Käärmeen Lemma

Käärmelemma on työkalu, jota käytetään matematiikassa , erityisesti homologisessa algebrassa , pitkien tarkkojen sekvenssien muodostamiseen . Käärmelemma on totta missä tahansa Abelin luokassa ja sillä on keskeinen rooli homologisessa algebrassa ja sen sovelluksissa, kuten algebrallinen topologia . Sen avulla konstruoituja homomorfismeja kutsutaan yleensä yhdistäviksi homomorfismeiksi .

Sanamuoto

Harkitse kommutatiivista kaaviota Abelin luokassa (kuten Abelin ryhmien kategoriassa tai kiinteän kentän vektoriavaruuksien kategoriassa :

joiden merkkijonot ovat tarkkoja sarjoja ja 0 on nollaobjekti .

Sitten on tarkka sekvenssi, joka yhdistää kuvausten a , b ja c ytimet ja koksiytimet :

\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname { coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c

missä d on homomorfismi, joka tunnetaan sitovana homomorfismina .

Lisäksi, jos morfismi f on monomorfismi , niin morfismi on myös monomorfismi, ja jos g' on epimorfismi , niin u on epimorfismi. $\operaattorinnimi {ker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {ker} b$ $\operaattorinnimi {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c$

Nimi Selitys

Selvittääksesi lemman nimen alkuperän, kuvittele yllä oleva kaavio seuraavasti:

ja huomaa, että tarkka sekvenssi, jonka olemassaolo väitetään lemmassa, on ryömivän käärmeen muotoinen.

Rakennuskartoitukset

Ydinten väliset ja koksiytimien väliset kartoitukset indusoituvat luonnollisesti annetuilla (horisontaalisilla) kuvauksilla kaavion kommutatiivisuuden vuoksi. Kahden indusoidun sekvenssin tarkkuus seuraa luonnollisesti alkuperäisen kaavion viivojen tarkkuudesta. Tärkeä osa lemman väittämistä on yhdistävän homomorfismin d olemassaolo, joka sisältyy täsmälliseen sekvenssiin.

Jos kyseessä ovat Abelin ryhmät tai moduulit jonkin renkaan yli , kuvaus d voidaan rakentaa seuraavasti:

Valitsemme elementin x ker c :stä ja katsomme sen C :n elementiksi ; koska g on surjektiivinen, on y :stä B siten, että g ( y ) = x . Koska kaavio on kommutatiivinen, meillä on g' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (koska x on c :n ytimessä ), ja siten b ( y ) on g': n ydin . Koska alarivi on tarkka, löydämme A':n elementin z siten , että f '( z ) = b ( y ). Elementti z on ainutlaatuinen johtuen f ':n injektiokyvystä. Määrittelemme d ( x ) = z + im ( a ). On vielä tarkistettava, että d on hyvin määritelty (eli d ( x ) riippuu vain x :stä, ei y :n valinnasta ), että se on homomorfismi ja että tuloksena oleva sekvenssi on tarkka.

Jos tämä tehdään, lause todistetaan Abelin ryhmille tai moduuleille renkaan yli. Yleensä todistus voidaan muotoilla uudelleen nuolten ominaisuuksien perusteella. Toinen tapa todistaa se on käyttää Mitchellin upotuslausetta .

Kirjallisuus

Paolo Aluffy . Algebra: Luku 0, AMS 2016, ISBN 978-0-8218-4781-7 , s. 179-182.
Serge Lang . Algebra. 3. painos, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4 , s. 157-159.
Atiyah M., McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M.: Mir, 1972.