Fordin piirit

Fordin ympyrät ovat ympyröitä , joiden keskipisteenä on koordinaatit ja säteet , joissa on redusoitumaton murtoluku . Jokainen Fordin ympyrä on vaaka-akselin tangentti , ja mitkä tahansa kaksi ympyrää joko koskettavat toisiaan tai eivät leikkaa toisiaan. [yksi] $(p/q,1/(2q^{2}))$ $1/(2q^{2})$ $p/q$ $y = 0$

Historia

Fordin ympyrät ovat erityinen tapaus toisiaan tangenttiympyröistä. Toisiaan tangenttien järjestelmiä tutki Apollonius Pergalainen , jonka mukaan Apollonius-ongelma ja Apolloniuksen verkko on nimetty . 1700-luvulla Descartes todisti Descartesin lauseen - toisiaan tangenttien käänteissäteiden välisen suhteen [2] .

Fordin piirit on nimetty amerikkalaisen matemaatikon Lester Ford Sr. mukaan, joka kirjoitti niistä vuonna 1938 [1] .

Ominaisuudet

Murtolukua vastaava Fordin ympyrä on merkitty tai . Jokainen rationaalinen luku vastaa Fordin ympyrää. Lisäksi puolitasoa voidaan pitää myös degeneroituneena Fordin ympyränä, jonka säde on ääretön ja joka vastaa lukuparia . $p/q$ $C[p/q]$ $C[p,q]$ $y\geqslant 1$ $p = 1, q = 0$

Mitkä tahansa kaksi erillistä Fordin ympyrää joko eivät leikkaa ollenkaan tai kosketa toisiaan. Kahdessa Ford-ympyrässä ei ole leikkaavia sisäalueita huolimatta siitä, että jokaisessa abskissa-akselin pisteessä, jolla on rationaalinen koordinaatti, yksi Ford-ympyrä koskettaa tätä akselia. Jos , niin joukko Fordin ympyröitä, jotka koskettavat, voidaan kuvata jollakin seuraavista tavoista: $0<p/q<1$ $C[p/q]$

ympyrät , missä , [1] $C[r/s]$ $|ps-qr|=1$
ympyrät , joissa murtoluvut ovat vieressä missä tahansa Farey-sarjassa , [1] tai $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$
ympyrät , missä on lähin pienempi tai lähin suurempi esi - isä Stern-puussa - Broko , tai lähin pienempi tai suurempi esi-isä . [yksi] $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$ $p/q$ $r/s$

Fordin ympyröitä voidaan tarkastella myös alueina monimutkaisessa tasossa . Monimutkaisen tason modulaarinen muunnosryhmä kartoittaa Fordin ympyrät muihin Fordin ympyröihin. [yksi]

Jos kompleksitason ylempää puoliskoa tulkitaan hyperbolisen tason malliksi ( Poincarén puolitason malli ), niin Fordin ympyrät voidaan tulkita laatoittaen hyperbolisen tason horosyklillä . Mitkä tahansa kaksi Fordin ympyrää ovat yhteneviä hyperbolisessa geometriassa. [3] Jos ja ovat tangentteja Fordin ympyröitä, niin pisteiden läpi kulkeva puoliympyrä ja ja kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan on hyperbolinen viiva, joka kulkee myös kahden Fordin ympyrän tangenttipisteen läpi. $C[p/q]$ $C[r/s]$ $(p/q,0)$ $(r/s,0)$

Fordin ympyrät muodostavat osajoukon ympyröitä, jotka muodostavat Apollonius-ruudukon, jotka on annettu viivoilla ja ympyrällä . [neljä] $y = 0$ $y = 1$ $C[0/1]$

Piirien kokonaispinta-ala

Fordin ympyröiden kokonaispinta-alan, Euler-funktion , Riemannin zeta-funktion ja Apéryn vakion välillä on yhteys . [5] Koska kaksi Fordin ympyrää ei leikkaa sisäpisteissä, saamme välittömästi, että ympyröiden kokonaispinta-ala $\varphi$ $\zeta (3)$

\left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}<1\right\}

pienempi kuin 1. Tämä pinta-ala saadaan konvergenttisummana, joka voidaan laskea analyyttisesti. Määritelmän mukaan vaadittu alue on yhtä suuri kuin

A=\sum _{{q\geqslant 1}}\sum _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}\pi \left({\frac {1}{2q^{ 2}}}\oikea)^{2}.

Yksinkertaistamalla tätä ilmaisua saamme

A={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {\varphi (q)}{q^{4} }}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4))),

jossa viimeinen yhtälö käyttää Dirichlet-sarjan kaavaa Euler-funktion kertoimilla . Koska seurauksena saamme $\zeta (4)=\pi ^{4}/90$

A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\noin 0,872284041.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 Ford L. R. Murtoluvut // American Mathematical Monthly . - 1938. - Voi. 45 , no. 9 . - s. 586-601 . - doi : 10.2307/2302799 . , MR : 1524411 .
↑ G. Coxeter, Apolloniuksen ongelma // American Mathematical Monthly . - 1968. - Voi. 75 . - s. 5-15 . - doi : 10.2307/2315097 . MR : 0230204_ _
↑ Conway J. Kvadraattiset muodot, jotka meille annetaan aistimuksessa . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 s. - 1000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
↑ Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. Apollonian ympyräpakkaukset: lukuteoria // Journal of Number Theory . - 2003. - Voi. 100 , ei. 1 . - s. 1-45 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00015-5 . - arXiv : math.NT/0009113 . , MR : 1971245 .
↑ Marszalek W. Piirit, joissa on värähteleviä hierarkkisia Farey-sekvenssejä ja fraktaaliominaisuuksia // Circuits, Systems and Signal Processing. - 2012. - Vol. 31 , ei. 4 . - s. 1279-1296 . - doi : 10.1007/s00034-012-9392-3 . .

Katso myös

Ulkoiset linkit

Fordin koskettavat ympyrät
Weisstein, Eric W. Ford Circle (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .