Lebrun, Claude

Claude Lebrun
Englanti Claude R. LeBrun Jr.
Oberwolfachissa vuonna 2012 _
Syntymäaika	26. marraskuuta 1956( 26.11.1956 ) (65-vuotiaana)
Syntymäpaikka	Dallas , Texas
Maa	USA
Tieteellinen ala	differentiaaligeometria
Työpaikka	New Yorkin osavaltion yliopisto Stony Brookissa
Alma mater	Oxfordin yliopisto
tieteellinen neuvonantaja	Roger Penrose
Opiskelijat	Massimiliano Pontecorvo , Michael Albanese
Palkinnot ja palkinnot	American Mathematical Societyn jäsen
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Claude LeBrun ( englanniksi Claude LeBrun , s. 26. marraskuuta 1956 Dallasissa , Teksasissa ) on pohjoisamerikkalainen geometria, monimutkaisen ja differentiaalisen geometrian , ensisijaisesti neliulotteisten monistoputkien, sekä suhteellisuusteorian asiantuntija . SUNY arvostettu professori New Yorkin osavaltion yliopistossa Stony Brookissa .

Elämäkerta

Valmistui vuonna 1977 Rice Universityn Hansen Collegesta [1] , hän suoritti jatko-opintojaan Oxfordissa Penrosen johdolla ja valmistui vuonna 1980 opinnäytetyönsä Spaces of Complex Geodesics and Related Structures [2] , minkä jälkeen hän sai viran Stony Brookista. [3] .

Vuonna 1994 hän oli kutsuttu puhuja kansainvälisessä matematiikan kongressissa Zürichissä , raportin aiheena oli Anti-self-dual metrics ja Kähler-geometria . Vuonna 2012 hänet valittiin American Mathematical Societyn jäseneksi . Vuonna 2016 Lebrunin 60-vuotispäivää juhlittiin konferenssilla Montrealissa. [4] Vuonna 2018 Lebrune sai Simons Foundation Award -palkinnon , [5] ja vuonna 2020 hänet nimettiin SUNY Distinguished Professoriksi Stony Brookin yliopistossa .

Väitöskirja

Lebrunin väitöskirja syventää hänen suuren opettajansa työtä twistorteorian alalla . Nimittäin hän tarkastelee -ulotteisia monimutkaisia monimutkaisia joita, joilla on holomorfinen projektiivinen yhteys ; paikallinen geodetiikka tällaisen yhteyden suhteen voidaan parametroida -ulotteisella kompleksisarjalla. Alkuperäisen jakosarjan jokainen piste määrittelee alijoukon geodesiikan avaruudessa, koska jokainen kompleksinen tangentin suunta pisteessä sallii ainutlaatuisen geodeettisen osan, jota se on tangentti. Tästä geodesiikan tilassa olevasta osajakoputkistosta voidaan saada takaisin holomorfinen projektiivinen liitos alkuperäisen jakoputken päälle, ja siinä olevan monimutkaisen rakenteen pienet muodonmuutokset vastaavat projektiivisen liitoksen pieniä muunnelmia. Projektiivisen tason triviaalisessa tapauksessa geodeettiset ominaisuudet ovat projektiiivisia viivoja, ja niiden kaksoisprojektiivinen taso parametroi ne; näin ollen Lebrunin väitöskirjaa voidaan pitää projektiivisen kaksinaisuuden kauaskantoisena yleistyksenä . $n$ ${\näyttötyyli (2n-2)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{2))$

Lebrun sai samanlaisen tuloksen monimutkaiselle monimutkaiselle, jolla on konforminen yhteys, eli holomorfinen konforminen rakenne (tai neliökartioiden kenttä) yhdessä vääntötensorin kanssa ja sen päällä olevan paikallisen isotrooppisen geodesiikan avaruus (eli geodetiikka, joka tangentti tätä kartiokenttää - muuten niitä kutsutaan valon kaltaiseksi tai nollageodeesiksi). Vääntötensorin katoamisen tapauksessa, kuten Lebrun osoitti, isotrooppisen geodesiikan tila sallii holomorfisen kontaktirakenteen , ja päinvastoin holomorfisen kontaktirakenteen läsnäolo isotrooppisen geodesiikan avaruudessa pakottaa konformisen rakenteen vääntymiseen. alkuperäiseen tilaan katoamaan. Tämä tulos pätee vain, kun kompleksisarjan mitta on 4 tai suurempi; kolmiulotteisille jakoputkille Lebrun rakensi kanonisen upotuksen neliulotteiseen jakoputkeen, jossa on konforminen liitos, jonka kaarevuus on itsekaksois, jonka alla alkuperäisen rakenteen vääntö ilmaistaan ulkoisen kaarevuuden muodossa. tästä upottamisesta.

