Galerkinin menetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Galerkinin menetelmä ( Bubnov-Galyorkinin menetelmä) on menetelmä differentiaaliyhtälön raja - arvotehtävän likimääräiseen ratkaisuun . Tässä operaattori voi sisältää osittaisia tai täydellisiä johdannaisia halutusta funktiosta. $L[u]=f(x)$ $L[\cdot]$

Menetelmän perusta

Ensimmäinen askel Galerkin-menetelmän käyttöönotossa on valita joukko perusfunktioita , jotka:

täyttää rajaehdot .
äärettömän määrän kantaelementtejä muodostavat täydellisen järjestelmän .

Perusfunktioiden erityinen tyyppi määräytyy ongelman erityispiirteiden ja työn mukavuuden perusteella. Usein käytetään trigonometrisiä toimintoja , ortogonaalisia polynomeja ( Legendren , Chebyshevin , Hermiten jne. polynomeja).

Ratkaisu esitetään laajennuksena perustan suhteen:

$\psi(x) = \sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

, joissa valitut kantafunktiot ovat tuntemattomia painokertoimia. $\phi _{k}(x)$ ${\displaystyle \alpha _{k))$

Sitten likimääräinen ratkaisu korvataan alkuperäiseen differentiaaliyhtälöön ja lasketaan sen poikkeama . Homogeeniselle yhtälölle poikkeama näyttää tältä: $L[u]=0$

$L\left[\psi (x)\right]=N(x).$

Epähomogeeniselle yhtälölle poikkeama näyttää tältä . $L[u]=f(x)$ $N(x)=L[\psi(x)]-f(x)$

Lisäksi esitetään vaatimus jäännöksen ortogonaalisuudesta perusfunktioihin nähden, eli:

$\int\limits_a^b{N(x) \phi_k(x) dx} = 0.$

Tästä saadaan homogeeninen yhtälöjärjestelmä laajennuksen kertoimille, ja on mahdollista löytää likimääräisesti ongelman ominaisarvot . ${\displaystyle \alpha _{k))$

Esimerkki

Tarkastellaan esimerkkinä tavallista differentiaaliyhtälöä :

$\psi'' + \lambda \psi = 0,$

rajaehdoilla:

$\psi(0) = \psi(1) = 0.$

Tämän yhtälön ratkaisu tunnetaan:

$\psi(x) = \sin \pi nx, \quad \lambda = \pi^2 n^2, \qquad n = 1,2..$

Ensimmäiselle ei-triviaalille ratkaisulle ominaisarvo on . $(n=1)$ $\lambda = \pi^2 \noin 9 869...$

Sovelletaan nyt Galerkin-menetelmää. Valitaan ensin yksi perusfunktio:

$\phi_0(x) = x(1-x), \qquad \psi(x) = a_0 \phi_0(x).$

Korvaamalla yhtälön, saamme eron:

$N(x) = a(\phi'' + \lambda \phi),$

ja jäännösortogonaalisuuden vaatimus kirjoitetaan uudelleen muotoon:

$\int\limits_0^1{\phi'' \phi dx} + \lambda \int\limits_0^1{\phi^2 dx}=0.$

Tästä se on selvää:

$\lambda = - {\int\limits_0^1{\phi''\phi dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx)) = {\int\limits_0^1{(\phi') ^2 dx}\yli \int\limits_0^1{\phi^2 dx}}.$

Tässä annetussa esimerkissä käy ilmi, että se eroaa alle 1,5 % tarkasta ratkaisusta. Kantafunktioiden suuremman määrän määrittäminen mahdollistaa jo tunnetun λ:n arvon tarkentamisen sekä ensimmäisen likiarvon saamisen seuraavalle (vastaa n=2:ta). $\lambda = 10$

Esitämme ratkaisun n funktion lineaarisena yhdistelmänä :

$\psi(x)=\sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

Sitten ristiriita:

$N = \sum_{k=1}^n N_k(x)$ .

Laajenemiskertoimien yhtälöjärjestelmä:

$\sum_{k=1}^n \alpha_k \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx} = 0, \quad j=1..n.$

Tässä tapauksessa ominaisarvot löydetään järjestelmän ratkaistavuudesta (sen determinantin nollasta ):

$\operaattorinnimi{det} \left( A_{jk} \right) = 0, \quad A_{jk} = \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx}$

On tärkeää muistaa, että Galerkin-menetelmän konvergenssi ei aina saavuteta nopeasti. Onnistunut hakeminen on mahdollista vain ns. itseadjoint-ongelmat, toisin sanoen invariantteja hermiittiselle konjugaatille .

