Hessenin konfiguraatio on 9 pisteen ja 12 viivan kokoonpano, joissa kussakin viivalla on kolme pistettä ja kunkin pisteen läpi kulkee neljä viivaa. Sitä käsitteli Colin Maclaurin ja tutki Otto Hesse (1844) [1] , Konfiguraatio on toteutettavissa kompleksisessa projektiivisessa tasossa elliptisen käyrän käännepisteiden joukkona , mutta euklidisella tasolla ei ole toteutusta .
Hessen-konfiguraatiolla on samat tulosuhteet kuin affiinisen tason viivoilla ja pisteillä 3 elementin kentässä . Toisin sanoen Hessen-konfiguraation pisteet voidaan identifioida järjestetyillä kokonaislukupareilla modulo 3, ja suorat voidaan identifioida vastaavasti pisteiden ( x , y ) kolmiosilla, jotka täyttävät lineaariset yhtälöt ax + by = c (mod 3). Vaihtoehtoisesti konfiguraatiopisteet voidaan tunnistaa tic-tac-toe (3x3) -kentän neliöistä ja suorat viivat voidaan tunnistaa kentän suorilla ja katkonaisilla diagonaaleilla [2] .
Jokainen piste on neljällä viivalla - tulkittaessa konfiguraatiota tic-tac-toe-kentiksi, yksi viiva on vaakasuora, yksi pystysuora ja kaksi viivaa ovat lävistäjät tai katkonaiset. Jokaisella rivillä on kolme pistettä, joten konfiguraatiokielessä Hessenin konfiguraatio kirjoitetaan 9 4 12 3 .
Hessenin konfiguraation automorfismiryhmällä on kertaluku 216 ja se tunnetaan nimellä Hessian ryhmä .
Poistamalla minkä tahansa pisteen ja siihen tulevat viivat Hessen-konfiguraatiosta saadaan toinen tyypin 8 3 8 3 konfiguraatio , Möbius-Cantor-konfiguraatio [3] [4] [5] .
Hessen-konfiguraatiossa 12 suoraa voidaan ryhmitellä neljään rinnakkaisen (ei-leikkaavan) viivan kolmioon. Kun Hessen-konfiguraatiosta poistetaan kolme riviä, jotka sisältyvät yhteen kolmiosaisista, saadaan tyypin 9 3 9 3 konfiguraatio , Papp-konfiguraatio [4] [5] .
Hessen-konfiguraatiota voidaan laajentaa lisäämällä neljä pistettä, yksi kullekin ei-leikkaavan suoran kolmiolle, ja lisäämällä viiva, joka sisältää nämä uudet neljä pistettä. Tällainen laajennus antaa konfiguraation, kuten 13 4 13 4 , joukon projektiotason pisteitä ja viivoja kolmielementtikentän yli.
Hessen-konfiguraatio voidaan toteuttaa kompleksisessa projektiivitasossa elliptisen käyrän 9 käännepisteenä ja 12 suorana linjana, jotka kulkevat käännepistekolmojen läpi. Jos annettu yhdeksän pisteen joukko kompleksitasossa on elliptisen käyrän C käännepisteiden joukko, niin se on minkä tahansa käyrän käännepisteiden joukko C : n ja sen Hessenin käyrän muodostamassa käyränipussa, Hessenin käyrä . [6] .
Hessen-konfiguraatiolla yhdessä Möbius-Cantor-konfiguraation kanssa on monimutkaisia realisaatioita monimutkaisessa avaruudessa, mutta ei toteutusta suorilla viivoilla euklidisessa tasossa . Hessen-konfiguraatiossa mitkä tahansa kaksi pistettä yhdistetään konfiguraatiosta tulevalla viivalla (joka on Sylvester-Galai-konfiguraation määritelmä ), ja siksi mikä tahansa kahden sen pisteen kautta kulkeva suora sisältää kolmannen pisteen. Kuitenkin euklidisessa avaruudessa mikä tahansa äärellinen määrä pisteitä on joko kollineaarinen tai sisältää Sylvesterin lauseen mukaan pisteparin, joka ei sisällä asetuspisteitä näiden kahden pisteen läpi kulkevalla viivalla. Koska Hessen-konfiguraatio rikkoo Sylvesterin lausetta, sillä ei voi olla euklidista toteutusta. Tämä esimerkki osoittaa, että Sylvesterin lausetta ei voida yleistää kompleksiseen projektitiiviseen tasoon. Monimutkaisissa avaruudessa Hessen-konfiguraation ja kaikkien Sylvester-Galai-konfiguraatioiden on kuitenkin sijaittava kaksiulotteisessa litteässä aliavaruudessa [7] .