3-jakotukkien RC-kiertimet

Vuonna 1984 Trans. Olen. Matematiikka. soc. Lebrunin artikkeli Twistor CR Manifolds and Three-Dimensional Conformal Geometry julkaisi , jossa hän laajensi twistorteorian myös todellisiin kolmiulotteisiin monimuotoisiin monisteisiin, joilla on konforminen rakenne - eli sellaisiin, joissa voidaan puhua vektorien keskinäisestä kohtisuorasta. ei niiden absoluuttista pituutta (jos kuvittelet, että aikaa ei ole, sellainen on pohjimmiltaan kolmiulotteinen avaruutemme: pituusyksikön valitsemme melko mielivaltaisesti, ja jossain määrin se, että pituusyksikkö Maan päällä ja pituusyksikköä Plutossa voidaan verrata mielekkäästi, on uskon teko). Se liittyy todelliseen viisiulotteiseen jakotukkiin, jossa on RC-rakenne , eli neliulotteinen kosketinjakauma , joka on varustettu 90°:n kiertooperaattoreiden kentällä, muuttaen sen kaksiulotteiseksi kompleksijakaumaksi, ja lisäksi tyydyttää integroitavuusehto ja perhe holomorfisia rationaalisia käyriä , jotka tangentit tätä monimutkaista jakaumaa. Integroitavuusehto rajoittuu siihen tosiasiaan, että Taylor-sarjan tasolla viisiulotteinen monisto jokaisessa pisteessä voidaan toteuttaa todellisen hyperpinnan Taylor-sarjana siten, että kosketusaliavaruus on täsmälleen monimutkainen kaksiulotteinen taso, joka sijaitsee todellisessa viisiulotteisessa tangenttiavaruudessa hyperpinnalle, ja kiertooperaattori 90°:lla on täsmälleen vektorin kertolaskuoperaattori kohdassa . Päinvastoin, kun otetaan huomioon viisiulotteinen RC-jakotukki, jossa on rationaalisten käyrien perhe, alkuperäinen kolmiulotteinen jakoputkisto, jolla on konforminen rakenne, on ainutlaatuisesti entisöity. $\mathbb {C} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$ ${\sqrt {-1}}$

Huomaa, että aitojen paikallisten karttojen olemassaolo arvoineen Lebrun-kierteissä merkitsisi automaattisesti uudelleenliimaustoimintojen analyyttisuutta (johtuen monimutkaisesti differentioituvien kartoitusten analyyttisuudesta) ja siten analyyttisen rakenteen olemassaolosta alkuperäisessä 3-jakosarjassa. . $\mathbb {C} ^{3}$

Lebrun sai tämän rakenteen nerokkaalla geometrisella rakenteella, josta tämän RC-rakenteen integroitavuus oli ilmeinen (eli ottamalla huomioon kotangenttikimmun kompleksisaatiossa vektorit, jotka ovat isotrooppisia suhteessa konformiseen rakenteeseen). Misha Verbitsky antoi paljon yksinkertaisemman kuvauksen Lebrunin KR-twistoreista. Nimittäin, jos kiinnitetään Riemannilainen metriikka , joka määrittelee konformisen rakenteen kolmiulotteiseen monistimeen, niin Lebrunin RC-kierteet voidaan tunnistaa kokonaisavaruudesta yksikköpituisten tangenttivektoreiden nipulla. Tangenttikimppu hajoaa Levi-Civita-yhteyden avulla kohtisuoraksi suoraksi summaksi , jossa on tangenttiavaruus yksikköpalloon ja on isomorfisesti heijastettu . Kosketustaso pisteessä (jossa on yksikkövektori) määritellään lineaariseksi jänneväliksi ja kohtisuoraksi aliavaruudeksi , ja 90°:n kiertooperaattori määritellään standardikompleksirakenteeksi Riemannin pallolla pystysuunnassa ja vektorin kertolaskuksi vaakasuunnassa ( että on sisällä ; muista, että ulottuvuudessa kolme euklidisen rakenteen määrittäminen on sama kuin ristitulon määrittäminen). [6] $X$ $UTX$ $UTX$ $T(UTX)=Ver\oplus Hor$ $Ver_{v,x}=T_{v}(UT_{x})$ $T_{x}X$ $Hor_{v,x}$ $T_{x}X$ ${\näyttötyyli (v,x)}$ $v\in T_{x}$ $Ver_{v,x}$ $v^{\perp }\subset T_{x}\cong Hor_{v,x}$ $v$ ${\displaystyle v^{\perp ))$