Lajikkeet

Galerkin-menetelmässä on useita parannettuja vaihtoehtoja:

Galerkin-Petrov -menetelmä - ratkaisua laajennetaan yhdellä pohjalla, ja jäännöksen ortogonaalisuus vaaditaan toiseen.
Galerkin-Kantorovich-menetelmä mahdollistaa osittaisten differentiaaliyhtälöiden pelkistämisen tavallisiksi differentiaaliyhtälöiksi. Esimerkiksi kaksiulotteisessa tehtävässä ratkaisu esitetään muodossa: ja Galerkin-proseduuria sovelletaan vain yhteen funktioon (tässä tai ). Tuloksena saadaan ODE-järjestelmä, jonka ratkaisemiseen on olemassa tehokkaita numeerisia menetelmiä. Tämä tekniikka on samanlainen kuin kvanttimekaniikassa tunnettu Hartree-Fock-menetelmä . $\psi(x,y)=\sum_n b_n X_n(x) Y_n(y),$ $X_n(x)$ $Y_n(y)$

Sovellus

Galerkinin menetelmiä on käytetty pitkään sekä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen että elementtimenetelmän perustan muodostamiseen .

Menetelmän soveltamisen hydrodynaamisten virtausten stabiilisuusongelmien tutkimiseen toteutti G. I. Petrov , joka osoitti Galerkin-menetelmän konvergenssin laajan yhtälöluokan ominaisarvojen löytämiseksi, mukaan lukien yhtälöt ei-konservatiivisille järjestelmille, kuten kuten esimerkiksi viskoosin nesteen värähtelyyhtälöt.

Hydrodynamiikassa Galerkin-menetelmä toimii tehokkaimmin konvektio -ongelmissa , johtuen niiden itseliittymisestä. Virtaongelmat eivät ole tällaisia ongelmia, ja menetelmän konvergenssi epäonnistuneen perustan valinnan kanssa voi olla erittäin vaikeaa.

Nimen alkuperä

Menetelmä saavutti suosion Boris Galerkinin ( 1915 ) tutkimuksen jälkeen. Sitä käytti myös Ivan Bubnov ( 1913 ) kimmoisuusteorian ongelmien ratkaisemiseen . Siksi joskus tätä menetelmää kutsutaan Bubnov-Galyorkin-menetelmäksi . Teoreettisesti menetelmän perusteli Neuvostoliiton matemaatikko Mstislav Keldysh vuonna 1942 .

Katso myös

Weisstein, Eric W. Galerkin Method (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

Vorovich II Bubnov-Galjoorkinin menetelmästä matalien kuorien epälineaarisessa värähtelyteoriassa. - Neuvostoliiton tiedeakatemian raportit, 1956. - T. 110. - Nro 5. - S. 723-726.
A. D. Lyashko . Galerkin-tyyppisten menetelmien lähentymisestä // Doklady AN SSSR. 1958. Voi. 120, nro 2;
Galerkin B. G. Tangot ja levyt. Sarja joissain tankojen ja levyjen elastisen tasapainon kysymyksissä. // Insinööritiedote. - 1915. - T. 1. - S. 897-908.
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. Summittaiset korkeamman analyysin menetelmät. - 5. painos - L.-M., 1962.
Mikhlin S. G. Variaatiomenetelmät matemaattisessa fysiikassa. - 2. painos — M.-L. – 1970.
Fletcher K. Numeeriset menetelmät, jotka perustuvat Galerkinin menetelmään. - M.-Mir - 1988.
Itô, K. (Toim.). "Muut menetelmät kuin eromenetelmät." § 303I julkaisussa Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2. painos, Voi. 2. Cambridge, MA: MIT Press, s. 1139, 1980.
Ritz W. , Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Matematiikka - fysiikka. luokkaa. Nachrichten, Göttingen, 1908.
Ritz W., Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, "Journal für die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.
Guljajev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L .,. Mekaanisten järjestelmien epälineaaristen värähtelyjen teorian sovelletut ongelmat. - M . : Higher School, 1989. - 383 s. - ISBN 5-06-000091-5 .

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät