De Rham -kohomologia

De Rham -kohomologia on kohemologiateoria, joka perustuu differentiaalimuotoihin ja jota sovelletaan tasaisten ja algebrallisten variaatioiden teorioihin .

Nimetty sveitsiläisen matemaatikon de Rhamin mukaan . Moniston -ulotteinen de Rham -kohomologiaryhmä on yleensä merkitty . $k$ $M$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{k}(M)$

Sileät jakotukit

Määritelmät

Cochain-kompleksin kautta

De Rham -kompleksi on ulkoisten differentiaalimuotojen kochain-kompleksi tasaisella jakoputkella , jonka differentiaali on ulkoinen differentiaali. $M$ $d\,^{k}$

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{ \to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots

Tässä on tasaisten funktioiden avaruus , on 1-muotojen avaruus , eli on -muotojen avaruus. Huomaa, että . -Tämän koketjukompleksin dimensiokohomologiaryhmä on sen tarkkuuden mitta -th termissä ja se määritellään $\Omega ^{0}(M)$ $M$ $\Omega ^{1}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ $k$ $d^{k+1}d^{k}=0$ $k$ $H^{k}$ $k$

H^{k}(\Omega ^{\bullet },\;d^{\bullet })=\operaattorinimi {Ker} d^{k}/\operaattorinimi {Im} d^{k-1} .

Lomaketta kutsutaan suljetuksi , jos tässä tapauksessa . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $d^{k}\alpha =0$ ${\displaystyle \alpha \in \operaattorin nimi {Ker} d^{k))$
Muotoa kutsutaan tarkaksi , jos joillekin se on . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $\alpha =d^{k-1}\gamma$ ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{k-1))$ $\alpha \in \operaattorinimi {Im} d^{k-1}$

Huomaa, että jokainen tarkka lomake on suljettu.

Lomakkeiden ekvivalenssiluokkana

Geometrisemmin de Rham-kohomologian ideana on luokitella suljetut muodot monille: kaksi suljettua muotoa ja sanotaan olevan kohemologisia , jos ne eroavat tarkan muodon perusteella, eli niiden ero on tarkka muoto. Tämä määritelmä luo ekvivalenssirelaation suljettujen muotojen joukolle . $\alpha$ $\beeta$ $\Omega ^{k}(M)$ $\alpha -\beta =d\gamma$ $\Omega ^{k}(M)$

Muodon kohomologinen luokka on joukko suljettuja muotoja, jotka eroavat tarkalla muodolla, eli muodon muotojoukko . $[\alpha]$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha +d\gamma$

$k$ -Dimensionaalinen de Rham -kohomologiaryhmä on kaikkien suljettujen muotojen osamäärä tarkka muotojen alaryhmän mukaan. $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$

Huomaa, että jakotukki , johon on liitetty komponentteja , $M$ $N$

H_{{\mathrm {dR}}}^{0}(M)\cong {\mathbf {R}}^{N}.

Itse asiassa 0-asteen muodot ovat skalaarifunktioita. Suljetus tarkoittaa, että funktioilla on nolladerivaata, eli ne ovat vakioita jokaisella jakotukin kytketyllä komponentilla .

De Rhamin lause

Stokesin lause on ilmaus kaksinaisuudesta de Rham-kohomologian ja ketjukompleksihomologian välillä . Lauseen keskeinen seuraus on nimittäin se, että " suljetun muodon integraalit homologisten ketjujen yli ovat yhtä suuret": if on suljettu -muoto ja ja ovat homologisia -ketjuja (eli on -ulotteisen ketjun raja ) , sitten $\omega$ $k$ $M$ $N$ $k$ $MN$ $(k+1)$ $W$

\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

koska niiden ero on olennainen

\int \limits _{{\partial W}}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

Siten differentiaalisten muotojen ja ketjujen parittaminen integraation kautta määrittelee homomorfismin de Rham -kohomologiasta yksikkökohomologiaryhmään . De Rhamin lause , jonka Georges de Rham todisti vuonna 1931, väittää, että tasaisilla monistimella tämä kartoitus on isomorfismi : $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$

H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;{\mathbf R}).

Ulompi tulo antaa ryhmien suoralle summalle renkaan rakenteen . Samanlainen rakenne singulaarikohomologiassa saadaan kertomalla . De Rhamin lause sanoo myös, että nämä kaksi kohomologiarengasta ovat isomorfisia asteikoituina renkaina . $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ $\hymy$

Algebralliset lajikkeet

Määritelmä

Aivan analogisesti sileän tapauksen kanssa, jokainen kentän algebrallinen muunnelma liittyy säännöllisten differentiaalimuotojen kompleksiin . $X$ $k$

Lajikkeen de Rham -kohomologiaryhmiä kutsutaan kohomologiaryhmiksi . $X$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/k)$

De Rham -kohomologian erikoistapaukset

Jos on sileä ja täydellinen monisto ja ominaisuus on kenttä , niin de Rham -kohomologia on Weilin kohomologia . $X$ ${\mathrm {char}}\,k=0$
Jos jakosarja on sileä affiini ja kenttä on, niin seuraava de Rhamin lauseen analogi on tosi : $X$ $k=\mathbb {C}$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{{an}},\;{\mathbb {C}}),$

missä on algebrallista variaatiota vastaava kompleksinen analyyttinen muunnelma .

X_{{an}}

X

Esimerkiksi, jos on algebrallisen hyperpinnan komplementti kohdassa , niin kohomologia voidaan laskea käyttämällä rationaalisia differentiaalimuotoja on tämän hyperpinnan napojen kanssa. $X$ $P^{n}(\mathbb {C} )$ $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ $P^{n}(\mathbb {C} )$

Suhteellinen de Rham cohomology

Mille tahansa morfismille voidaan määritellä niin kutsuttu suhteellinen de Rham -kompleksi $f\kaksoispiste X\S:ksi$

\sum _{{p\leqslant 0}}\Gamma (\Omega _{{X/S}}^{p}),

mikä johtaa suhteelliseen de Rham -kohomologiaan . $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$

Jos lajike on renkaan spektri ja , niin suhteellinen de Rham -kompleksi osuu yhteen kanssa . $X$ ${\mathrm {Spec}}\,A$ $S={\mathrm {Spec}}\,B$ $\Lambda \Omega _{{A/B}}^{1}$

Kohomologiaa kompleksin lyhdeistä kutsutaan suhteelliseksi de Rham -kohomologiaksi . Jos on oikea morfismi, niin nämä vyöt ovat johdonmukaisia . ${\mathcal {H}}_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ $\sum _{{p\leqslant 0}}f_{*}\Omega _{{X/S}}^{p}$ $S$ $f$ $S$

Kirjallisuus

Bott, R., Tu, L. V. Differentiaalimuodot algebrallisessa topologiassa. - M .: Platon, 1997. - 336 s. - ISBN 5-80100-280-4 . .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: homologiateorian menetelmät. - M .: Nauka, 1984. - 343 s.
de Ram, J. Differentiable varieties = Varietes differentiables. — M.: KomKniga, 2006. — 250 s. — ISBN 5-484-00341-5 . .