}}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u}} ({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(1-\cos \alpha )\\&=&({\mathbf {v}}-{\mathbf {u}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v))))\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u} }( {\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})\\&=&{\mathbf {v}}_({\bot }}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ kertaa {\mathbf {v}}_({\bot }})\sin \alpha +{\mathbf {v}}_({\|}}\end{array}}

missä ja ovat vektorin v komponentit, jotka ovat kohtisuorassa ja samansuuntaiset u -akselin kanssa, vastaavasti. ${\mathbf {v}}_{{\bot }}$ ${\mathbf {v}}_{{\|}}$

Tuloksena on kaava kiertymiselle kulman α läpi u - akselin ympäri .

Vektorin kertominen −1 :llä eli vastakkaisen kvaternionin ottaminen ei muuta rotaatiota. Erityisesti kvaternionit 1 ja −1 määrittävät molemmat identtisen kierron. Abstraktimmin vektorit kuuluvat SU(2) Lie -ryhmään , joka on diffeomorfinen 3-pallon kanssa. Tämä ryhmä kattaa kiertoavaruuden SO(3) kahdesti.

Neliulotteisen euklidisen avaruuden rotaatio

Neliulotteinen kierto kuvataan kahdella yksikkönormin kvaternionilla, jopa kertomalla molemmat samanaikaisesti arvolla −1.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Samanlaiset kaavat mahdollistavat bikvaternionien soveltamisen kuvaamaan Lorentzin muunnoksia - 4-ulotteisen Minkowski-avaruuden "kiertoja" .

Katso myös

gimbal-jousitus

Muistiinpanot

↑ Rotaatiot, kvaternionit ja kaksoisryhmät / Altmann, Simon L. - Mineola: Dover Publications, 1986. - 317 s.

Kirjallisuus

V.I. Arnold. Kompleksilukujen, kvaternionien ja spinien geometria . — M .: MTSNMO , 2002. — 40 s. — ISBN 5-94057-025-9 .
I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov Hyperkompleksiset numerot (pääsemätön linkki) . — M.: Nauka , 1973. — 144 s.

Linkit

Kenkämerkki, Ken. Quaternion opetusohjelma
Hart, Francis, Kauffman. Quaternion-demo Arkistoitu 25. helmikuuta 2009 Wayback Machinessa
Byung-Uk Lee, Unit Quaternion Representation of Rotation Arkistoitu 27. syyskuuta 2007 Wayback Machinessa
Ibanez, Luis, Quaternion opetusohjelma I
Ibanez, Luis, Quaternion opetusohjelma II
Pyöriminen avaruudessa ja kvaternionit Arkistoitu 30. joulukuuta 2013 Wayback Machinessa
Rotation in 3D with Hypercomplex Numbers Arkistoitu 19. huhtikuuta 2014 Wayback Machinessa
Verzor // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : 66 nidettä (65 osaa ja 1 lisäosa) / ch. toim. O. Yu. Schmidt . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1926-1947.