Tästä voidaan esimerkiksi johtaa selkeä kuvaus pyöreän pallon Lebrun-kierteistä . Nimittäin ymmärrämme sen päiväntasaajan pallona . Pisteessä oleva yksikkötangenttivektori voidaan nähdä kohtisuorassa yksikkövektorissa , jossa on pisteen normaali yksikkö . Ne määrittelevät ehdon määrittelemän ortogonaalisen kompleksisen rakenteen avaruuteen . Sitä vastoin mikä tahansa ortogonaalinen kompleksirakenne määrittää yksikkötangenttivektorin k yksikkönormaalin kuvaksi 90° kierron alaisena. Kimppu , joka roikkuu pyöreän pallon jokaisen pisteen päällä, joukon ortogonaalisia monimutkaisia rakenteita sen tangenttiavaruudessa, nämä ovat klassisia twistoreita , kierreavaruus on tässä tapauksessa biholomorfinen ja projektio on kvaternion Hopf-nippu . Näin ollen ympyränmuotoisen pallon Lebrun-kierteet ovat ekvatoriaalisen käänteiskuva Hopf-fibroinnin alla ja siten todellinen hyperpinta , normaalikimpun putkimaisen naapuruston rajalla projektioviivaan . $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $e\in T_{x}S^{3}$ $S^{3}$ $x\in S^{3}$ ${\displaystyle \{e,n\}\in T_{x}S^{4))$ ${\näyttötyyli n_{x))$ $S^{3}\subset S^{4}$ $x$ ${\displaystyle T_{x}S^{4))$ $I(n)=e$ ${\displaystyle T_{x}S^{4))$ $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}=\mathbf {P} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{4})\cong \mathbf {P} _ {\mathbb {C} }(\mathbb {H} ^{2})\mapsto \mathbf {P} _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{2})=\mathbb {H} \mathbf {P} ^{1}\cong S^{4}$ $S^{3}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}\subset \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3))$

Verbitskyn määritelmä on hyvä siinä mielessä, että se siirtyy toiseen tärkeään tapaukseen, kun Riemannin monistossa on vektoritulojen kenttä - nimittäin -monisto ; Lisäksi se mahdollistaa Gaussin mappauksen määrittämisen kolmiulotteisessa monistossa olevan pinnan abstraktissa tilanteessa (assosioiden pinnan pisteen yksikkönormaaliin siinä). Tästä määritelmästä ei kuitenkaan käy ilmi tämän twistorirakenteen integroitavuus eikä edes sen konforminen invarianssi. Jälkimmäinen voidaan kuitenkin todistaa tyylikkäällä laskelmalla; se viittaa erityisesti siihen, että Gaussin kartta pinnasta Lebrun-kierreihin on holomorfinen, jos ja vain jos tämä pinta on täysin napa . Erityisesti Lebrun-kierreiden RC-rakenteen konformisesta invarianssista seuraa, että konformiset muunnokset muuttavat täysin navan pinnat täysin navan pinnoiksi. Koska vain pallot ja tasot ovat sellaisia, tämä viittaa klassiseen Liouvillen lauseeseen konformisissa kartoituksissa . Edellytys Gaussin kartan olevan holomorfinen napapinnoille voidaan pitää Lebrun-kierteillä olevan RC-rakenteen määritelmänä. Vertailun vuoksi, jos vaatisimme Gaussin kartan olevan holomorfinen minimaalisille pinnoille , päätyisimme Eales -Salamon- kierreihin, jotka eroavat Lebrun-kierteistä siinä, että ne kiertävät 90° vaakasuunnassa päinvastaisella merkillä. Koska jopa paikalliset napapinnat ovat harvinaisia yleisessä Riemannin monissa, kun taas minimaalisia pintoja on runsaasti, Eales-Salamon-kierreissä on monia holomorfisia käyriä; samaan aikaan niissä oleva lähes KP-rakenne ei ole koskaan integroitavissa, mikä tarkoittaa, että siellä ei ole edes paikallisia holomorfisia toimintoja, joita päinvastoin on runsaasti Lebrun-kierteillä johtuen niiden paikallisesta KP-holomorfisesta upotettavuudesta . [7] ${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$

Lempert käytti Lempertin kierrejä todistaakseen monimutkaisen rakenteen muodollisen integroitavuuden solmutilassa 3-jakoputkessa, jossa on konforminen rakenne. [kahdeksan]

Ortogonaaliset kompleksiset rakenteet $S^{6}$

Mitat kaksi ja kuusi ovat ainoita, joissa lähes monimutkaisen rakenteen olemassaolo pallolla ei ole topologisilla syillä kiellettyä. Dimensiossa kaksi tämä on vain monimutkainen rakenne rationaalisella käyrällä; ulottuvuudessa kuusi on lähes monimutkainen rakenne, joka saadaan vektorin kertomisesta pyöreän pallon normaalilla yksiköllä (mutta kompleksirakenne on kuvattu samalla tavalla ). Kuitenkin kysymys integroituvan monimutkaisen rakenteen olemassaolosta - eli paikallisesti biholomorfisen pallon kanssa - on hyvin epämääräinen. Vuonna 1987 artikkelissa Orthogonal Complex Structures on , Lebrun osoitti, että tällainen rakenne ei voi olla ortogonaalinen standardissa pyöreässä metriikassa . Hän harkitsi kartoitusta, joka yhdistää monimutkaisen rakenteen missä tahansa pisteessä sen omaan aliavaruuteen ominaisarvolla , jota pidetään kolmiulotteisena aliavaruutena ympäröivän tilan kompleksisoinnissa . Jos lähes monimutkainen rakenne olisi integroitavissa , niin tämä kartta olisi holomorfinen upotus Grassmanniin . Tämä antaisi Kähleriläisen muodon , koska Grassmannin voidaan toteuttaa projektitiivisessa tilassa; mutta , mikä johtaa ristiriitaan. $S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7}$ $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$ $S^{6}$ $S^{6}$ $-{\sqrt {-1))$ $\mathbb {C} ^{7}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $S^{6}$ $\mathrm {gr} (3,7)$ $S^{6}$ $H^{2}(S^{6})=0$

Muut artikkelit

Lebrun on kirjoittanut noin 100 artikkelia geometrian ja matemaattisen fysiikan eri aloilta. [9]

Linkit

Professori Lebrunin kotisivut
Claude Lebrun " Mathematical Genealogy " -sivustolla

Muistiinpanot

↑ Entinen Rice-professori sai Nobelin fysiikan palkinnon . Haettu 2. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 28. marraskuuta 2020. (määrätön)
↑ Monimutkaisen geodesiikan ja niihin liittyvien rakenteiden tilat . Haettu 2. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 20. tammikuuta 2021. (määrätön)
↑ Osastohakemisto | Matematiikan laitos ja Matemaattisten tieteiden instituutti . Haettu 2. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 21. lokakuuta 2020. (määrätön)
↑ Differentiaaligeometrian konferenssi . Haettu 2. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ 2018 Simonsin matematiikan ja teoreettisen fysiikan stipendiaatit julkistettu . Haettu 2. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 28. marraskuuta 2020. (määrätön)
↑ G2-jakotukin CR-kierretila
↑ Liouville—Arnold-liitäntä Lefschetz—Kovalev-kynille ja Eells—Salamon CR -kierreille . Haettu 2. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 3. lokakuuta 2021. (määrätön)
↑ Lempert, László. Silmukkatilat monimutkaisina jakoputkina. J. Differentiaaligeom. 38 (1993), nro. 3, 519-543.
↑ Claude LeBrunin tutkimusartikkelit . Haettu 2. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 13. toukokuuta 2021. (määrätön)